广东省2025年深圳市高三第一次模拟-数学试题（含答案）

这是一份广东省2025年深圳市高三第一次模拟-数学试题（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。







2
025 年深圳市高三年级第一次调研考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
题号
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
B
C
B
C
B
D
命题说明：
1
2
3
．说明：本题改编自人教 A 版必修第一册 10 页例 1．
．说明：本题改编自人教 A 版必修第二册 71 页例 2．
．说明：本题改编自人教 A 版必修第二册 60 页第 8 题．
4
5
．说明：本题改编自人教 A 版必须第一册 229 页第 9 题．
．说明：本题改编自 2024 年新高考全国Ⅱ卷第 6 题．
6
7
8
．说明：本题改编自人教 A 版选择性必修第一册 129 页第 13 题．
．说明：本题改编自 2024 年新高考全国Ⅰ卷第 13 题．
．说明：本题改编自人教 A 版必修第二册 119 页例 4．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
题号
答案
9
10
11
ABD
AC
AD
命题说明：
9
． 说明：本题改编自人教 A 版选择性必修第三册 112 页思考．
0．说明：本题改编自人教 A 版必修第一册 250 页阅读与思考．
1．说明：本题改编自人教 A 版选择性必修第一册 116 页第 11 题．
1
1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2．240 13．6
命题说明：
1
14．14
1
1
1
2．说明：本题改编自人教 A 版选择性必修第三册 35 页第 6 题．
3．说明：本题改编自人教 A 版选择性必修第二册 31 页第 3 题．
4．说明：本题改编自《趣味数学 100 题》．
数学试题参考答案及评分标准
第 1页 共 12页

四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
在△ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ， c2 a2 b2  ab， cs 2B sinC ．


（1）求 B ；
（2）若 b 1，求 △ABC 的面积．
【命题说明】本题改编自 2024 年新高考全国Ⅰ卷第 15 题.
【参考答案】
a2  b2  c2
（
1）由余弦定理推论 csC 
及 c2  a2  b2  ab 得 ……………………………1 分
2
ab
1
csC  ，…………………………………………………………………………………………2 分
2
由于C(0,π) ，……………………………………………………………………………………3 分
π
则C  ， …………………………………………………………………………………………4 分
3
3
2π
，且 B (0, ) ， ……………………………………………………5 分
又因为 cs 2B  sinC 
2
3
π
π
所以 2B  ，则 B  ． …………………………………………………………………………6 分
12
6
7
1
π
2
（2）解法 1 由（1）可知 A 
，………………………………………………………………7 分
π
π
4
π
6
6  2
且sin B  sin  sin(

) 
， ………………………………………………………8 分
12
4
7
1
π
π
4
π
6  2
sin A  sin
 sin(

) 
，…………………………………………………………9 分
2
3
4
a
b
c


由正弦定理：
， ……………………………………………………………10 分
sin A sin B sin C
bsin A sin A
得 a 

 2  3 ， …………………………………………………………………11 分
sin B
sin B
1
1
3
3 2 3
所以 S  absinC  (2  3 )

． ……………………………………………13 分
2
2
2
4
π
解法 2 由（1） A   B ， ………………………………………………………………………7 分
2
所以 sin B   cs A ， ………………………………………………………………………………8 分
a
b
c
由正弦定理：


，………………………………………………………………9 分
sin A sin B sin C
bsin A sin A
π
4
π
3
得 a 

  tan A   tan(

)  2  3 ，………………………………………11 分
sin B
sin B
1
1
3
3  2 3
S  absinC   (2  3 )

． …………………………………………………13 分
2
2
2
4
解法 3 如图，过点 A 作 AD  AC 交 BC 于 D ，…………………………………………………7 分
7
1
π
2
π
由于 A 
，则 DAB  B 
， ……………………………………………………………8 分
12
数学试题参考答案及评分标准
第 2页 共 12页

所以 AD  DB  3 ，CD  2 ， …………………………………………………………………10 分
a  2  3 ， ………………………………………………………………………………………11 分
1
1
3
3 2 3
所以 S  absinC  ( 2 3 )

