河南省洛阳市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试卷(含解析）

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一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝B．C．2+D．2﹣2＝
3．（3分）在△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，则下列不能作为判定△ABC是直角三角形的条件是（ ）
A．∠B＝∠A+∠CB．a2﹣b2＝c2
C．a：b：c＝3：4：5D．a＝32，b＝42，c＝52
4．（3分）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直B．对角线相等
C．对角线互相平分D．对角相等
5．（3分）如图，Rt△ABC的直角边AC在数轴上，∠ACB＝90°，点A表示的实数为﹣2，以点A为圆心，AB的长为半径作弧交数轴的正半轴于点D．若BC＝1，AC＝2，则点D表示的实数为（ ）
A．0.2B．C．D．
6．（3分）如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．﹣2bB．﹣2aC．2b﹣2aD．0
8．（3分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（ ）
A．2.4mB．2mC．2.5mD．2.7m
9．（3分）如图，点O为矩形ABCD的对角线的交点，点E从点A出发，沿AB向点B运动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
B．正方形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，以AB为边作等边三角形ABP，连接AC，PD，PC，则下列结论：①∠BCP＝75°；②△ADP≌△BCP；③△ADP和△ABC的面积比为1：2；④S△CDP＝CP2．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 cm．
13．（3分）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 ．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC＝16，BD＝12，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE＝5，连接DE．
（Ⅰ）线段AE的长为 ；
（Ⅱ）若F为DE的中点，则线段AF的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）．
17．（9分）在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（△ABC的三个顶点都在正方形的顶点处），如图所示，这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．
（2）画△DEF，DE、EF、DF三边的长分别为、、，
①判断三角形的形状，说明理由．
②求这个三角形的面积．
18．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上， ．
请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形BCDE为平行四边形；
（2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长．
19．（9分）阅读材料，回答问题：
（1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”．上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ；
利用此数量关系解决以下问题：
（2）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”如图1所示，设绳索AC的长为x尺，根据题意，可列方程为 ；
（3）如图2，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB＝4，BC＝8，求BE的长．
20．（10分）如图，AC＝BC，D是AB中点，CE∥AB，CE＝AB．
（1）求证：四边形CDBE是矩形．
（2）若AC＝5，CD＝3，F是BC上一点，且DF⊥BC，求DF的长．
21．（9分）学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量风筝的高度的实践活动，他们设计了如表方案：
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如图2，如果想让风筝沿CD方向下降11米至点F，求应该往回收多少米风筝牵引线．
22．（10分）如图，BD是▱ABCD的对角线．
（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作线段BD的垂直平分线EF，分别交AD，BD，BC于点E，O，F，连接BE，DF（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）试判断四边形DEBF的形状，并说明理由．
23．（11分）实践探究：
如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，若得到一个正方形，剪口与折痕应成 度的角．
知识应用：
（1）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，如图②所示摆放，则四边形OEBF的面积为 ．
（2）小明发现，正方形A1B1C1O在绕点O转动的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD面积之间存在一定的数量关系，如图③写出该数量关系，并予以证明．
