2025-2026学年物理人教版（2019）必修第三册 第十章 静电场中的能量 专题强化 静电场中的功能关系及图像问题 教案 (1)

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2025-2026学年人教版（2019）必修第三册 第十章 静电场中的能量 专题强化 静电场中的功能关系及图像问题 教案[学习目标]　1.能应用动能定理、机械能守恒定律等分析静电场中的功能关系。2.理解φ－x、E－x和Ep－x等图像的意义并会应用图像解决电场问题。 一、静电场中的功能关系1．静电力做功的计算2．电场中常见的几种功能关系(1)静电力做功等于带电体电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。(2)合外力做功等于带电体动能的变化量，即W合＝ΔEk，这里的W合指合外力做的功。(3)静电力做正功，带电体的机械能增加，静电力做负功，带电体的机械能减少。若只有静电力做功，则动能和电势能之间相互转化，二者总和不变，即ΔEk＝－ΔEp。例1　(多选)如图所示，在水平向右的匀强电场中有一绝缘斜面，斜面上有一带电金属块沿斜面滑下。已知在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J，则以下判断正确的是(　　)A．金属块带正电荷B．金属块的机械能减少12 JC．金属块克服静电力做功8 JD．金属块的电势能减少4 J答案　AB解析　在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J，根据动能定理得WG＋W电＋Wf＝ΔEk，解得W电＝－4 J，所以金属块克服静电力做功4 J，金属块的电势能增加4 J，由于金属块下滑，静电力做负功，所以金属块带正电荷，故A正确，C、D错误；在金属块滑下的过程中重力做功24 J，重力势能减少24 J，动能增加了12 J，所以金属块的机械能减少12 J，故B正确。例2　(多选)图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服静电力所做的功为6 eV。下列说法正确的是(　　)A．平面c上的电势为零B．该电子可能到达不了平面fC．该电子经过平面d时，其电势能为4 eVD．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍答案　AB解析　因等势面间距相等，由U＝Ed得相邻虚线之间电势差相等，由a到d，(－e)Uad＝－6 eV，故Uad＝6 V；因静电力做负功，故电场方向向右，沿电场线方向电势降低，又φb＝2 V，则φc＝0，各等势面电势如图所示，故A正确；因电子的速度方向未知，若不垂直于等势面，如图中实线所示，电子可能到达不了平面f，故B正确；电子经过平面d时，电势能Ep＝(－e)φd＝2 eV，故C错误；由a到b，Wab＝Ekb－Eka＝－2 eV，所以Ekb＝8 eV；由a到d，Wad＝Ekd－Eka＝－6 eV，所以Ekd＝4 eV；则Ekb＝2Ekd，根据Ek＝eq \f(1,2)mv2知vb＝eq \r(2)vd，故D错误。二、电场中的图像问题1．φ－x图像(1)φ－x图像的意义：反映了电势φ随位置x变化的规律。在φ－x图像中根据纵坐标值可以直接判断各点电势的高低。(2)φ－x图线的斜率绝对值表示沿x轴方向电场强度的大小；电场强度为零处，其切线的斜率为零。(3)设电场强度的方向与x轴平行，图像中沿x轴，电势降低的方向即为电场强度方向。图中A点电势高于B点电势，故A、B间电场方向沿x轴正方向，C点电势低于D点电势，故C、D间电场方向沿x轴负方向。例3　(多选)在某个电场中，x轴上各点电势φ随x坐标变化的关系如图所示，图像关于φ轴左右对称，一质量为m、电荷量为＋q的粒子只在静电力作用下能沿x轴做直线运动。