． ……………………………………………13 分
2
2
2
4
A
C
B
D
1
6．（15 分）
如图，在直三棱柱 ABC  A B C 中，AB  AC  2 3 ，BAC 120，D 为 AA 的中点，E 为 BC
1
1
1
1
1
的中点．
（
1）证明： DE  平面 B BCC ；
1
1
（
2）若 BB  6 ，求直线 A B 与平面 DBC 所成角的正弦值．
1
1
1
A
1
C
1
B
1
D
E
A
C
B
【命题说明】本题改编自 2023 年新高考全国Ⅰ卷第 18 题.
【参考答案】
（1）取 BC 中点 M ，连接 AM ， ME ，…………………………………………………………1 分
因为 AB  AC ，所以 AM  BC ，…………………………………………………………………2 分
由于点 E 为正方形 B BCC 对角线的交点， E 为 BC 的中点，所以 EM 为VBCC 的中位线，
1
1
1
1
所以 EM //CC1 //AD ， ……………………………………………………………………………………3 分
1
1
又 EM = CC1 = AA1  AD ，所以四边形 AMED 为平行四边形，………………………………4 分
2
2
又因为 AA  平面 ABC ， AM  平面 ABC ，则 AA  AM ，EM  AM ， …………………5 分
1
1
EM,BC 
由于
平面
B BCC
1
，EM I BC M ，所以 AM 平面 B BCC ， …………………6 分


1
1
1
又因为 DE//AM ，所以 DE  平面 B BCC ． ……………………………………………………7 分
1
1
数学试题参考答案及评分标准
第 3页 共 12页

（2）解法 1 由（1）可知： MA ， MC ， ME 两两垂直，如图，以 M 为坐标原点，以 MC 所在
x
y
直线为 轴， MA 所在直线为 轴， ME 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系， ……………8 分
在V A B C 中，由余弦定理可得： B C  A1B12  A1C12  2 A B  A C  cs B A C ，
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
则 B C  6 ， ……………………………………………………………………………………………9 分
1
1
于是 D( 0, 3,3)， B(  3,0,0 ) ， B (  3, 0, 6) ， C (3, 0, 6 ) ， A ( 0, 3, 6) ，
1
1
1
uuur
则 BA  ( 3, 3,6 ) ，……………………………………………………………………………………11 分
1
r
uuur
uuur
设 n  (x, y,z) 平面 DBC ， BD  (3, 3, 3) ， BC  (6, 0, 6) ， ………………………………12 分
1
1
r uuur
n  BD  0


3x
6x  6z  0


3y  3z

0
于是 r uuur
，即 
，………………………………………………………13 分

1
r
令 z 1，则 n  (1, 0,1) ，…………………………………………………………………………14 分
设直线 A B 与平面 DBC 所成角为 ，
1
1
uuur r
BA n
uuur r
3
6
1
那么sin

cs BA ,n

 


，
uuur r
1


n
4 3
2
8
BA
1
6
即直线 A B 与平面 DBC 所成角的正弦值为
.……………………………………………………15 分
1
1
8
数学试题参考答案及评分标准
第 4页 共 12页

解法 2 在VA B C 中，由余弦定理可得： BC
2
1
 A1B  A1C12  2A B  AC csB AC ，
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
则 B C  6 ， ……………………………………………………………………………………………8 分
1
1
如图，连接 B E ，由（1）， DE  平面 B BCC ， BC  平面 B BCC ，则 DE  BC ，………9 分
1
1
1
1
1
1
1
又因为 BB  B C ，四边形 B BCC 为正方形， E 为 BC 的中点， B E  BC ，……………10 分
1
1
1
1
1
1
1
1
由于 B E I DE  E ， B E ， DE  平面 B DE ，则 BC  平面 B DE ， ………………………11 分
1
1
1
1
1
如图，记 A B I B D  N ，过点 N 作 NH  DE ，连接 BH ，由于 BC  平面 B DE ，NH  平面 B DE ，
1
1
1
1
1
则 NH  BC ，又因为 DE I BC  E ， DE, BC  平面 DBC ，则 NH  平面 DBC ， …………12 分
1
1
1
1
1
所以 NBH 即为直线 A B 与平面 DBC 所成角，由于VA DN : BB N ，
1
1
1
1
B1N
BN

 2
， ………………………………………………………………………………13 分
则
ND A1N
1
8
8 3
3
由于 DE  B1E ，则 H 为 DE 的三等分点，则 NH  B1E  2 ， NB 

