吉林省长春市二道区2025届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

这是一份吉林省长春市二道区2025届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数中与相加，和最小的是（ ）
A．B．2C．0D．1
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图和俯视图同时发生变化，则应取走（ ）
A．①B．②C．③D．④
4．小明为了验证学校的百米跑道是由若干条平行线组成的，按照如图所示的方式分别测出，从而得到结论．这种验证方法的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行D．同旁内角互补，两直线平行
5．已知a、b、c三个实数表示的点在数轴上的位置如图所示，下列结论不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线（近似的看做直线）与平地面构成的角为．若小明身高1.4米，那么他的风筝高为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
7．如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点，是直线与双曲线的交点，线段及其下方的双曲线围成的封闭区域为G．图形G内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
9．如图，在正方形中，点E和点F分别是边和的中点，连结、交于点G，点H是延长线上一点，连结，给出下面四个结论：①；②；③；④当时，；⑤当时，．上述结论中，正确结论的序号有 ．
二、填空题
10．比较大小： 5（填“”“”或“”）．
11．因式分解： ．
12．若一个正多边形的一个内角为，则该多边形的边数为 ．
13．若一元二次方程有两个相等的实数根，则它的根是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点P在线段上，与x轴交于M、O两点．若与直线相切，则线段的长度为 ．
三、解答题
15．先化简，再求值：，其中．
16．一个不透明的箱子里装有1个红色小球和3个白色小球，每个小球除颜色外其它完全相同．小亮从箱子里随机摸出一个小球，记下颜色后不放回箱子，然后小亮的爸爸又从箱子中随机摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小亮和爸爸抽到同一颜色小球的概率．
17．小明的爸爸要把一份文件通过快递公司送到与本市相距900千米的城市M，A公司的运输速度是B公司的1.5倍，选用A公司送此文件会比B公司早到5小时，求B公司的运输速度．
18．如图，在中，，点D是延长线上一点，，过点A和点D分别作，和相交于点E，连结．求证：四边形是矩形．
19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，的顶点均为格点，在边上找到一点M，连接，使；
(2)在图②中，点A、B、O均为格点，过点B作的切线；
(3)在图③中，点A、B、O均为格点，在上找到点M和点N（点M和点N均不与点A重合），作，使．
20．为了了解学生体育锻炼的情况，某校对七年级部分学生每天体育锻炼的时间进行调查，并将收集到的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：七年级部分学生每天体育锻炼时间的条形统计图及扇形统计图如下：（数据分成4组：，，，．单位：小时）
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求C组人数，并补全条形统计图；
(2)若七年级学生每天体育锻炼的时间不低于1小时为达到标准，估计该校600名七年级学生体育锻炼时间达到标准的人数；
(3)下列结论一定正确的是________（填序号）．
①这组数据的中位数在范围内；
②B组数据在扇形统计图中所对应的圆心角为；
③根据题目中所给条件能求出这组数据的平均数．
21．电子体重秤的原理是当人站在秤盘上时，压力施加给传感器，传感器发生弹性形变，使阻抗发生变化，输出一个变化的模拟信号，将该信号进行处理并输出到显示器，显示出体重数据．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，与踏板上人的质量之间的几组对应值如表：
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，根据点的分布规律，R与m符合初中学习过的某种函数关系，则可能是________函数关系（选填“一次”“二次”“反比例”） ；
(2)根据以上判断，当时，求R关于m的函数关系式；
(3)当可变电阻R为时，求人的质量m．
22．【问题原型】如图①，在中，，，．点D是边上一点，，连结，试探究线段长度的最小值．
