五年（2021-2025）高考数学真题分类汇编：专题19 排列组合与二项式定理5种常见考法归类（全国通用）（原卷版）

这是一份五年（2021-2025）高考数学真题分类汇编：专题19 排列组合与二项式定理5种常见考法归类（全国通用）（原卷版），共5页。
5种常见考法归类
考点01有限制条件的排列问题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种．
3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
4．（2021·全国甲卷·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
5．（2021·全国甲卷·高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·上海·高考真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．
7．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120B．60C．30D．20
8．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ．
9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
考点02组合问题
10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种B．种
C．种D．种
11．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．B．C．D．
13．（2021·全国乙卷·高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
14．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
15．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ．
16．（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为 ；
17．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
18．（2022·全国甲卷·高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．
19．（2022·全国乙卷·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
20．（2021·上海·高考真题）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式组合
考点03求二项式展开式的特定项
21．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
22．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为 ．
23．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为 ．
24．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为 ．
25．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为 ．
26．（2022·天津·高考真题）在的展开式中，常数项是 .
27．（2021·北京·高考真题）在的展开式中，常数项为 .
28．（2021·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是 ．
29．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
30．（2022·上海·高考真题）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则 ；
31．（2023·上海·高考真题）已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，则k的最大值为 .
考点04二项式展开式项的系数和
32．（2022·北京·高考真题）若，则（ ）
A．40B．41C．D．
33．（2025·北京·高考真题）已知，则 ； ．
34．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则 ， ．
35．（2021·浙江·高考真题）已知多项式，则 ， .
36．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ．
考点05项的系数最值问题
37．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
38．（2021·上海·高考真题）的二项展开式中有且仅有的系数为最大值，则的系数为 .
知识
五年考情（2021-2025）
命题趋势
知识1 排列与组合
（5年5考）
考点01有限制条件的排列问题
2025·上海2024·全国甲卷 2024·新课标Ⅱ卷2024·上海2023·全国甲卷2022·新高考全国Ⅱ卷
2021·全国甲卷
1.有限制条件的排列是高频热点
近 5 年多次考查 “有限制条件的排列问题”，题目常通过 “相邻 / 不相邻”“特殊元素优先”“位置限制” 等经典模型设置，侧重逻辑推理和分类讨论思想的应用。
2,.组合问题则多与实际场景结合（如分配问题、选组问题），强调对 “无序性” 本质的理解。
3.二项式定理特定项与系数计算是绝对重点,近 5 年 “求二项式展开式的特定项”（如常数项、指定次数项）考查频率最高，核心是利用通项公式求解，需注意符号、系数与二项式系数的区别。
4.“系数和” 问题（如赋值法求各项系数和、奇数项 / 偶数项系数和）也频繁出现，侧重对赋值法的灵活应用。
5.系数最值问题偶有出现，注重逻辑分析,虽然考查次数较少，但系数最值问题常涉及不等式求解或单调性分析，需结合二项式系数的增减性规律（中间项最大），体现对知识深度的要求。
考点02组合问题
2024·天津2023·新课标Ⅰ卷2023·新课标Ⅱ卷 2023·全国甲卷2023·全国乙卷
2022·新高考全国Ⅰ卷 2022·上海2022·全国甲卷2022·全国乙卷2021·全国乙卷 2021·上海
知识2 二项式定理
（5年5考）
考点03求二项式展开式的特定项
2025·上海2025·天津2024·天津2024·北京 2023·天津2023·上海 2022·新高考全国Ⅰ卷2022·天津 2022·上海2021·北京 2021·天津
考点04二项式展开式项的系数和
2025·北京2024·上海2022·北京 2022·浙江 2021·浙江
考点05项的系数最值问题
2024·全国甲卷 2021·上海
A运动
B运动
C运动
D运动
E运动
7点8点
8点9点
9点10点
10点11点
11点12点
30分钟
20分钟
40分钟
30分钟
30分钟