，
3
3
NH
NB
6
于是sin NAH 

， ……………………………………………………………………14 分
8
6
即直线 A B 与平面 DBC 所成角的正弦值为
. ……………………………………………15 分
1
1
8
解法 3 设直线 A B 与平面 DBC 所成角为 ，点 A 到平面 DBC 的距离为 h ，
1
1
1
1
h
则sin 
，…………………………………………………………………………………………8 分
|
A1B |
数学试题参考答案及评分标准
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在 Rt△A B B 中， A B  2 3 ， BB  6 ，则 A B  4 3 ，………………………………………9 分
1
1
1
1
1
1
过 B 作 BQ  CA 交CA 的延长线于Q ，易得 BQ  3 ，…………………………………………10 分
且易证 BQ  平面 A ACC ，………………………………………………………………………11 分
1
1
1
2
1
3
由于 S△A1DC1

 3 2 3  3 3 ，则VBA1DC1

3 33  3 3 ，……………………………13 分
1
在△DBC 中， DB  DC  21 ，且 BC  6 2 ， S

 6 2  3  3 6 ，…………14 分
1
1
1
△DBC1
2
3
3
3 3
1
6
又VA1 BDC1 VBA1DC1  3 3 ，则 h 
， sin 


.…………………………15 分
6
6
4 3
8
1
7．（15 分）
甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为 p( 0  p 1) ，输的概率为1 p ，
每局比赛的结果是独立的．
2
3
p

（1）当
时，求甲最终获胜的概率；
（2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案. 方案一：最终获胜者得3分，失败者得 2
分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得 0 分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望
更大．
【命题说明】本题改编自 2024 年新高考全国Ⅱ卷第 18 题.
【参考答案】
（1）记“甲最终以 2 :1 获胜”为事件 A ，记“甲最终以 2 : 0 获胜”为事件 B ，
“甲最终获胜”为事件 C ， ……………………………………………………………………………1 分
于是C  A U B ， A 与 B 为互斥事件，……………………………………………………………2 分
8
由于 P( A )  C2
1
 p  p  1  p 
，………………………………………………………………3 分
2
7
4
P( B )  p2  ，……………………………………………………………………………………4 分
9
2
2
0
7
则 P( C )  P( A )  P( B )  3p2  2 p3 
， ……………………………………………………5 分
数学试题参考答案及评分标准
第 6页 共 12页

2
0
即甲最终获胜的概率为 . ………………………………………………………………………6 分
2
7
2）由（1）可知，P( C )  P( A)  P( B ) 3p
2
2p3 ，………………………………………7 分
（
若选用方案一，记甲最终获得积分为 X 分，则 X 可取3，2 ， ………………………………8 分
P( X 3)  P(C ) 3p2 2p3 ， P( X  2) 13p2 2p3 ， …………………………………9 分
则 X 的分布列为：
X
p
3
2
3
p2
2p3
13p2 2p3
则
E( X ) 9p2 6p3 26p2 4p3  10p3 15p2 2， ……………………………………10 分
若选用方案二，记甲最终获得积分为Y分，则Y 可取1，0 ，…………………………………11 分
P(Y 1)  P( C ) 3p2 2p3 P(Y  0) 13p2 2p3 ，………………………………………12 分
则Y的分布列为：
Y
p
1
0
3p2 2p3
13p2 2p3
则
E(Y ) 3p2 2p3 ， ……………………………………………………………………………13 分
1
 2  4( p  ) 2 p
 2 p  1 ，
所以 E( X )  E( Y )  8 p3  12 p
2
2
2
0
 p 1，则 2p2  2p 1 2p( p 1) 1 0
由于
，……………………………………………14 分
【14 分段：设 f ( p)  8 p3  12 p
2
 2 ，
0
 p 1，利用 f '( p)
 24 p
2