拓展延伸：
小明剪了两个大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DEF，且∠BAC＝∠EDF＝90°，如图④放置，其中点D是BC的中点，点F在BA的延长线上，BE∥AC，当点M是DE的中点，EF＝时，请直接写出两个等腰直角三角形重叠部分的面积．
2024-2025学年河南省洛阳市八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．解：A、原式＝，不符合题意；
B、原式＝，不符合题意；
C、原式为最简二次根式，符合题意；
D、原式＝2，不符合题意，
故选：C．
2．解：A.与不能合并，所以A选项不符合题意；
B.×＝＝，所以B选项符合题意；
C.2与不能合并，所以C选项不符合题意；
D．2与2不能合并，所以D选项不符合题意；
故选：B．
3．解：A、∵∠B＝∠A+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝∠A+∠C＝90°，能判定△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、∵a2﹣b2＝c2，即a2＝c2+b2，根据勾股定理逆定理可判定△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、由a：b：c＝3：4：5，可设a＝3x，b＝4x，c＝5x，
∴a2+b2＝25x2＝c2，根据勾股定理逆定理可判定△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵a＝32，b＝42，c＝52
∴a2+b2＝（32）2+（42）2＝337，c2＝（52）2＝625
∵a2+b2≠c2，所以不能判定△ABC是直角三角形，符合题意．
故选：D．
4．解：∵菱形的性质有：内角和360°，对边平行且相等，对角线互相垂直平分，对角相等；
平行四边形的性质有：内角和360°，对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等；
∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线互相垂直；
故选：A．
5．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
由题意可知，AD＝AB＝，
∴CD＝AD﹣AC＝﹣2，
∴点D表示的实数为﹣2，
故选：C．
6．解：∵点D、点E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵BC＝12，
∴DE＝6，
在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝8，
∴FE＝AC＝4，
∴DF＝DE﹣FE＝6﹣4＝2，
故选：B．
7．解：由数轴得，a＜0，b＞0，
∴b﹣a＞0，
∴
＝|a|+b﹣（b﹣a）
＝﹣a+b﹣b+a
＝0，
故选：D．
8．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝2.5（m），
∴A′B＝AB＝2.5米，
在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD＝＝＝2（m），
∴CD＝BC+BD＝2+0.7＝2.7（m），
即小巷的宽为2.7米，
故选：D．
9．解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形，
故选：A．
10．解：∵四边形ABCD是正方形，△ABP是等边三角形，
∴AB＝BP＝BC，∠ABC＝90°，∠ABP＝60°，
∴∠DAP＝∠CBP＝30°，
∴∠BCP＝∠BPC＝75°，故①正确；
∵AD＝BC，AP＝BP，∠DAP＝∠CBP＝30°，
∴△DAP≌△CBP（SAS），故②正确；
如图，∵△ABP是等边三角形，过点P作PG⊥AB于点G，PH⊥AD于点H，
∴AG＝GB，
∵∠BAD＝∠AGP＝90°，
∴四边形AGPH是矩形，
∴PH＝AG，
∵S△ABC＝×BC×AB＝×AD×AB，S△ADP＝×AD×PH＝×AD×AB＝×AD×AB，
∴△ADP和△ABC的面积比为1：2，故③正确；
∵∠PCD＝∠BCD﹣∠BCP＝15°，PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC＝15°，
∴∠CPN＝30°，
∵CN⊥DP，
∴CN＝PC，
∴S△PDC＝×DP×CN＝PC2，故④正确，
综上所述：①②③④．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
12．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∵两张纸条宽度均为3cm，
∴四边形ABCD为平行四边形，且AE＝AF＝3cm，
∴∠ADF＝∠ABE＝60°，
∴△ADF≌△ABE（AAS），
∴AD＝AB，
∴四边形ABCD为菱形，
在Rt△ADF中，∠ADF＝60°，AF＝3cm，
∴AD＝＝，
四边形ABCD的周长为：＝cm．
故答案为：．
13．解：由图可得，
a2+b2＝c2，
∴且a、b均大于0，
解得，
∴每个直角三角形的面积为ab＝×12×16＝96，
故答案为：96．
14．解：如图，连接OE，作OH⊥CD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，
∴，
∴∠COD＝90°，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，
∴∠OFE＝∠OGE＝∠FOG＝90°，
∴四边形OGEF是矩形，
∴OE＝FG，
∴OE≥OH，
∵，
∴FG的最小值为，
故答案为：．
15．解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC＝OD＝OB，∠DOC＝90°，
∴在Rt△DOC中，OD2+OC2＝DC2，
∵DC＝3，
∴OA＝OD＝OC＝OB＝3，
