吉林省长春市2025届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份吉林省长春市2025届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共24页。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 一元二次方程的较小的根是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
答案：A
解：∵，
∴，
∴．
∴较小的根是．
故选：A．
2. 一元二次方程根的判别式的值为（ ）
A. B. 14C. 13D.
答案：C
解：∵，
，
故选：C．
3. 下列式子中运算正确的是（ ）
A. B.
C D.
答案：B
解：A、，原选项运算错误，不符合题意；
B、，原选项运算正确，符合题意；
C、，不能合并，原选项运算错误，不符合题意；
D、，原选项运算错误，不符合题意；
故选B．
4. 计算的结果为（ ）
A. B. C. D. 3
答案：D
，
，
故选：D．
5. 将抛物线向下平移1个单位后所得的对应抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：将抛物线向下平移1个单位后所得的对应抛物线的解析式为．
故选：A．
6. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ）
A. 12B. 18C. 20D. 50
答案：C
解：和是以点为位似中心的位似图形，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
7. 如图，在4×4正方形网格中，点A、B、C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：如图，连接AC
在Rt△BEC中，BC=
∵AD⊥BC，
∴×BC×AD=8，
即 ，
解得 ，
在Rt△ADB中， ，

故选：D．
8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象的对称轴是直线，且经过点．则下列结论正确的为（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解：二次函数开口向上，与轴交于负半轴，
，，
二次函数对称轴为直线，
，
，
，故A、B结论错误，不符合题意；
当时，，
，故C结论错误，不符合题意；
二次函数经过点，对称轴为直线，
二次函数与轴的另一个交点坐标为，
当时，，
故D结论正确，符合题意
故选D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 计算的结果是__________．
答案：
解：
故答案：．
10. 抛物线与轴的交点坐标为__________．
答案：
解：当时，，
∴抛物线与轴的交点坐标为．
故答案为：
11. 如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是______m．
答案：
解：由题意得：，，
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴路灯的高度是,
故答案为：．
12. 如图，在中，，点是边上的一点，点是的中点，连结．若点在边的垂直平分线上，且，则的长为___________．
答案：
∵点在的垂直平分线上，
∴，
∵，点是的中点，
∴
故答案为：
13. 现要在一个长为35m，宽为22m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为625m²，设小道的宽为xm，则根据题意，可列方程为________．
答案：
解：设小道的宽为x m，则种植花草的部分可合成长（35-2x）m，宽（22-x）m的矩形，
依题意得：，
故答案为．
14. 如图，在中，，，是边上的高，点在边上，连结，交于点，过点作于点，连结．给出下面四个结论：
①；
②；
③若是的中点，在不添加辅助线和其它字母的前提下，与相似的三角形共有6个；
④若，则．
上述结论中，正确结论的序号是__________．
答案：
∵，
∴，
所以①正确；
取的中点O，连接，
在和中，
∴，可得点D，F在以为直径的圆上，
∵，是高线，
∴，
所以②正确；
∵点F是的中点，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴．
∵，
∴；
∵，
∴．
∵，
∴，；
∵，
∴．
∵，
∴．
所以与相似的三角形有4个，所以③不正确；
在中，，
令，
∵，
∴
根据勾股定理，得，
由上述可知，
令，
根据勾股定理，得，
即，
解得，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
根据勾股定理求出，，
∴，
∴．
所以④正确．
故答案为：
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15. 计算：．
解：原式．
16. 解方程x2﹣4x+1=0．
解：移项得，x2﹣4x=﹣1，
配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4，
∴（x﹣2）2=3，
∴x﹣2=±，
∴x1=2+，x2=2-.