下列说法正确的是(　　)A．x轴上x＝x1和x＝－x1两点电场强度和电势都相同　B．粒子运动过程中，经过x＝x1和x＝－x1两点时速度一定相同C．粒子运动过程中，经过x＝－x1点的加速度大小等于经过x＝x1点的加速度大小D．若粒子在x＝－x1点由静止释放，则粒子到达O点时加速度为零，速度达到最大答案　CD解析　x轴上x＝x1和x＝－x1两点电势相同，但是电场强度大小相等，方向不同，故A错误；粒子运动过程中，经过x＝x1和x＝－x1两点时，静电力做功为零，动能不变，则速度大小一定相同，但是速度方向可能相同或者相反，故B错误；φ－x图线的斜率表示电场强度，则这两点的电场强度大小相等，根据a＝eq \f(qE,m)，可知C正确；若粒子在x＝－x1点由静止释放，因为O点的电势最低，并且该点的斜率为零，即电场强度为零，加速度为零，则粒子到达O点时加速度为零，速度达到最大，故D正确。针对训练　如图甲所示，直线AB是电场中的一条电场线，沿与直线AB成 θ＝37°的方向建立一维坐标轴Ox，令原点O处电势为零，则沿Ox坐标轴上各点的电势φ与x坐标的关系如图乙所示，直线上P点坐标已标注在图中。下列说法正确的是(cos 37°＝0.8)(　　)A．电场方向由B 指向AB．电场方向沿x 轴正方向C．原点O处的电场强度大小为2×102 V/mD．原点O处的电场强度大小为1.6×102 V/m答案　C解析　由于φ－x图线的斜率表示电场强度，斜率不变则电场强度不变，故该电场为匀强电场，由题图乙沿着x轴正方向电势逐渐降低可知，电场方向由A指向B，故A、B错误；由题图乙可知该电场的电场强度大小为E＝eq \f(φ,xcos θ)＝eq \f(3.2,2×10－2×0.8) V/m＝2×102 V/m，故C正确，D错误。2．E－x图像(1)E－x图像的意义：反映了沿x轴方向电场强度E随x变化的规律。(2)设x轴正方向为电场强度的正方向，E＞0表示电场强度沿x轴正方向；E＜0表示电场强度沿x轴负方向。(3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定。例4　(2023·广东省执信中学高二月考)某半导体PN结中存在电场，取电场强度E的方向为x轴正方向，其E－x关系如图所示，ON＝OP，OA＝OB。取O点的电势为零，则(　　)A．A、B的电势相等B．从N到O的过程中，电势一直升高C．电子从N移到P的过程中，电势能先增大后减小D．电子从N移到O和从O移到P的过程中，静电力做功相等答案　D解析　根据U＝Ed可知E－x图像与坐标轴围成的面积表示某两点间的电势差，由于A和B之间图线与坐标轴围成的面积不为零，则A和B点的电势不相等，故A错误；由题意知，电场强度E的方向为x轴正方向，根据沿电场线方向电势降低可知，从N到O的过程中，电势一直降低，故B错误；从N到P电场线方向一直是沿x轴正方向，电子从N移到P的过程中静电力方向一直沿x轴负方向，静电力一直做负功，电势能一直增大，故C错误；E－x图线与坐标轴围成的面积表示某两点间的电势差，从N到O和从O到P电势差相等，根据W＝qU可知，电子从N移到O和从O移到P的过程中，静电力做功相等，故D正确。3．Ep－x图像(1)Ep－x图像的物理意义：反映了电势能Ep随x变化的规律。(2)图像切线的斜率绝对值表示静电力大小。图像切线斜率为零时静电力为零，该点的电场强度的大小也为零。例5　(多选)(2023·北京市首都师范大学附属中学高二期中)如图甲所示，在某电场中建立x坐标轴，O为坐标原点，A点坐标为x1，一电子仅在静电力作用下沿x轴运动，其电势能Ep随其坐标x变化的关系如图乙所示。下列说法正确的是(　　)A．过O点的电场线一定与x轴重合B．A点电场强度的方向沿x轴负方向C．该电子在A点受到的静电力大于其在O点受到的静电力D．