四川省绵阳实验高级中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试卷（Word版附答案）

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12．70

14．,
15．（1）由题设，知，当时，， （1分）
当时，， （3分）
经验证，满足， （4分）
． （6分）
（2），数列是以首项为1，公比为2的等比数列，
，． （13分）
16．（1） （2分）
（3分）
， （4分）
所以在区间递增；在区间递减. （6分）
所以的极大值为，极小值为. （8分）
（2）依题意在上恒成立， （10分）
所以， （13分）
解得，所以的取值范围是. （15分）
17．（1）由题意知：的可能取值为，
， （3分）
的分布列为：
（6分）
（2）由题意知：20名学生成绩变化的中位数为 （7分）
列联表如下：
（9分）
（3）零假设：认为使用DeepSeek与数学成绩变化无关，
，则不成立， （14分）
有的把握认为使用DeepSeek与数学成绩变化有显著关联. （15分）
18．（1）当时，可得，所以； （1分）
可得，又， （3分）
所以在点处的切线方程为，即； （5分）
（2）解法一：易知，要证明，可得，
构造函数，可得， （6分）
可知当时，，即函数在上单调递增；
当时，，即函数在上单调递减；
因此函数在处取得极小值，也是最小值，即可得恒成立，即；当且仅当时，等号成立； （8分）
下面证明，
令，所以；
易知当时，，即函数在上单调递增；
当时，，即函数在上单调递减；
因此函数在处取得极小值，也是最小值，即可得恒成立，即；当且仅当时等号成立. （10分）
综上可得，，恒成立，但等号不在同一点处取得，
所以，即. （11分）
解法二：不等式恒成立，即恒成立，
设，则， （6分）
易知是定义域上的增函数，又，
则在上有一个根，即 （7分）
当时，，当时，，此时在单调递减，在单调递增，的最小值为， （9分）
，
，恒成立，故结论成立. （11分）
（3）由（2）中结论可知；所以，
因此； （14分）
所以. （17分）
19．（1）①由题意，员工游戏过程中累计得1分，即第一次投掷为奇数，其概率为；
累计得2分，即第一次投掷为偶数或连续两次投掷都是奇数，其概率为； 累计得3分，即前两次投掷一次为偶数，一次为偶数或连续三次投掷都是奇数，其概率为；
（3分）
②由题知，累计获得分时有可能是获得分时掷骰子点数为奇数或获得分时掷骰子点数为偶数，而掷骰子点数为奇数和偶数的概率均为.
所以， （6分）
则，又 （9分）
故为首项为，公比为的等比数列. （10分）
（2）由（1）知，
将所有等式相加得， （12分）
所以， （13分）
所以， （15分）
设一等奖的奖金为元，二等奖的奖金为元，
由题意知元， （16分）
解得，即一等奖的奖金最多不超过1499元. （17分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
D
A
A
B
B
B
D
AB
BCD
ACD
0
1
2
低于
不低于
总计
使用组
2
8
10
非使用组
6
4
10
总计
8
12
20