24 p  24 p( p 1) 0 ，


1
f ( p) 在 (0,1)
上单调递增，且
f ( )  0
.】
则
2
1
于是 p  时，两种方案都可以选，
2
1
当 0  p  时，
E( X )  E( Y )
，应该选第二种方案，
2
1
2
 p  1 时，
E( X )  E(Y )
，应该选第一种方案.…………………………………………15 分
当
1
8．（17 分）
已知抛物线 y2  2x ，过点
N(2,0)
作两条直线l ,l 分别交抛物线于 A,B 和C, D（其中 A,C 在 x 轴
2
1
上方）．
（
1）当 l 垂直于 x 轴，且四边形 ACBD 的面积为 4 5 ，求直线 l 的方程；
1
2
（
2）当l ,l 倾斜角互补时，直线 AC 与直线 BD 交于点 M ，求△MAB 的内切圆的圆心横坐标的
1
2
数学试题参考答案及评分标准
第 7页 共 12页

取值范围．
【
命题说明】本题改编自 2014 年全国大纲卷第 21 题.
参考答案】
【
解：（1）解法 1 当l1  x 轴，令 x  2 ，则 A(2,2) ， B( 2,2)，| AB | 4， …………………1 分
1
设直线l : y  kx  2k ，C( x , y ) ， D( x , y ) ，由于 S   4 | x  x | 4 5 ，
2
1
1
2
2
1
2
2
则| x  x | 2 5 ， ………………………………………………………………………………………2 分
1
2

2

y  kx  2k
x  x  4 
k
2
x
2
( 4k2  2)x 4k2  0，则

1
2
2
k ， …………………… 分
3
由于 
，则
y
2
 2x


x1x2

4

2
( x  x )2  ( 4 
)
2
 16  20 ，…………………………………………………………………4 分
1
2
2
k
2
则 4 
 6 ，则 k  1 ， …………………………………………………………………………5 分
k
2
所以直线 l2 的方程为 x  y  2  0或 x  y  2  0 .………………………………………………6 分
解法 2 设l : x  ty  2 ，倾斜角为 ，由对称性知l 有两条，且关于l 对称， ………………1 分
2
2
1
π
π
不妨设 0    ，那么 ANC    ，t  0 ，
2
2
1
2
 4 | CD | cs  4 5 ，则| CD | cs 
2 5 ，………………………………………………2 分
则 S 

2
 2x
y  y  2t
y
 y2  2ty  4  0，则

1
2
， ……………………………………………3 分
由于 
x  ty  2
y  y  4


1
2
1
t
 16 ，cs 

则 CD  1  t
2
 y1  y2

1  t
2

4t
2
， ……………………4 分
1
1
t
2
1

t
2
 1 )  t  5  0 ， …………………………………………5 分
|
CD | cs  2t t
2
 4  2 5 ， ( t
2
2
则t  1 ， x  y  2 由对称性，另一条直线： x  y  2，
所以直线 l2 的方程为 x  y  2  0或 x  y  2  0 .………………………………………………6 分
（
2）解法 1 设点 A(x , y ) ， B(x , y ) ，C(x , y ) ， D(x , y ) ，
1
1
2
2
3
3
4
4
y2  y
1
2
2
2
2
因为 kAB


，同理：kCD

，kAC

，kBD

，…………7 分
x2 x1 y1 y2


y3  y4
y1  y3
y2  y4
2
所以 AB : y  y1 
( x  x ) ， AB : ( y  y )y  y y  2x ， CD : ( y  y )y  y y  2x ，
y2  y1
1
1
2
1
2
3
4
3
4
AC : ( y  y )y  y y  2x ，BD : ( y  y )y  y y  2x ，……………………………………………8 分
1
3
1
3
2
4
2
4
又因为 kAB  kCD ，直线 AB 和直线C D 交于点 N(2, 0) ，

y y  y y  4
2
2
1
2
3
4
所以
 
，且  y y   y y  4 ，即 
，……………………9 分
y1  y
2
y3  y
4
1
2
3
4
y  y  ( y  y )
1
2
3
4
4
4
y1   y3 
，且 y  y ，化简得： y y  4 ，于是 y  y ， y   y ，……………10 分
1
3
1
3
3
2
4
1
y1
y3
数学试题参考答案及评分标准
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
4
( y1 
)y  2x  4

x  2

y1
则 
，解得 
，所以点 M(  2,0 ) ， ………………………………11 分
y  0
( y1  4
)y  2x

4




y
1
y4
y1
由于 y   y ，则 x  x ，所以 k


 kMA ，则 x 轴平分 AMB ，…………12 分
4
1
4
1
MD
x4  2 x1  2
2
n  4
设VMAB的内切圆圆心 Q( n,0 ) ， 2  n  2 ，则 Q 到 MA 的距离 r 
，
4
4
 ( y1 
)2
y1
4
 2n
4  2n
4  2n
点Q 到 AB 的距离 r 
， 于是