该电子在O点的动能大于其在A点的动能答案　ACD解析　因为电子仅在静电力作用下沿x轴运动，则静电力方向一定与x轴重合，电场强度方向一定与x轴重合，所以过O点的电场线一定与x轴重合，A正确；电子在A点的电势能比O点大，根据负电荷在电势越低处电势能越大可知，A点的电势低于O点，即电场强度的方向由O指向A，沿x轴正方向，B错误；由EkA＋EpA＝EkO＋EpO和EpA>EpO得EkAvA，故静电力对粒子做正功，电势能减小，所以C、D正确。2．(2024·上海市洋泾中学高二月考)如图，空间存在足够大的水平方向的匀强电场，绝缘的曲面轨道处于匀强电场中，曲面上有一带电金属块在力F的作用下沿曲面向上移动。已知金属块在向上移动的过程中，力F做功40 J，金属块克服静电力做功10 J，金属块克服摩擦力做功20 J，重力势能改变了30 J，则(　　)A．电场方向水平向左B．电场方向水平向右C．在此过程中金属块电势能减少20 JD．在此过程中金属块机械能增加10 J答案　D解析　因为不知道带电金属块的电性，所以无法判断电场方向，故A、B错误；克服静电力做功为10 J，则电势能增加10 J，故C错误；机械能的改变量等于除重力和弹力以外的其他力所做的总功，故应ΔE＝40 J－10 J－20 J＝10 J，故D正确。3. (多选)(2024·广东省江门市第一中学高二月考)O、A、B为一条电场线上的三点，一电子仅在静电力作用下由O点经A点向B点运动，以O点为零电势点，该电子运动过程中电势能Ep随位置x的变化规律如图所示，则下列说法中正确的是(　　)A．该电场可能是孤立点电荷形成的电场B．A点的电场强度大小等于B点的电场强度大小C．电子由A点运动到B点的过程中，静电力对其所做的功W＝EpA－EpBD．电子在A点的动能小于在B点的动能答案　BC解析　电子在A、B两点的电势能分别为EpA和EpB，且EpB>EpA，说明电子由A点运动到B点时电势能增大，静电力做负功，静电力对其所做的功为W＝EpA－EpB，C正确；电子所受的静电力对电子做负功，电子的动能减小，故电子在A点的动能大于在B点的动能，D错误；由题图可知，从O点到B点，电子的电势能均匀增加，则电势也均匀增加，该电场一定为匀强电场，不可能为孤立点电荷形成的电场，A、B两点的电场强度相等，A错误，B正确。4. 空间中存在沿x轴方向的静电场，各点电势随x的变化规律如图所示，电子以一定的初速度沿x轴从O点运动到x4处，电子仅受静电力作用，则该电子(　　)A．在x1处电势能最小B．在x1处加速度为零C．在x3处电势为零，电场强度也为零D．在x2处的动能大于在x3处的动能答案　B解析　根据Ep＝qφ可知，负点电荷在电势越低处，电势能越大，由图像可知x1处电势最低，则电子在x1处的电势能最大，故A错误；φ－x图像斜率的绝对值表示电场强度大小，由题图可知在x1处，图像的斜率为零，即该处的电场强度为零，则电子在x1处受到的静电力为零，由牛顿第二定律知电子在x1处的加速度为零，故B正确；结合上述，根据图像可知，x3处的斜率不为零，所以x3处的电场强度不为零，故C错误；电子只在静电力作用下运动，动能和电势能总和保持不变，结合上述可知，负点电荷在电势越低处，电势能越大，则电子在x2处的电势能大于在x3处的电势能，所以电子在x2处的动能小于在x3处的动能，故D错误。5．(2023·广东省广州市实验学校高二期中)a、b、c、d四个带电液滴在如图所示的匀强电场中，分别水平向左、水平向右、竖直向上、竖直向下做匀速直线运动，可知(　　)A．c的电势能减少，机械能增加B．a、b的电势能增加，机械能不变C．a、b为同种电荷，c、d为异种电荷D．d的电势能减少，机械能减少答案　A解析　四个带电液滴均在匀强电场中做匀速直线运动，则受向上的静电力与重力平衡，即所有液滴所受静电力都向上，所有液滴都带正电，C错误；静电力对c做正功，电势能减少，机械能增加，A正确；在运动过程中，静电力和重力对a、b都不做功，因此a、b的电势能、机械能均不变，B错误；静电力对d做负功，电势能增加，机械能减少，D错误。