安徽省合肥市蜀山区琥珀中学2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

这是一份安徽省合肥市蜀山区琥珀中学2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 将分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A. 不变B. 扩大为原来的6倍
C. 缩小为原来的D. 扩大为原来的3倍
4. 在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为．已知，则用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，天平右盘中每个砝码质量都是，则物体A的质量的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A. B.
C D.
6. 关于x，y的方程组满足不等式，则m的范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（ ）
A. 两点确定一条直线
B. 内错角相等，两直线平行
C. 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
D. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
8. 科大讯飞公司为合肥市中小学智慧课堂提供学生平板，成本为3200元，标价为4480元，如果公司要以利润不低于的售价打折出售，则最低可打折扣为（ ）
A. 9折B. 折C. 8折D. 折
9. 如图1为学校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则的值等于（ ）
A. 12B. 10C. 8D. 16
10. 如图，通过画边长为1正方形，就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 计算：=___．
12. 把多项式分解因式的结果是_____________ ．
13. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是_____ ．
14. 如图，直线分别与直线、相交于O、P两点．
（1）当时，要使得，则应为_____ 度；
（2）若，平分，，则_____ 度．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
16. 解不等式：．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，三角形的顶点均在格点（正方形网格线的交点上），按下列要求画图：
（1）过点C作；
（2）在给定的方格纸中，平移三角形，使点A落在点D处，请画出平移后的三角形，使B、C的对应点分别为E、F．
18. 观察与思考：①；②；③
（1）根据上述等式的规律，直接写出第④个等式；
（2）试用含n（为自然数，且）的等式表示这一规律，并说明该等式的正确性．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 先化简，再从，，0，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
20. 伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车主要有纯电动汽车和油电混合动力汽车两种．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？
六、（本题满分12分）
21. 数学活动课上．老师准备了若干个如图1的三种纸片（其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是边长分别为a、b的长方形），并用A种纸片一张，B种纸片一张．C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你写出三个代数式：之间的关系；
（2）若，则的值为 ；
（3）两个正方形如图3摆放，边长分别为x，y．若，求图中两个阴影部分的面积的和．
七、（本题满分12分）
22. 3月14号是“国际数学日”，学校每年的3月14日举行数学节．为了给今年数学节做准备，小丽和小敏到文具店购A、B两种魔方（两种魔方都要有），文具店里A、B两种魔方的单价分别为18元和25元．下面是小丽与小敏的对话：
小丽：购买A、B两种魔方共30个；
小敏：学校规定购买A、B两种魔方总费用不超过570元；
根据小丽和小敏对话，解决下列问题：
（1）小丽和小敏最多可购买几个B种魔方？
（2）共有几种购买方案，如何购买所花费用最少？
八、（本题满分14分）
23. 在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．

（1）【问题初探】
如图1，两直线m、n和直角三角形，其中，，．若，则度数为 ；
（2）【实践探究】
如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，发现的值始终不变，为了求出该值，同学们根据“过拐点作平行线”的思路．想到作辅助线，过点B作，请你在图2中补全辅助线．并求出该值；
（3）【拓展延伸】
如图3，，点E在上，，，设，请直接用含α的代数式表示．
2024-2025学年安徽省合肥市蜀山区琥珀中学七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查无理数的概念，算术平方根，熟记概念是解题的关键．根据无理数的概念，无限不循环小数是无理数，即可求解．
【详解】解：，，是有理数，是无理数，
故选：D．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式的运算法则，理解相关知识是解答关键．
利用合并同类项的知识求解A，用幂的乘方的运算法则求解B，运用完全平方公式求解C，利用单项式除以单项式的运算法则求解D．
【详解】解：A．与不是同类项，不能进行加法计算，此项计算错误，故不符合题意；
B．，此项计算正确，故符合题意；
C．，此项计算错误，故不符合题意；
D．，此项计算错误，故不符合题意．
故选：B．