，………13 分
4
4
4
4
 ( y1 
)2
4  ( y1 
)2
4  ( y1 
)2
y1
y1
y1
4
16
4
4
 ( y1 
)
)
2
2
( y1
2

) 12
2
2

 n
n
y1
4
y
2
1
16
16
所以


 1
，………………………14 分
16
 ( y1 
( y1
2

)  4
( y1
2

)  4
y1
y
2
1
y
2
1
1
6
由于 y12 
 8 ，当且仅当 y1  4取等号（舍）， ……………………………………………15 分
2
y
2
1
2
2
 n
 n
则1
 5 ，…………………………………………………………………………………16 分
则 0  n  3 5 ，n( 0,3 5 ) . ………………………………………………………………17 分
【
14 :17 分段：
2
2




4
4
16
16

4  ( y1 
)
2
 4  ( y1 
)
2

 12  ( y2

)  4  ( y1
2

) 




y1
y1
1
y
2
y
2
，




n


1
1
8
8
1
6
z  y1
2

 8
y  2
，当且仅当 取等号（舍），
令
y
2
1
1
( 12  z  4  z )2
则 n 
，设 f z  12  z  4  z ， z 8，
 
8
1
1
z  4  z 12

 



f ' z
0 ，
2
12  z 2 z  4
2 12  z z  4


( 8,
f z
)
单调递减， 0  n  f (8) 3 5 ， n ( 0,3 5 ) .】
 


则
在
解法 2 点 M(2, 0) 证明同解法 1；………………………………………………………………11 分
设VMAB的内切圆圆心 Q( n,0 ) ， 2  n  2 ，
设定点 N( 2,0 ) ，由于
MQ  2 n， NQ  2n，设半径为r ，……………………………12 分
r
 n
1
设 AMQ  ， ANQ   ，于是 sin 
，

2
1 
t
2
AM
数学试题参考答案及评分标准
第 9页 共 12页

r
 n
1
sin(    )  sin  

，………………………………………………………………13 分
2
1
t
2
AB

 n
n
1 t

2
y
2
2

( x1

2 )2
x
2
2

6x1

4
2
2
那么

MA
2

1

1
，………………………………………14 分
1 t
y
 ( x1  2 )2
x
 2x1  4
AB
1
1
x
x
2
1
2
1
 6x1  4
8x1
8
4
设 f x1  

1
1 1,x1  0 ，……………………………15 分

2x1

4
x
2
1

2x1

4
x1   2
x1
4
2  n
由于 x1   4 ，当且仅当 x1  2 取等号（舍），则1 
x1

5 ，…………………………16 分
2

n
则 0  n  3 5 ，则 n( 0,3 5 ) .……………………………………………………………17 分
【
13:14 分段： 在VAMN 中，由角平分线定理：
( x1  2 )2  y1
2
2
2
 6x1  4
 2x1  4
SVAMQ MQ
AM
AN
2  n
2  n
x


，
则


1
.】
SVANQ
NQ

2 )2

y
2
2
x
( x2
1
1
9．（17 分）
已知无穷数列{a }满足， a ， a 为正整数， a | a  an2 | ， nN*
.
n
1
2
n
n1
（
（
（
1）若 a 1， a  2，求 a ；
1
3
4
2）证明：“存在
k N* ，使得 a  0 ”是“a 是周期为 3的数列”的必要不充分条件；
k
n
3）若 a  a ，是否存在数列{a }，使得 a  2025 恒成立？若存在，求出一组 a ,a 的值；若
1
2
n
n
1
2
不存在，请说明理由．
【命题说明】本题改编自 2006 年北京卷第 20 题
【参考答案】
解：（1）因为 an | an1  an2 |对任意
n* 成立;
令 n 1得1 a | a  a | ，所以1| a  2| ，则 a 1或3，……………………………………1 分
1
2
3
2
2
若 a 1，由 a | a  a |，则1| 2  a |，则 a 1或3，………………………………………2 分
2
2
3
4
4
4
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第 10页 共 12页