6. (多选)(2023·深圳市高二期末)沿电场中某条直线电场线方向建立x轴，该电场线上各点的电场强度E随x的变化规律如图所示。将一个带正电的粒子从O点由静止释放，粒子仅在静电力的作用下，由坐标原点O运动到位置x3的过程中，下列说法正确的是(　　)A．粒子先加速运动后减速运动B．粒子的电势能一直减小C．坐标原点O和位置x2间的电势差U＝eq \f(E0x2,2)D．粒子动能的增加量等于电势能的减小量答案　BCD解析　由坐标原点O运动到位置x3的过程中，电场方向一直为正方向，静电力方向与速度方向相同，静电力对粒子做正功，粒子速度一直增大，电势能一直减小，粒子动能的增加量等于电势能的减小量，A错误，B、D正确；坐标原点O和位置x2间的电势差为图像与x轴所围成的面积，即U＝eq \f(E0x2,2)，C正确。7. (多选)(2023·福建省南靖县第一中学高二期中)如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，不计空气阻力，则小球从M运动到N的过程(　　)A．动能增加eq \f(1,2)mv2 B．机械能增加mv2C．重力势能增加eq \f(1,2)mv2 D．电势能减少2mv2答案　CD解析　小球从M运动到N的过程中，动能增加了ΔEk＝eq \f(1,2)m(2v)2－eq \f(1,2)mv2＝eq \f(3,2)mv2，故A错误；到达N点时竖直方向速度为0，由匀变速直线运动规律得，小球上升的高度为h＝eq \f(v2,2g)，由动能定理得W电－mgh＝ΔEk，解得W电＝2mv2，机械能的增加量为ΔE＝W电＝2mv2，电势能减少了2mv2，故B错误，D正确；小球的重力势能增加了ΔEp＝mgh＝eq \f(1,2)mv2，故C正确。8～11题每题6分，共24分8. (2024·湖南省长沙同升湖高级中学高二月考)将带电荷量QA、QB的点电荷分别固定在x轴上坐标为－12 cm和12 cm的两点，两点电荷连线上各点的电势φ随x变化的关系图像如图所示，在x＝3 cm处电势有最小值。下列说法中正确的是(　　)A．QA∶QB＝25∶9B．QA∶QB＝15∶3C．坐标原点处的电场强度大小为零D．坐标原点处的电场强度方向沿x轴负方向答案　A解析　在x＝3 cm处电势有最小值，则该点的电场强度为零，则keq \f(QA,rA2)＝keq \f(QB,rB2)，可得eq \f(QA,QB)＝eq \f(rA2,rB2)＝(eq \f(15,9))2＝eq \f(25,9)，A正确，B错误；因φ－x图像的斜率绝对值表示电场强度大小，可知在坐标原点处的电场强度大小不为零，C错误；从x＝－12 cm的点到x＝3 cm的点电势逐渐降低，可知该区间内的电场线沿x轴正方向，则坐标原点处的电场强度方向沿x轴正方向，D错误。9. (2024·河南省南阳中学高二月考)空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图像如图所示，x轴正方向为电场强度的正方向，带电粒子在此空间只受静电力作用。下列说法中正确的是(　　)A．带正电的粒子在x1处和－x1处的电势能相等B．x2处的电势最高C．质子沿x轴由x1处运动到－x1处，在O点电势能最小D．电子以一定的速度由－x1处沿x轴正方向运动的过程中，静电力先做负功后做正功答案　A解析　由于x1处和－x1处关于E轴对称，则电场强度的大小相等，故从O点到x1和从O点到－x1电势降落相等，则－x1处的电势与x1处的电势相等，故A正确；根据沿着电场线方向电势降低可知O点电势最高，故B错误；若将质子由x1运动到－x1，即正电荷运动的方向先与电场的方向相反后与电场的方向相同，所以静电力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，在O点电势能最大，故C错误；电子以一定的速度由－x1处沿x轴正方向运动的过程中，静电力方向先沿x轴向右后向左，则静电力先做正功后做负功，故D错误。