四川省南充市2024_2025学年高一数学上学期开学考试试题含解析

这是一份四川省南充市2024_2025学年高一数学上学期开学考试试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各等式中，因式分解正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据提公因式法、公式法及十字相乘法的综合运用，进行分解逐一判断即可．
【详解】A. ，该选项错误，不符合题意；
B. ，该选项正确，符合题意；
C. ，该选项错误，不符合题意；
D. ，该选项错误，不符合题意．
故选：B．
2. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 24，25B. 23，23
C. 23，24D. 24，24
【答案】C
【解析】
【分析】把给定数据由小到大排列，再求出众数、中位数即得.
【详解】苗高由小到大排列为：，
所以这组数据的众数和中位数分别是23，24.
故选：C
3. 已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意结合并集的定义可得：.
本题选择B选项.
4. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 若a>b，则 < B. 若a>b，则ac>bc
C. 若a>b>0，c>d>0，则ac>bdD. 若a>b，则 <
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断，也可举特例说明．
【详解】选项A中，若满足，但仍然有，A错；
选项B中，若，则，B错；
选项C中，则得，，∴，C正确；
选项D中，若，则，甚至中有一个为0时，或无意义，D错．
故选：C．
5. 若命题“”为假命题，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意结合命题和它的否定的真假性关系，以及一元二次不等式恒成立问题的充要条件即可求解.
【详解】由题意命题“”为真命题，
所以当且仅当，
解得，即m的取值范围是.
故选：C.
6. 已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数的运算性质即可求解.
【详解】.
故选：B
7. 如图，在中，，，，平分，则的长是（ ）
A. B. C. 3D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】过作，利用平行线的性质，结合已知列式计算即得.
【详解】在中，，，，则
过作交的延长线于点，则，即
由，得，
所以.
故选：C
8. 已知当自变量x在的范围内时，二次函数的最大值与最小值的差为4，则常数m的值可为（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】配方得时，，分、和讨论即可.
【详解】二次函数，
该函数图象开口向下，当时，取得最大值7，
当自变量在的范围内时，
二次函数的最大值与最小值的差为4，
当时，时取得最小值，时取得最大值，
此时最大值与最小值的差为；
当时，和分别取得最小值和最大值，
此时最大值与最小值的差大于4，不符合题意；
当时，和分别取得最大值和最小值，
此时最大值与最小值的差小于4，不符合题意；
由上可得，的取值范围是，
故选：C.
9. 若，则的最小值为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 无最小值
【答案】C
【解析】
【分析】将式子配凑成，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】若，则，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8．
故选：C．
10. 已知定义在上的函数满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可知，与已知的式子联立方程组可求出，从而可求出的值.
【详解】因为定义在上的函数满足，
所以，所以，
所以，解得，
所以，
故选：D
11. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③若方程有两个根和，且，则；④若方程有四个根，则这四个根的和为.其中正确的结论有（ ）
A 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据定点坐标求得的关系式，由此对个结论进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由图可知，由于二次函数的顶点坐标为，
所以，整理得，，
所以①，①正确.
②，②错误.
③，
所以二次函数与轴交点的横坐标是和，
若方程有两个根和，且，
则，所以③正确.
④若方程有四个根，根据对称性可知，
这四个根的和为，所以④错误.
综上所述，正确的有个.
故选：B
12. 已知关于不等式的解集为，则（ ）
A
B. 点在第二象限
C. 的最大值为
D. 关于的不等式的解集为
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式不等式与整式不等式的转化，结合解的性质可得和分别是和的实数根，即可得，，进而可求解AB，利用二次函数的性质即可求解C，由一元二次不等式的求解即可判断D.
【详解】原不等式等价于，
因为解集为,所以和分别是和的实数根，
故且，，故A错误；
因为，，所以点在第三象限，故B错误；
，由于开口向下，故最大值为，故C错误，
由得即解集为，故D正确．
故选：D．
二、填空题（每小题5分，共计20分）
13. 已知集合，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得.
【详解】由，得，而，
所以.
故答案为：
14. 若是一元二次方程的两个实数根，的值为______.
【答案】7
【解析】
【分析】根据韦达定理和方程的根可得以及，即可代入化简求解.
【详解】由韦达定理可得，将代入方程可得，
故，
故答案为：7
15. 已知，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据立方和公式，代入化简即可求解.
【详解】，，
,
故答案为：
16. 设x∈R，用x表示不超过的最大整数，则y=x称为高斯函数，也叫取整函数，例如.令函数.
①
②
③的最大值为1，最小值为0
④y=fx与的图象有2个交点
以上结论正确的是______.
【答案】①②
【解析】
【分析】根据高斯函数的定义对个结论进行分析，从而确定正确答案.
【详解】①，，所以①正确.
②，因为，所以②正确.
③,由②的分析可知，是周期为1的周期函数，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，的值域为，故③错误；
④当时，，
所以，公共点有无数个，所以④错误.
故答案为：①②
【点睛】
思路点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
三、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余各题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，
17. （1）解不等式组：；
（2）计算：.
【答案】（1）（2）19
【解析】
【分析】（1）通过解一元一次不等式组来求得正确答案.
（2）根据指数运算求得正确答案.
【详解】（1），由，得，解得；
由得，解得不等式组的解集为.
（2）原式
.
18. 设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围.
【详解】由题意得，命题，命题，
是的必要不充分条件，
是的充分不必要条件，
即，
且，
，
故实数a的取值范围为.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，以及根据必要不充分条件求参数的问题，解答时注意等价转化思想的运用.
19. 某校准备设置的五类劳动课程分别为：A.整理与收纳；B.烹饪与营养；C.传统工艺制作；D.新技术体验与应用；E.公益劳动与志愿服务.为了解学生对这五类劳动课程的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五类课程中的一种），并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据上述信息，解答下列问题.
（1）本次被调查的学生有______名，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中E对应的扇形的圆心角度数是______；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁4名同学中的2名参加全市传统工艺制作展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两位同学同时被选中的概率.
【答案】（1）100，补全条形统计图见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）结合条形图及扇形图，列式计算得被调查的学生数，再求出B课程人数，补全条形图.
（2）由E课程所占百分比求出圆心角度数.
（3）画出树状图，求出概率.
【小问1详解】
依题意，本次被调查的学生人数为，
故答案为：100
喜欢B课程的人数为，补全条形统计图如图所示：
【小问2详解】
扇形统计图中E对应的扇形的圆心角度数是.
故答案为：
【小问3详解】
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两位同学同时被选中的结果有：甲乙，乙甲，共2种，
所以甲、乙两位同学同时被选中的概率为.
20. 如图，是的直径，弦与点，已知，，点为上任意一点，（点不与重合），连接并延长与交于点，连.

