三年（2023-2025）高考数学真题分类汇编：专题11 立体几何与空间向量（全国通用）（原卷版）

这是一份三年（2023-2025）高考数学真题分类汇编：专题11 立体几何与空间向量（全国通用）（原卷版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考点01 立体几何与空间向量
一、单选题
1．（2024·上海·高考真题）定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取P1,P2,P3∈Ω，存在不全为0的实数λ1,λ2,λ3，使得λ1OP1+λ2OP2+λ3OP3=0．已知(1,0,0)∈Ω，则(0,0,1)∉Ω的充分条件是（ ）
A．0,0,0∈ΩB．−1,0,0∈Ω
C．0,1,0∈ΩD．0,0,−1∈Ω
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为4的正方形，PC=PD=3,∠PCA=45°，则△PBC的面积为（ ）
A．22B．32C．42D．62
3．（2025·天津·高考真题）若m为直线，α,β为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若m//α,n⊂α，则m//nB．若m⊥α,m⊥β，则α⊥β
C．若m//α,m⊥β，则α⊥βD．若m⊂α,α⊥β，则m⊥β
4．（2024·广东江苏·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（ ）
A．23πB．33πC．63πD．93π
5．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA=PB=4，PC=PD=22，该棱锥的高为（ ）.
A．1B．2C．2D．3
6．（2024·全国甲卷·高考真题）设α、β为两个平面，m、n为两条直线，且α∩β=m.下述四个命题：
①若m//n，则n//α或n//β ②若m⊥n，则n⊥α或n⊥β
③若n//α且n//β，则m//n ④若n与α,β所成的角相等，则m⊥n
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①③④
7．（2024·天津·高考真题）在如图五面体ABC−DEF中，棱AD,BE,CF互相平行，且两两之间距离均为1．若AD=1，BE=2，CF=3．则该五面体的体积为（ ）
A．36B．34+12C．32D．334−12
8．（2024·天津·高考真题）已知m,n是两条直线，α是一个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若m//α，m⊥n，则n⊥αB．若m⊥α,m⊥n，则n⊥α
C．若m//α,n⊥α，则m⊥nD．若m⊥α,n⊥α，则m⊥n
9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台ABC−A1B1C1的体积为523，AB=6，A1B1=2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．12B．1C．2D．3
10．（2023·北京·高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若AB=25m,BC=AD=10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为145，则该五面体的所有棱长之和为（ ）

A．102mB．112m
C．117mD．125m
11．（2023·全国甲卷·高考真题）在三棱锥P−ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,PC=6，则该棱锥的体积为（ ）
A．1B．3C．2D．3
12．（2023·全国乙卷·高考真题）已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C−AB−D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．15B．25C．35D．25
13．（2023·全国乙卷·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB=120°，若△PAB的面积等于934，则该圆锥的体积为（ ）
A．πB．6πC．3πD．36π
14．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）

A．24B．26C．28D．30
15．（2023·天津·高考真题）在三棱锥P−ABC中，点M,N分别在棱PC,PB上，且PM=13PC，PN=23PB，则三棱锥P−AMN和三棱锥P−ABC的体积之比为（ ）
A．19B．29C．13D．49
二、多选题
16．（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D为BC中点，则（ ）
A．AD⊥A1CB．BC⊥平面AA1D
C．AD//A1B1D．CC1//平面AA1D
17．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为0.99m的球体
B．所有棱长均为1.4m的四面体
C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体
D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体
18．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P−AC−O为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为43π
C．AC=22D．△PAC的面积为3
三、填空题
19．（2025·上海·高考真题）如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，BD=42,DB1=9，则该正四棱柱的体积为 ．

20．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 cm．
21．（2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面AFR⊥平面ABC，平面CDT⊥平面ABC，AB⊥BC，AB//EF//RS//CD，BC//DE//ST//AF.若AB=BC=8,AF=CD=4,RA=RF=TC=TD=52，则该多面体的体积为 ．
22．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 65mm,325mm,325mm，且斛量器的高为230mm，则斗量器的高为 mm，升量器的高为 mm．
23．（2024·全国甲卷·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2r2−r1,3r2−r1，则圆台甲与乙的体积之比为 ．
24．（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足AB=AC=BC=1，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为 ．
25．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA= ．
26．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4,O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是 ．
27．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
28．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2,A1B1=1,AA1=2，则该棱台的体积为 ．
29．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
四、解答题
30．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，BC∥AD,AB⊥AD．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)PA=AB=2,AD=1+3,BC=2，P，B，C，D在同一个球面上，设该球面的球心为O．
（i）证明：O在平面ABCD上；
（ⅱ）求直线AC与直线PO所成角的余弦值．
31．（2025·天津·高考真题）正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，E、F分别为A1D1,C1B1中点，CG=3GC1．
(1)求证：GF⊥平面FBE；
(2)求平面FBE与平面EBG夹角的余弦值；
(3)求三棱锥D−FBE的体积．
32．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形ABCD中，AB//CD,∠DAB=90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF//AD，AB=3AD,CD=2AD，将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A'，使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°．
(1)证明:A'B//平面CD'F；
(2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值．
33．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥P−ABCD中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形，∠ADC=90°，∠BAC=90°，E为BC的中点．
(1)若F,G分别为PD,PE的中点，求证：FG//平面PAB；
(2)若PA⊥平面ABCD，PA=AC，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．
34．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥P−ABCD中，BC//AD，AB=BC=1，AD=3,点E在AD上，且PE⊥AD，PE=DE=2．
(1)若F为线段PE中点，求证：BF//平面PCD．
(2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
35．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，EF//AD,BC//AD，AD=4,AB=BC=EF=2，ED=10,FB=23，M为AD的中点．
(1)证明：BM//平面CDE；
(2)求二面角F−BM−E的正弦值．
36．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB⊥AD,AB//DC，AB=AA1=2,AD=DC=1．M,N分别为DD1,B1C1的中点，