3. 将分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A. 不变B. 扩大为原来的6倍
C. 缩小为原来的D. 扩大为原来的3倍
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键．
先把，的值都扩大为原来的3倍，得，再化简，据此即可作答．
【详解】解：将分式中的，的值都扩大为原来的3倍，
得到，
把的分子和分母同时除以3，即，
故选：A．
4. 在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为．已知，则用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
，
故选：C．
5. 如图，天平右盘中每个砝码的质量都是，则物体A的质量的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了用数轴表示不等式的取值范围，根据天平的图片得到的取值范围，在数轴上表示的取值，问题得解．
【详解】解：由图可知，，
∴的取值范围在数轴上表示如图：
故选：A．
6. 关于x，y的方程组满足不等式，则m的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
利用整体的思想可得，从而可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：，
得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故选：A．
7. 如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（ ）
A. 两点确定一条直线
B 内错角相等，两直线平行
C. 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
D. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可．
【详解】解：根据题意，可知当时，；时，，就可以确定点，，同一直线上；
依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
故选：C
8. 科大讯飞公司为合肥市中小学智慧课堂提供学生平板，成本为3200元，标价为4480元，如果公司要以利润不低于的售价打折出售，则最低可打折扣为（ ）
A. 9折B. 折C. 8折D. 折
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设该商品打x折出售，根据利润等于标价乘以折扣减去成本列出不等式求解即可．
【详解】解：设该商品打x折出售，
由题意得，，
解得，
∴x的最小值为，
∴最低可打折扣为折，
故选：D．
9. 如图1为学校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则的值等于（ ）
A. 12B. 10C. 8D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式在几何图形中的应用，根据题意可得，，求得，再根据，，利用完全平方公式求出的值，最后整体代入计算即可．
【详解】解：根据题意，得，，
，
∵，，
，
或（舍去），
．
故选：A．
10. 如图，通过画边长为1的正方形，就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，实数的运算的规律，实数与数轴，熟练运用实数的运算是解题的关键．先由题意可得，点的数为2，再整理得表示的数为，故表示的数为，，同理得，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵记右侧最近的整数点为，
∴点的数为2，
∴，
则表示的数为，
∵，
∴，
∴，
表示的数为，
，
则表示的数为，
∵，
∴，
表示的数为，
则
同理可得；；
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 计算：=___．
【答案】﹣2
【解析】
【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的立方根．
【详解】∵（－2）3=－8，
∴，
故答案为：-2
12. 把多项式分解因式的结果是_____________ ．
【答案】
【解析】
分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，完全平方公式因式分解，
先提出公因式，再根据完全平方公式分解即可．
【详解】解：原式．
故答案为：．
13. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是_____ ．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，掌握求解的方法是关键；
分式方程先去分母化为整式方程，得到方程的解为，再根据题意可得且，进而可得关于m的不等式，进一步求解即可得．
【详解】解：分式方程去分母，得，
解得，
∵方程的解是非负数，
∴且，
∴且，
解得：且；
故答案为：且．
14. 如图，直线分别与直线、相交于O、P两点．
（1）当时，要使得，则应为_____ 度；
（2）若，平分，，则_____ 度．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质、邻补角的定义、角平分线的计算，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键．
（1）根据邻补角的定义求得，再利用两直线平行同位角相等，即可得到答案；
（2）平行线的性质得到，由，，可求得，进而根据对顶角相等求出，最后根据角平分线的定义及邻补角的定义，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
要使得，则，
故答案为：；
（2）如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
，
；
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂、算术平方根以及有理数的乘方等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；