（1）求的长.
（2）若，直接写出的长.
（3）①若点在之间（点不与点重合），求证：.
②若点在之间（点不与点重合），求与满足的关系.
【答案】（1）8 （2）5或8
（3）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据圆的几何性质以及勾股定理来求得.
（2）根据是否为进行分类讨论，从而求得的长.
（3）①通过证明，结合圆的几何性质来证得.
②通过证明，结合圆的几何性质来证得.
【小问1详解】
如图1，连接，

是的直径，弦，
，由勾股定理得；
【小问2详解】
，平分，
由题意知，分是直径，是不为直径的弦两种情况求解：
①当是直径，则重合，；
②当是不为直径的弦，则重合，，的长为5或8；
【小问3详解】
①证明：如图2，连接，

由题意知，垂直平分，
，
，，，
②解：；
如图3，连接，

由题意知，垂直平分，
，
由圆内接四边形可得，，.
21 已知函数．
（1）若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当时，解关于x的不等式．
【答案】（1）；
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）讨论或两种情况，由不等式恒成立，求参数的取值范围；
（2）首先不等式整理为，讨论对应方程的两根大小关系，解不等式.
【小问1详解】
即为，
所以不等式对于任意x∈R恒成立，
当时，得，显然符合题意；
当时，得，解得．
综上，实数a的取值范围是．
【小问2详解】
不等式即为，
即．
又，不等式可化为，
若，即时，得或，即解集为或；
若，即时，得，即解集为；
若，即时，得或，即解集为或．
综上可知，当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为或．
22. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数在上的解析式；
（2）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数的定义求出解析式.
（2）利用单调性定义证明在R上单调递增，再利用单调性及奇偶性脱去法则，转化为恒成立求解.
【小问1详解】
任取，则，，
当时，，而符合上式，
所以函数在R上的解析式.
【小问2详解】
任取且，
，
由，得，，，，
则，即，因此在R上单调递增，
而是奇函数，原不等式化为，
于是，即，依题意，对，恒成立，
而，当且仅当时取等号，从而，
所以实数的取值范围为.