【问题探究】如图②，小明发现点C的轨迹是以的中点为圆心，半径为3的圆的一部分，因为，所以点C的变化会导致点D的变化，于是将问题进一步转化为探究点D的轨迹问题：小明过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连结，则，可知恒为直角，又因为点B和点E均为定点，即可确定点D的轨迹．
以下是小明证明的部分过程：
证明：过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连结．
又，，
，
．
请你补全缺失的证明过程．
【解决问题】在图③中，点O是线段的中点，请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点D，使线段长度的最小，此时线段长度的最小值是________．（保留作图痕迹）
23．如图，在中，，，，点在边上，连结，点是的中点，以为边作正方形，使点和点在直线同侧．
(1)求的面积；
(2)当时，求正方形的周长；
(3)当点落在上时，求的长；
(4)当点到直线的距离与点到直线的距离相等时，的长为 ．
24．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b是常数）经过点，点M在抛物线上，横坐标为m，点N的横坐标为，纵坐标与点M的纵坐标相同，点A在y轴上，纵坐标为m．当点M和点A的纵坐标不相等时，作点A关于点M的对称点B，作点A关于点N的对称点C，连结、、．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)试说明线段的长度为4；
(3)当直线与抛物线（b是常数）有两个交点时，设这两个交点分别为P、Q（点P在点Q左侧）．
①若点M在对称轴左侧，点P在线段上，当此抛物线在内部（包括边）的点的纵坐标最大值与最小值的差为2时，求m的值；
②连结、，若点M在对称轴右侧，当时，直接写出m的值．
《2025年吉林省长春市二道区中考二模数学试题》参考答案
1．A
解：，，，，
又，
选项中各数与相加，和最小的是，
故选：A．
2．D
解：A、，选项运算错误，不符合题意；
B、，选项运算错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能进行加减运算，选项运算错误，不符合题意；
D、，选项运算正确，符合题意；
故选：D．
3．A
解：若取走标有①的小正方体，则新几何体的左视图和俯视图都发生变化，
故选：A．
4．C
解：∵，
∴内错角相等，两直线平行，
即学校的百米跑道是由若干条平行线组成的，
故选：C
5．D
解：由数轴得：；
∵，
∴由不等式基本性质1得：；由不等式基本性质2得：；
即选项A、B正确；
∵，
∴由不等式基本性质1得：；
即选项C正确；
∵，
∴由不等式基本性质3得：；
故选项D错误；
故选：D．
6．C
解：如图所示，
根据题意可知：米，米，，，
∴米，
∴米，
即他的风筝高为米，
故选：C．
7．B
解：由图形可知，若是的角平分线，根据折叠关系可得 ，选项中符合这一条件只有B．
故选：B．
8．B
解：∵点，是直线与双曲线的交点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
把代入得，，
∴，
∴，
把，代入得：
，
解得，
∴；
∴图形G是双曲线上方与直线下方之间的部分，且；
所以，当时，，，
∴，
∴点是图形G内的整数点；
同理可得，当时的整数点是；
当时的整数点是；
当时，无整数点；
综上，符合条件的整数点共有3个，
故选：B．
9．①②④
解：∵四边形是正方形，
∴
∵点E和点F分别是边和的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故①正确；
设，则，
∴，
∴；
∵，
∴,
∵
∴，
∴，即,
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，，
，
∴，
∴，即，故③错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
过点作于点，如图，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
，
∴，故⑤错误，
所以，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
10．
解：，
，即，
故答案为：．
11．
解：，
故答案为：
12．8
解：正多边形的一个内角为，
正多边形的一个外角为，
多边形的外角和为，
该多边形的边数为．
故答案为：8．
13．或
解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴或，
当时，
原方程为：，
∴，
解得：，
当时，
原方程为：，
∴，
解得：，
故答案为：或
14．2
解：当时，；当时， ，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
如图，设与直线相切于点，连接，
∴，，
设，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2
15．
解：原式
；
当时，原式．
16．
解：画出树状图如下：
故P（小亮和爸爸抽到同一颜色）．
17．60千米/小时