若 a  3 ，由 a | a  a |，则 3 | 2  a |，则 a  1或5 ， …………………………………3 分
2
2
3
4
4
4
因为 a | a  a | 0 ，综上所述： a 1或3或5 ． ……………………………………………4 分
4
5
6
4
（
2）①记 a  x,a  y
1
2
必要性：若a 是周期为 3的周期数列， a  a  a 或 a  a ， ……………………………5 分
n
3
1
2
2
1
当 a  a  a 时，数列a 前5 项为： x, y,x  y,x, y ，
3
1
2
n
由 a | a  a |得 x  y | x  y | ，该式当且仅当 x  0 或 y  0 时成立，
3
4
5
与 a ,a 为正整数矛盾；…………………………………………………………………………………6 分
1
2
当 a  a  a 时，数列a 前5 项为： x, y, y  x, x, y ，
3
2
1
n
由 a | a  a | 得 y | y  2x |，则 y  2x  y 或 y  y  2x (舍，此时 x  0 )，
2
3
4
因此 x  y ， a  0 ，此时数列a ： x, x,0, x, x,0, x, x, 0,L，存在 k

N* ，使得 ak  0 ，………7 分
3
n
另一方面：取数列an：1,1, 0,1,1, 2, 3, 5,L其中当 n  3时， an2  an1  an ，
此时数列an不是周期数列，…………………………………………………………………………8 分
k * ，使得 a  0 ”是“ a 是周期为 3 的周期数列”的必要不充分条
综上，“存在
k
n
件．………………………………………………………………………………………………………9 分
（3）不存在，理由如下：

an1  an ()
或

an | an1  an2 |等价于 an2  
，…………………………………………………10 分

a
n1

an ()

k * ，使得 ak  0 ，否则由 ak2 | ak1  ak |得 ak2  ak1 记为 w ，
首先说明不存在
所以 ak3 | ak2  ak1 | 0 ， ak4 | ak3  ak2 | w ， ak5 | ak4  ak3 | w ，
依此类推得前 k 项为L,w,0,w,w,0,w,w, 0(第k项) ，则 a ,a 要么相等，要么有一项为 0 ，矛盾，
1
2
因此 an 1对任意
n* 成立，………………………………………………………………………11 分
k * ，使得 ak2  ak1  a k 以及 ak3  ak2  a k1 同时成立，否则两式相加得
其次，不存在
ak3  ak ，矛盾．……………………………………………………………………………………12 分
数学试题参考答案及评分标准 第 11页 共 12页

（
i）若 () 式只对有限个正整数 n 才成立，不妨设当且仅当 n{p , p ,L, p }时 () 式成立，
1
2
k
其中 p  p L p ，则当 n  p 1时， () 式恒成立，此时 a  an1  an  an1 1恒成立，
1
2
k
k
n2
由此易知当 n  p 1，a  n  p ，因此数列a 是无界数列，…………………………………13 分
k
n
k
n
（
ii）若存在无限个正整数 n 使得 () 式成立，不妨设当且仅当 n{i ,i ,L,i ,L} 时 () 式成立，
1
2
k
其中i  i L i L，考虑 a 与 a ，为方便书写记且i  p ，i  p  j ， j  2 ，则
1
2
k
im1
i
m
m
m1
ap  ap1  ap2 ， ap1  ap  ap1 ，
若 j  2 ，则 ap j1  ap1  ap1  ap  ap1 1，
若 j  2 ，则 ap2  ap1  ap ，L， ap j1  ap j2  ap j3 ， ap j  ap j1  ap j2
则 ap  ap1 L ap j2  ap j1
，
，
此时 ap j1  ap j  ap j2 1 ap j2 1 ap1  ap1  2，…………………………………………15 分
无论哪种情况总有 ap j1  ap1 1成立，即 aim1 1  ai 1恒成立，………………………16 分
1
m
记 bk  aik 1 ，则 bk1  b 1恒成立，由此易得数列a 是无界数列，所以，存在 nN* 使得
k
n
a  2025 ，故不存在符合题意的 a ,a ．……………………………………………………………17 分
n
1
2
数学试题参考答案及评分标准
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