安徽省合肥市2024_2025学年高一数学上学期期中试题含解析

这是一份安徽省合肥市2024_2025学年高一数学上学期期中试题含解析，共14页。试卷主要包含了 已知为实数，则“”是“”的， 若正数满足，则的最小值为， 设，则下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效，
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】修改量词，否定结论，由此得出结果.
【详解】修改量词否定结论，可得“，”，
故选：B.
2. 已知集合，，且，则实数的值为（ ）
A. －5B. －4C. －1D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合与集合间的关系列方程求解实数的值即可.
【详解】已知集合，，且，
所以，所以.
故选：C.
3. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据偶次根式被开方数大于等于、分式分母不为求得结果.
【详解】因为，所以，
所以定义域为，
故选：B.
4. 已知为实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据“”与“”互相推出的情况判断属于何种条件.
【详解】当时，取，，但，
所以不能推出；
当时，取，，但，
所以不能推出，
所以是的既不充分也不必要条件，
故选：D.
5. 已知幂函数的图象经过点，函数，则（ ）
A. 为偶函数B. 为奇函数
C. 为增函数D. 为减函数
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数的定义与求解，从而可得的单调性，于是可得的单调性与奇偶性.
【详解】因为是幂函数，所以，即，
又的图象经过点，所以，解得，
所以，则为上的增函数，
则，则函数的定义域为，
所以非奇非偶函数，且为上的减函数.
故选：D.
6. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数为偶函数可得在上单调递减，则可得，于是可得的大小关系，分析选项可得答案.
【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增，
所以在上单调递减，所以，
因为为偶函数，所以，则，即.
故选：C.
7. 已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析的函数值，结合图象确定出值域为时的范围.
【详解】因为，且，
令，解得或，作出图象如下图所示，
由图象可知，当时，若的值域为，则，
故选：C
8. 若正数满足，则的最小值为（ ）
A. B. 5C. D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】将原等式变形后代入化简，利用基本不等式求解出最小值.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以最小值为，
故选：A.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，则下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据指数幂的运算以及根式与指数的互化逐项计算并判断.
详解】A：，故正确；
B：，故错误；
C：，故正确；
D：，故正确；
故选：ACD.
10. 下列各组中的函数与是同一个函数的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，
定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；
对于B，与的定义域都是，
且，两个函数的对应法则也相同，所以是同一函数，故B正确；
对于C，两个函数的定义域都是，且对应法则也相同，所以是同一函数，故C正确；
对于D，因为，，所以不是同一函数，故D错误；
故选：BC
11. 对任意实数，定义为不大于的最大整数，如，，．设函数，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】BCD
【解析】
【分析】A：取计算并判断；B：根据和分类讨论即可；C：先证明，然后计算出在给定范围下的正负即可判断；D：直接根据不等式性质进行比较.
【详解】对于A：取，则，
，所以，故A错误；
对于B：当时，，所以一定成立，
当时，，所以，
所以，成立，故B正确；
对于C：不妨设，，，则，
又，则，所以；
当时，，
所以，所以，
又因为，所以，所以，故C正确；
对于D：当时，，所以且，
所以，所以，所以，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是理解取整函数的定义，能根据定义通过举例的方式验证所给选项；另一方面是隐含条件的证明和使用，本题中应用在C项的证明中会更方便.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由为分母可得，再利用集合相等的性质计算即可得解.
【详解】由题意可得，则，即，
则，解得或，
若，则违背集合互异性，舍去；
若，则有，符合要求；
综上所述，，则.
故答案为：.
13. 若函数的图象是一条连续不断的曲线，且，则______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据连续可得，即可代入求解.
【详解】由于的图象是一条连续不断的曲线，故，由于，故，
所以
故，
故答案为：
14. 若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为“的图象在上有唯一交点” ，然后对进行分类讨论，根据值域间的关系求解出的取值范围.
