十年（2016-2025）高考数学真题分类汇编：专题05 排列组合与二项式定理（两大考点，65题）（原卷版）

这是一份十年（2016-2025）高考数学真题分类汇编：专题05 排列组合与二项式定理（两大考点，65题）（原卷版），共7页。

考点01：排列组合综合
1．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ．
4．（2024·上海·高考真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
6．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ．
7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种B．种
C．种D．种
8．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
9．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120B．60C．30D．20
11．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
12．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
14．（2022·全国乙卷·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
15．（2022·全国甲卷·高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．
16．（2022·上海·高考真题）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则 ；
17．（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为 ；
解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有种，
而所有的抽取方法共有种，
故每一类都被抽到的概率为＝＝，
故答案为：．
18．（2021·全国甲卷·高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
19．（2021·全国甲卷·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
20．（2021·全国乙卷·高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
21．（2020·全国II卷·高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
22．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种B．3种C．6种D．8种
23．（2020·山东·高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12B．120C．1440D．17280
24．（2020·山东·高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种B．90种
C．60种D．30种
25．（2019·全国I卷·高考真题）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A．B．C．D．
26．（2019·全国III卷·高考真题）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A．B．C．D．
27．（2018·全国I卷·高考真题）从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）
28．（2017·全国II卷·高考真题）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A．12种B．18种C．24种D．36种
29．（2018·浙江·高考真题）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
30．（2016·全国II卷·高考真题）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A．24B．18C．12D．9
31．（2017·上海·高考真题）若排列数，则
32．（2016·江苏·高考真题）（1）求7C63−4C74的值；
（2）设m，nN*，n≥m，求证：
（m+1）+（m+2）+（m+3）++n+（n+1）=（m+1）.
33．（2017·浙江·高考真题）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）
考点02：二项式定理
34．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为 ．
35．（2025·北京·高考真题）已知，则 ； ．
36．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为 ．
37．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
38．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为 ．
39．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ．
40．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
41．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为 ．
42．（2023·上海·高考真题）已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，则k的最大值为 .
43．（2022·北京·高考真题）若，则（ ）
A．40B．41C．D．
44．（2020·山东·高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（ ）
A．B．C．D．
45．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
46．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则 ， ．
47．（2022·天津·高考真题）在的展开式中，常数项是 .
48．（2021·北京·高考真题）在的展开式中，常数项为 .
49．（2021·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是 ．
50．（2021·浙江·高考真题）已知多项式，则 ， .
51．（2020·全国I卷·高考真题）的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5B．10
C．15D．20
52．（2019·全国III卷·高考真题）（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12B．16C．20D．24
53．（2020·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）．
A．B．5C．D．10
54．（2017·全国I卷·高考真题）展开式中的系数为
A．B．
C．D．
55．（2020·全国III卷·高考真题）的展开式中常数项是 （用数字作答）．
56．（2020·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是 ．
57．（2020·浙江·高考真题）设，则 ； ．
58．（2019·天津·高考真题）展开式中的常数项为 .
59．（2019·浙江·高考真题）在二项式的展开式中，常数项是 ；系数为有理数的项的个数是 .
60．（2018·浙江·高考真题）二项式的展开式的常数项是 ．
61．（2018·天津·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为 ．
62．（2016·全国I卷·高考真题）的展开式中，x3的系数是 .（用数字填写答案）
63．（2017·山东·高考真题）已知 的展开式中含有 项的系数是54，则n= .
64．（2016·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答)
65．（2019·江苏·高考真题）设.已知.
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值.考点
十年考情 (2016 - 2025)
命题趋势
考点 1：排列组合综合
2025 年上海卷：队列排列个数计算；2024 年天津卷：概率计算（含条件概率）；2024 年全国甲卷：概率计算（取球平均值相关）；2024 年上海卷：集合元素个数最大值（奇偶性分析）；2024 年新课标 Ⅱ 卷：方格选法及数值和最大值；2023 年新课标 Ⅰ 卷：选课方案计算；2023 年全国各卷：抽样、选读相同读物、不同年级学生选取、两天公益活动安排等排列组合应用；2022 年新高考卷：相邻排列、互质概率、正方体顶点共面概率；2021 年全国卷：0 不相邻概率、志愿者分配；2020 年海南、山东等卷：志愿者安排、课代表分配；2019 年全国卷：重卦阳爻概率、女同学相邻概率；2018 年全国卷：科技比赛选法；2017 年全国卷：志愿者工作安排；2016 年全国卷：最短路径计算
1. 高频考查排列组合的实际应用，如排队、分配、选法等问题。2. 常与概率结合，考查古典概型概率计算。3. 注重对分类讨论、捆绑法、插空法等基本方法的考查。
考点 2：二项式定理
2025 年北京卷：已知展开式求系数；2025 年天津卷：展开式中项的系数；2025 年上海卷：二项式展开式中项的系数；2024 年全国甲卷：展开式中各项系数最大值；2024 年天津卷：展开式中的常数项；2024 年上海卷：根据展开式各项系数和求项的系数；2023 年天津卷：展开式中项的系数；2023 年上海卷：二项式相关计算求 k 的最大值；2022 年新高考全国 Ⅰ 卷：展开式中项的系数；2022 年浙江、天津等卷：多项式展开式系数、常数项；2021 年北京、天津等卷：展开式中的常数项、项的系数；2020 年全国、天津等卷：展开式中项的系数、常数项；2019 年天津、浙江等卷：展开式中的常数项、有理项个数；2018 年浙江、天津等卷：展开式中的常数项、项的系数；2017 年山东卷：根据展开式中项的系数求 n；2016 年全国、北京等卷：展开式中项的系数
1. 主要考查二项展开式中特定项的系数（如 x³ 项、常数项等）。2. 常涉及利用通项公式求解系数，或根据系数条件求参数值。3. 有时会结合多项式展开式进行系数相关的计算。