解：设B公司的运输速度为x千米/小时．


解得
经检验是原方程的解且符合题意，
答：B公司的运输速度为60千米/小时．
18．见解析
解：，，
四边形是平行四边形．
．
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
是矩形．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
（1）解：如图所示，取格点M，连接，则点M即为所求；
（2）解：如图所示，取格点E，作直线，则直线即为所求；
（3）解：如图所示，取格点F，连接交于M，设与交于N，连接，则即为所求．
20．(1)21，见解析
(2)345人
(3)①②
（1）解：调查总人数为：（人），
C组人数为：（人）
补全条形统计图如下：
（2）解：（人），
答：估计该校600名七年级学生体育锻炼时间达到标准的人数为345人；
（3）解：①将40个数据按从小到大的顺序排列，最中间的2个数据是第20和21个，
而，C组有21人，
∴中位数在范围内，故①正确；
②B组数据在扇形统计图中所对应的圆心角为，故②正确；
③根据题目中所给条件能无法求出这组数据的平均数，故③错误．
故答案为：①②
21．(1)一次
(2)
(3)
（1）解：由表格中的数据可得点的坐标，在坐标系中描出点，如图所示：
由图可知，R与m符合初中学习过的一次函数关系，
故答案为∶一次；
（2）解：设R关于m的函数关系式为，
将代入，
得，
解得，
即R关于m的函数关系式为
（3）解：当时，，
解得，，
即当可变电阻R为时，人的质量m应为．
22．【问题探究】见解析；【解决问题】图见解析，
解：【问题探究】过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连结．
∴；
∵，
∴，
∴；
又，，
，
．
【问题解决】以O为圆心，为半径作，作图如下：
连接，则；
当点D在线段上时，最小，最小值为；
在中，，
∵，
∴的最小值为．
故答案为：，
23．(1)12
(2)
(3)
(4)或
（1）解：过点作于点，如图所示：
，
，
设，则，
，
，则，
，
，解得，
，则，
，
的面积为；
（2）解：当时，，如图所示：
，
，
，
，解得，
点是的中点，
，
以为边作正方形，
正方形的周长为；
（3）解：过点作于点，如图所示：
，
，
则，
点是的中点，
，
以为边作正方形，
，，
，，
在和中，
，
，，
即，
，
，
，
，
设，则，
，由勾股定理可得，
在中，，，则由勾股定理可得，
，，
，
，解得，
则，
在等腰中，，
由（1）知，，则，
当点落在上时，；
（4）解：由题意，分两种情况：
当点在边同侧，过点分别作边的垂线，连接，如图所示：
，
点到直线的距离与点到直线的距离相等，
，且，
，
即点在边上，
点是的中点，
，
以为边作正方形，
，
，
，
，
，
，
即点在边上，如图所示：
在中，，，则，
即是等腰直角三角形，
，
由勾股定理可得，解得，
由（1）知，，则；
当点在边异侧，过点分别作边的垂线，过点作，过点作，过点作，过点作，如图所示：
，，
在正方形中，，则，
，
，
，
，
由，得，
，
点是的中点，
，
，
由，得，
，
，
设，，则正方形的边长为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
由，得，
则由平行线分线段成比例得，
是的中位线，则，
在等腰中，，，则由勾股定理可得，
，则，
在等腰中，，
设，则，
，即，
，解得，
由（1）知，，则，
；
综上所述，当点到直线的距离与点到直线的距离相等时，的长为或，
故答案为：或．
24．(1)
(2)见解析
(3)①或；②
（1）解：把点代入抛物线中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点A关于点M的对称点为点B，点A关于点N的对称点为点C，
∴点M、N分别是的中点，
∴是的中位线，
∴；
∵点M，N的纵坐标相等，横坐标分别为，
∴，
∴；
（3）解：①设点A到的距离为h，点A到的距离为；
由（2）知，，
∴，
∴，
即；
∵抛物线在内部（包括边）的点的纵坐标最大值与最小值的差为2，
即点M到的距离为2，
∴，
解得；
当点A在上方时，如图；
∵，轴，
∴点的纵坐标为，
由题意得，
∴，
整理得：，
解得：；
由于点M在抛物线对称轴的左侧，且抛物线的对称轴为直线，
∴；
当点A在下方时，则得点的纵坐标为，
同理得：，
整理得：，
解得：；
由于点M在抛物线对称轴的左侧，且抛物线的对称轴为直线，
∴；
综上，m的值为或；
②如图，取的中点H，连接，则，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
过M作于G，则点G是的中点，点G的横坐标为m；
∵
∴由中心对称知，点B的横坐标为，
其纵坐标为：
同理，点C的横坐标为，
∴点H的横坐标为；
∴点P的横坐标为；
∵点P在抛物线上，
∴当时，，
即点P的坐标为；
∵轴，
∴点B，点P的纵坐标相同，
即，
整理得：，
解得：，
由于点M在抛物线对称轴的右侧，则，
∴．
人的质量
0
30
60
90
120
可变电阻
240
180
120
60
0
证明过程缺失
……