【详解】因为对任意的，总存在唯一的，使得成立，
即对任意的，方程在上有唯一解，
即对任意的，的图象在上有唯一交点；
在同一平面直角坐标系中作出的函数图象如下图，
因为的对称轴为且开口向上，所以在上单调递减，
所以，所以，
当时，，此时与在上有唯一交点，符合条件；
当时，，若满足条件只需，解得；
当时，，若满足条件只需，解得；
综上所述，的取值范围是.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知命题，，设为假命题时实数的取值范围为集合．
（1）求集合；
（2）设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据判别式求解出为真命题时的范围，再根据补集思想求得结果；
（2）分析条件得到⫋，列出不等式组求解出结果.
【小问1详解】
当为真命题时，即“，”为真命题，
所以，所以或，
所以若为假命题，则的范围是，
所以.
【小问2详解】
因为是的必要不充分条件，所以⫋，
因为时，若⫋，只需，解得，
经检验，和时满足条件，
综上所述，的取值范围是.
16. （1）计算：；
（2）计算：；
（3）已知，且，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】根据题意，由指数幂的运算代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）由题意可知，所以，
，
因为，所以，所以，
所以.
17. 已知关于的函数．
（1）若，求时的取值范围．
（2）是否存在实数，满足当时，的最大值为3?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，或
【解析】
【分析】（1）问题转化成解一元二次不等式解决.
（2）分情况讨论函数在上最大值，令最大值为3求的值.
【小问1详解】
当时，可转化为：.
所以或.
所以的取值范围是：.
【小问2详解】
函数在的最大值，可能是在行或或时取得.
若.此时为开口向上的抛物线，且，，所以满足题意.
若.此时为开口向下的抛物线，且，，对称轴为，所以满足题意；
若，解得或.
当时，，对称轴为，故不合题意.
综上可知：存在实数或，使得满足当时，的最大值为3.
18. 已知函数．
（1）若为偶函数，求的值；
（2）若，用定义证明在上单调递增；
（3）若存在正数满足，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据化简计算出的值；
（2）先设变量，然后表示出并对其进行因式分解，根据条件判断出的正负，由此可证明出单调性；
（3）将问题转化为“有正数解”，通过换元法以及参变分离求解出的取值范围.
【小问1详解】
的定义域为且关于原点对称，因为为偶函数，
所以，所以，
所以，所以.
【小问2详解】
当时，；
，且，
则
，
因为，所以，，，所以，
所以，所以，
所以在上单调递增.
【小问3详解】
因为有正数解，所以有正数解，
所以有正数解，所以有正数解；
令，因为，由对勾函数的性质可知，
所以在上有解，所以在上有解，
令，且均在上单调递增，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以.
19. 对于非空的有限整数集，定义，．
（1）若集合，求和．
（2）已知，为非空的有限整数集，且．
（ⅰ）若，求集合；
（ⅱ）证明：．
【答案】（1）；.
（2）（ⅰ）或；（ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意，由集合新定义代入计算，即可得到结果；
（2）（ⅰ）根据题意，由集合新定义可得，从而可得，即可得到结果；（ⅱ）结合新定义可得，则，然后分别考虑属于时的情况，再考虑，时，由是有限集即可舍去，从而证明.
【小问1详解】
由题意可得，.
【小问2详解】
（ⅰ）设，则，
因为，所以，所以，
即，因此，
因为，所以，所以，
由此可知中至少有和两个元素，所以，
故或.
（ⅱ）设，因为，所以，
又因，所以，即，
若，则，故可以；
若，则，故可以是，；
若，则，故可以是，；
若，则，
像这样可以得到无限个中的元素，不符合是有限集；
若，则，
同样不符合是有限集；
同理可得，当或时，也不符合是有限集；
综上，可以是，，，，，
均满足
【点睛】关键点睛：本题主要考查了集合新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于从新情境中获取信息，搭建相关的集合知识网络，将其运用到新情境中，从而求解.