湖南省湘东教学联盟2026届高三上学期一模联考数学试题 Word版含解析

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总分：150分 时量：120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 双曲线离心率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数恒成立，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知等差数列满足：，则前20项的和为（ ）
A. 190B. 360C. 400D. 440
6. 若，，，则、、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知均为定义在上的函数，，若的图象关于直线对称，且，则的值是（ ）
A. 463B. 464C. 465D. 466
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 随着人工智能应用软件豆包、Kimi、DeepSeek陆续出现，AI成为各行各业创新应用的热门话题．某课题小组对本市各行业人群使用AI频率进行调查研究，下列说法正确的是（ ）
A. 甲同学根据调查数据，利用最小二乘法得到AI每周使用频次关于年龄的经验回归方程为，可以推断使用频次与年龄正相关且相关系数为0.2
B. 乙同学开展了AI每周使用频次与年龄相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，且相关程度很强
C. 丙同学研究性别因素是否影响AI使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的AI使用频次有差异
D. 丁同学得到经验回归方程①和②，通过决定系数来比较模型拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好很多
10. 已知圆，直线，点为圆上一点，点为坐标原点，则下列叙述正确的有（ ）
A. 的最小值为
B. 当时，直线与圆相切
C. 的最小值为
D. 若圆上有且仅有三个点到直线距离为，则
11. 如图，三棱台中，平面，则（ ）

A. 三棱台的体积为
B. 平面
C.
D. 若点在侧面上运动，且与平面所成角的正切值为4，则点在侧面上的轨迹长度为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设为单位向量，且，与夹角为，则的值为___________．
13. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，则线段的长为___________．
14. 设，若，则___________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，空间几何体的底面是以为直角的等腰直角三角形，平面平面，直线平面，且．
（1）求证：平面；
（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值．
16. 已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）判断的单调性；
（3）若在上有两个零点，求实数的取值范围．
17. 已知，直线相交于点，且，点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线交曲线于两点，直线与曲线的另一个交点为，线段的中点为的面积为，求直线的方程．
18. 已知的内角的对边分别为．
（1）若，求角的值；
（2）角的平分线交的外接圆于点，圆的半径为．
（i）当时，求的值；
（ii）当为何值时，的面积取最大值．
19. 某公司为了开拓新产品市场，组织人类挑战机器人对抗赛活动．每局比赛只有胜和负两种情况，无平局，每局比赛挑战者战胜机器人的概率为，胜者记2分，其余记1分．每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响．
（1）求三局比赛中，人类队累计得分的分布列和数学期望；
（2）若局比赛中，人类队累计得分为分的概率为，求；
（3）若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为，比较与的大小，并说明其统计意义．