17. 某商场购进一批台灯，9月销售400个，10月和11月这种台灯销售量持续增加，11月的销售量达到576个，设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率不变．求10月和11月这两个月的销售量月平均增长率．
解：设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为x，根据题意得：
，
解得：（舍去），
答：10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为．
18. 如图，线段、分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，求乙建筑物的高．（结果精确到）
（参考数据：，，）
解：过点A作，
由题意得：四边形是矩形，
，
，
在中，，
，
答：乙建筑物的高为．
19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且．
（2）在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且．
（3）在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
【小问3详解】
解：如图，即为所求；
20. 如图，在中，，为边上的中线，于点．
（1）求证：．
（2）若，，求线段的长．
【小问1详解】
证明：∵，为边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴；
【小问2详解】
解： ∵为边上的中线，，
∵，
∵，，
∴，
即，
∴．
21. 如图，抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，作直线，点是抛物线在直线上方的一点，过点作轴于点，交直线于点．设长为，点的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求与之间的函数关系式．
（3）当时，直接写出的值．
【小问1详解】
解：∵抛物线的图象与轴交于，与轴交于点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：∵，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点的横坐标为，
∴，，
∴；
【小问3详解】
解：令，则，
解得或，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，
解得（舍去正值），
∴的值为．
22. 如图，在中，，，．将一块直角三角板中角的顶点D放在AB边上移动，使角的两边分别与的边相交于点E、F，且使始终与垂直．
【感知】如图①，若点F与点C重合，则的长为__________；
【探究】如图②，若移动点D，使，求的长；
【拓展】如图③，延长交直角三角板的最短边所在的直线于点G，连接，若，则的最小值为__________．
感知：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
在中，，
∴，，
∴，
∵，
∴设，则，
∴ ，解得：，
∴；
故答案为：
探究：∵，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵
∴，，，
∴．
拓展：∵，．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴当且仅当三点共线时，取得最小值，即为的长，
此时，
∵，
∴
∴，
即的最小值为．
故答案为：
23. 如图，在中，，，．点在边上，过点作交折线于点．点为上一点，且，以为边向其右侧作正方形．
（1）当点与点重合时，的长为__________．
（2）当点在边上时，求正方形边长．
（3）当点是直角边的中点时，求的长．
（4）设正边形的边与边的交点为，当点将边分成两部分时，直接写出长的取值范围．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
如下图，
当点与点重合时，
∵，
∴，即，
解得，
∴在中，可有．
故答案为：；
【小问2详解】
如下图，过点作于点，交于点，
由（1）可知，，
∵四边形为正方形，
∴，，
设，则，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，即正方形边长为；
【小问3详解】
当点是直角边的中点时，如下图，
则，
∵，
∴；
当点是直角边的中点时，如下图，
则，
∵，
∴，
∴．
综上所述，的长为或；
【小问4详解】
当点在上时，如下图，延长交于点，设与交于点，
设，则，
此时，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
故此时可有，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得，
∴；
当点在上时，如下图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即当点在上时，点将边分成两部分，
此时．
综上所述，长的取值范围为或．
24. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线．点是此抛物线上的点，其横坐标为，连结，取的中点，过点作轴的平行线交此抛物线于点，连接、．
（1）求此抛物线对应的函数解析式．
（2）当抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象对应的函数值随的增大而增大时，求的取值范围．
（3）当点的纵坐标为1时，求点的坐标．
（4）当的边与轴平行时，直接写出此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点纵坐标的差．
【小问1详解】
解：由题意得：，
解得：，
∴该抛物线对应的函数关系式为；
【小问2详解】
解：∵点的横坐标为为的中点，
∴点的横坐标为，
∵过点作轴的平行线交此抛物线于点，
∴点的横坐标为，
∴点、点都在对称轴的右侧时，即时，抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象对应的函数值随的增大而增大；
【小问3详解】
解：当点的纵坐标为1时，
∵点的横坐标为为的中点，点的横坐标为，
∴，
解得：或，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
综上，或．
【小问4详解】
解：根据题意可得抛物线的函数关系式为，
故顶点坐标为，
①当轴时，点关于对称轴直线对称，
此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点是两点，纵坐标是，
此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最低点是顶点，纵坐标是，
故此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为；
②当轴时，点关于对称轴直线对称，
∴点的坐标为，
此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点是点，纵坐标是，
此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最低点是，纵坐标是，
故此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为；
③当轴时，点关于对称轴直线对称，
点的坐标为，点的坐标为，
∴，
解得：或0（舍去），
∴点的坐标为，
此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点是点，纵坐标是，
此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最低点是，纵坐标是，
故此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为；
综上，此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为1或．