10. (2024·广东省广州市实验外语学校高二期中)一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动。取该直线为x轴，起始点O为坐标原点，其电势能Ep与位置x的关系如图所示，下列图像中电场强度与位置关系、动能与位移关系、速度与位移关系、加速度与位移关系可能正确的是(　　)答案　D解析　带电粒子在电场中仅受静电力作用，则由ΔEp＝－F电Δx可知Ep－x图像的切线斜率绝对值表示静电力大小，根据题图可知，带电粒子受到的静电力逐渐减小，则电场强度逐渐减小，带电粒子的加速度逐渐减小，故A错误，D正确；根据动能定理可得ΔEk＝F电Δx可知Ek－x图像的切线斜率表示静电力，由于静电力逐渐减小，则Ek－x图像的切线斜率逐渐减小，故B错误；由于静电力逐渐减小，可知粒子做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时，速度达到最大值，故速度与位移一定不是线性关系，故C错误。11．(多选)两个等量正点电荷固定于光滑水平绝缘桌面上，在水平桌面内两电荷连线中垂线上有A、B、C三点，如图甲所示，一个带电荷量大小为2 C、质量为1 kg的小物块(可看作质点，且不影响点电荷形成的电场)从C点由静止释放，其运动的v－t图像如图乙所示，其中B点处为整条图线切线斜率最大的位置。则下列说法正确的是(　　)A．B点为中垂线上电场强度最大的点B．由C点到A点的过程中物块的电势能先减小后变大C．该小物块带负电D．A、B两点间的电势差UAB＝－5 V答案　AD解析　物块水平方向上只受静电力的作用，而从C向A方向运动，说明静电力方向是由C指向A的，则中垂线上CBA段电场方向是由C指向A的，说明物块带正电，故C错误；由v－t图像可知，物块经过B点时，图线斜率最大，即加速度最大，说明此时所受静电力达到最大值，即电场强度最大，故A正确；由v－t图像可知，物块由C点到A点的过程中动能变大，说明静电力做正功，所以电势能一直减小，故B错误；由动能定理qUAB＝eq \f(1,2)mvB2－eq \f(1,2)mvA2，可得UAB＝eq \f(mvB2－vA2,2q)＝eq \f(1×42－62,2×2) V＝－5 V，故D正确。(8分)12．(多选)如图所示，绝缘水平面上固定一正点电荷Q，另一质量为m、电荷量为－q的小滑块(可看作点电荷)从a点以初速度v0沿水平面向Q运动，到达b点时速度减为零。已知a、b间距离为s，滑块与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。则以下判断正确的是(　　)A．滑块在运动过程中所受Q的库仑力一定小于滑动摩擦力B．滑块在运动过程中的中间时刻，速度大小等于eq \f(v0,2)C．此过程中产生的热量小于eq \f(1,2)mv02D．Q产生的电场中，a、b两点间的电势差为Uab＝eq \f(mv02－2μgs,2q)答案　AD解析　滑块水平方向受大小不变的摩擦力及逐渐增大的库仑力作用，在滑动过程中，随着间距减小，库仑力增大，但仍小于滑动摩擦力，根据牛顿第二定律可得，滑块的加速度逐渐减小，做加速度逐渐减小的变减速运动，故滑块在运动过程中的中间时刻的速度小于eq \f(v0,2)，故A正确，B错误；由动能定理可得：－qUab－μmgs＝0－eq \f(1,2)mv02，解得两点间的电势差Uab＝eq \f(mv02－2μgs,2q)，故D正确；由功能关系可知此过程中产生的热量Q′＝μmgs，由D选项的解析可得：Q′＝eq \f(1,2)mv02－qUab，因a点电势低于b点电势，故Uab为负值，故产生的热量大于eq \f(1,2)mv02，故C错误。