∵OE＝5，
∴AE＝OE﹣OA＝2；
故答案为：2．
（Ⅱ）延长DA到点G，使AG＝AD，连接EG，过E作EH⊥AG于H，
∵F为DE中点，A为DG中点，
∴AF为△DGE中位线，
∴AF＝EG，
在Rt△EAH中，∠EAH＝∠DAC＝45°，
∴AH＝EH，
∵AH2+EH2＝AE2，
∴AH＝EH＝，
∴GH＝AG﹣AH＝3﹣＝2，
在Rt△EGH中，EG2＝EH2+GH2＝10，
∴EG＝，
∴AF＝EG＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．解：（1）原式＝
＝
＝
＝5；
（2）原式＝
＝
＝．
17．解：（1）S△ABC＝3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3＝；
故答案为：；
（2）如图2所示：△DEF，即为所求；
①三角形DEF是直角三角形，
理由如下：
∵（）2+（）2＝（）2，
∴△DEF是直角三角形；
②S△DEF＝××＝2．
18．解：（1）选择①或②，证明如下：
选择①，∵∠B＝∠AED，
∴BC∥DE，
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形；
选择②，∵AE＝BE，AE＝CD，
∴BE＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形；
故答案为：①或②；
（2）由（1）可知，四边形BCDE为平行四边形，
∴DE＝BC＝10，
∵AD⊥AB，
∴∠A＝90°，
∴AE＝＝＝6，
即线段AE的长为6．
19．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，
由勾股定理得：a2+b2＝c2，
故答案为：a2+b2＝c2；
（2）设绳索AC的长为x尺，则AB的长为（x﹣3）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，
∴（x﹣3）2+82＝x2，
故答案为：（x﹣3）2+82＝x2；
（3）把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB＝4，BC＝8，设BE＝x，则EC＝8﹣x，
∴AE＝EC＝8﹣x，
由矩形的性质可得∠B＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2＝AB2+BE2，
∴（8﹣x）2＝42+x2，
解得，x＝3，
则BE的长为3．
20．（1）证明：∵AC＝BC，
∴△ACB是等腰三角形，
∵D是AB中点，
∴DB＝AB，CD⊥DB，
∵CE＝AB，
∴DB＝CE，
∵CE∥AB，
∴四边形CDBE是平行四边形，
又∵CD⊥DB，
∴四边形CDBE是矩形；
（2）解：在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，CB＝AC＝5，CD＝3，
∴BD＝＝4，
∵DF⊥BC于F，
∴DF•BC＝CD•BD，
解得：DF＝．
21．解：（1）由勾股定理得，（米），
∴CE＝CD+DE＝16+1.7＝17.7（米），
答：风筝的垂直高度为17.7米．
（2）如图，由勾股定理得，
（米），
20﹣13＝7（米），
∴他应该往回收线7米．
22．解：（1）如图，EF为所作；
（2）四边形DEBF为菱形．
理由如下：∵EF垂直平分BD，
∴OB＝OD，EF⊥BD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴OE＝OF，
∵OE＝OF，OB＝OD，EF⊥BD，
∴四边形DEBF为菱形．
23．解：实践探究：由题意知，剪口与折痕成 45°角，
故答案为：45；
知识应用：（1）由图知，O点是正方形的中心点，四边形OEBF是边长为的正方形，
∴四边形OEBF的面积为，
故答案为：；
（2）两个正方形重叠部分的面积是正方形ABCD面积的，证明如下：
作OM⊥BC于点M，作ON⊥AB于N，
由（1）知，四边形OMBN是正方形，
∴OM＝ON，
∵∠OFB+∠B+∠OEN+∠EOF＝360°，∠B＝∠EOF＝90°，
∴∠OEN+∠OFB＝180°，
又∵∠OFM+∠OFB＝180°，
∴∠OEN＝∠OFM，
在△OEN和△OFM中，
，
∴△OEN≌△OFM（AAS），
∴阴影部分的面积等于正方形OMBN的面积，是正方形ABCD面积的，
即两个正方形重叠部分的面积是正方形ABCD面积的；
拓展延伸：
设AC与DF交于点N，连接AD，过点D作DJ⊥BA于点J，
在△EBM和△DJM中，
，
∴△EBM≌△DJM（AAS），
∴BM＝MJ，
∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，D是BC的中点，
∴△BDA和△BDJ是等腰直角三角形，
∴DJ＝BJ＝AB，MJ＝DJ，
∵EF＝，
∴DE＝＝，DM＝，
在Rt△DMJ中，DM2＝MJ2+DJ2，
即（）2＝（）2+DJ2，
解得，DJ＝1（舍去负值），
∴AB＝2，
∵∠DNA+∠NDM+∠DMA+∠NAM＝360°，∠NDM＝∠NAM＝90°，
∴∠DNA+∠DMA＝180°，
又∵∠DMA+∠DMB＝180°，
∴∠DNA＝∠DMB，
在△BMD和△AND中，
，
∴△BMD≌△AND（AAS），
∴两个等腰直角三角形重叠部分的面积＝△BDA的面积，
即两个等腰直角三角形重叠部分的面积＝AB•DJ＝2×1＝1．课题
测量风筝的高度CE
成员
组长：xxx组员：xxx，xxx，xxx
工具
皮尺，计算器等
测量示意图

说明：如图1，AE表示地面水平线，AB表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且AB垂直于地面于点A，线段BC表示风筝牵引线（近似为线段），CE表示风筝到地面的垂直高度，CE⊥AE于点E，BD⊥CE于点D．
测量数值
测量项目
数值
点B到CE的距离BD
12米
风筝线BC的长度
20米
AB的长度
1.7米
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
A
C
B
D
D
A
D