(1)求证：D1N//平面CB1M；
(2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角余弦值；
(3)求点B到平面CB1M的距离．
37．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=53，∠ADC=90°，∠BAD=30°，点E，F满足AE=25AD，AF=12AB，将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC=43．
(1)证明：EF⊥PD；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
38．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=1，PC=3．

(1)求证：BC⊥平面PAB；
(2)求二面角A−PC−B的大小．
39．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP,AP,BC的中点分别为D,E,O，点F在AC上，BF⊥AO．
(1)求证：EF//平面ADO；
(2)若∠POF=120°，求三棱锥P−ABC的体积．
40．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2,AA1=4．点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3．

(1)证明：B2C2∥A2D2；
(2)点P在棱BB1上，当二面角P−A2C2−D2为150°时，求B2P．
41．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥A−BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60∘，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA；
(2)点F满足EF=DA，求二面角D−AB−F的正弦值．
42．（2023·上海·高考真题）在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB//CD，AB⊥AD，AB=2，AD=3，DC=4
(1)求证：A1B//平面DCC1D1；
(2)若四棱柱ABCD−A1B1C1D1体积为36，求二面角A1−BD−A大小.
43．（2024·广东江苏·高考真题）如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1,AB=3．
(1)若AD⊥PB，证明：AD//平面PBC；
(2)若AD⊥DC，且二面角A−CP−D的正弦值为427，求AD．
44．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥P−ABCD,O为底面ABCD的中心．
(1)若AP=5,AD=32，求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若AP=AD,E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．
45．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，AB//CD,CD//EF，AB=DE=EF=CF=2，CD=4,AD=BC=10，AE=23,M为CD的中点.
(1)证明：EM//平面BCF；
(2)求点M到ADE的距离.
46．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°．

(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)设AB=A1B,AA1=2，求四棱锥A1−BB1C1C的高．
47．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1C⊥底面ABC，∠ACB=90°,AA1=2，A1到平面BCC1B1的距离为1．

(1)证明：A1C=AC；
(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．
48．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=5DO，点F在AC上，BF⊥AO.

(1)证明：EF//平面ADO；
(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；
(3)求二面角D−AO−C的正弦值.
49．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,A1C1=1，M为BC中点.，N为AB的中点，

(1)求证：A1N//平面AMC1；
(2)求平面AMC1与平面ACC1A1所成夹角的余弦值；
(3)求点C到平面AMC1的距离．
考点
三年考情（2023-2025）
命题趋势
考点1 立体几何与空间向量
空间几何体的度量：常考查表面积、体积的计算。如 2023 年新课标 Ⅰ 卷 14 题考查了四棱台的体积。
点、线、面的位置关系：包括平行、垂直关系的判定与性质。如 2023 年新高考 Ⅰ 卷 18 题（1）、2024 年新高考 Ⅰ 卷 17 题（1）考查了平行关系的证明；2023 年新高考 Ⅱ 卷 20 题（1）、2024 年新高考 Ⅱ 卷 17 题（1）考查了垂直关系的证明。
空间角与距离：空间角如异面直线所成角、线面角、二面角是考查重点，距离问题如点到面的距离也有所涉及。例如 2024 年新高考 Ⅰ 卷 17 题（2）考查已知二面角求长度问题，Ⅱ 卷 17 题（2）考查了二面角正弦值的求解。
题型分值稳定：通常有 2 个左右的选择或填空题，1 道解答题，分值在 18 - 27 分左右。重点考查立体几何的基本概念、定理、公式，如空间几何体的表面积与体积公式，线面平行、垂直的判定与性质定理等。着重考查空间想象能力、逻辑推理能力和数学运算能力。要求考生能根据文字描述想象空间图形，进行严谨的逻辑推理和准确的运算。以实际问题为背景，如 2023 年新课标 Ⅰ 卷以四棱台为背景考查体积计算，体现数学在实际生活中的应用。文化融合：可能结合数学文化，如以古代数学著作中的几何问题为素材，考查学生对现代数学知识的应用能力。解答题中，传统几何法和向量法都可解决问题，有时更偏向考查几何法，如利用定义法、三垂线法求二面角等。强调方法选择：考生需根据题目条件和自身优势，灵活选择解题方法，以提高解题效率和准确性。