先计算有理数的乘方、算术平方根、零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法、最后计算加减即可．
【详解】解：
．
16. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键．按照解一元一次不等式的步骤解不等式即可得．
【详解】解：，
不等式左、右两边同时乘以6，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
不等式左、右两边同时乘以，得．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，三角形的顶点均在格点（正方形网格线的交点上），按下列要求画图：
（1）过点C作；
（2）在给定的方格纸中，平移三角形，使点A落在点D处，请画出平移后的三角形，使B、C的对应点分别为E、F．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质和平移作图，熟练掌握平移的性质是解题的关键；
（1）根据平移的性质解答即可；
（2）根据平移的性质先画出B、C的对应点E、F，再顺次连接即可．
【小问1详解】
解：如图，取格点M，连接，则线段即为所作；
【小问2详解】
解：平移后的三角形如图所示：
18. 观察与思考：①；②；③
（1）根据上述等式的规律，直接写出第④个等式；
（2）试用含n（为自然数，且）的等式表示这一规律，并说明该等式的正确性．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律探究和分式的运算，正确得到规律是解题的关键；
（1）根据前几个等式找到规律求解即可；
（2）先根据（1）题的规律得出一般的等式形式，再根据分式的运算法则验证即可．
【小问1详解】
解：因为①；
②；
③
所以第④个等式是；
【小问2详解】
解：由（1）题可得：第n个等式为：；
证明：右边
左边；
所以原等式是正确的．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 先化简，再从，，0，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】，当时，原式；当时，原式
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键；
先根据分式的混合运算法则化简，再选取使分式有意义的值代值计算即可．
【详解】解：
；
∵，
∴x可为或，
当时，原式；
当时，原式．
20. 伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车主要有纯电动汽车和油电混合动力汽车两种．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？
【答案】该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是分钟和分钟．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设该车每次换电池服务的时间是分钟，根据“花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等”列分式方程求解即可．
【详解】解：设该车每次换电池服务的时间是分钟，则完成加油服务的时间是分钟，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意，
（分钟），
答：该车每次换电池服务和完成加油服务时间分别是分钟和分钟．
六、（本题满分12分）
21. 数学活动课上．老师准备了若干个如图1的三种纸片（其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是边长分别为a、b的长方形），并用A种纸片一张，B种纸片一张．C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你写出三个代数式：之间的关系；
（2）若，则的值为 ；
（3）两个正方形如图3摆放，边长分别为x，y．若，求图中两个阴影部分的面积的和．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景和变形计算，熟练掌握完全平方公式的结构特征、灵活变形是解题的关键；
（1）根据图形面积的两种不同的表示方法即可得到结果；
（2）根据完全平方公式的变形解答即可；
（3）根据可得，然后利用完全平方公式的变形求出，再根据阴影部分的面积代入求解即可．
【小问1详解】
解：根据图形可得：正方形的面积可以表示为，又可以表示为，
所以的关系是：；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴阴影部分的面积
．
七、（本题满分12分）
22. 3月14号是“国际数学日”，学校每年的3月14日举行数学节．为了给今年数学节做准备，小丽和小敏到文具店购A、B两种魔方（两种魔方都要有），文具店里A、B两种魔方的单价分别为18元和25元．下面是小丽与小敏的对话：
小丽：购买A、B两种魔方共30个；
小敏：学校规定购买A、B两种魔方总费用不超过570元；
根据小丽和小敏的对话，解决下列问题：
（1）小丽和小敏最多可购买几个B种魔方？
（2）共有几种购买方案，如何购买所花费用最少？
【答案】（1）小丽和小敏最多可购买4个B种魔方
（2）共有4种购买方案，购买B种魔方1个，购买A种魔方29个时，购买所花费用最少
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意、列出不等式是解题关键；
（1）设购买B种魔方x个，则购买A种魔方个，根据：30个A、B两种魔方总费用不超过570元，即可列出不等式，解不等式再取其解集最大整数即可；
（2）根据（1）题的结果结合两种魔方都要有即可确定x的范围，再取其解集中的整数即得购买方案，再取费用最少的方案即得答案．
【小问1详解】
解：设购买B种魔方x个，则购买A种魔方个，
根据题意可得：，
解得，
∵x为整数，
∴x最大为4；
答：小丽和小敏最多可购买4个B种魔方；
【小问2详解】
解：∵两种魔方都要买，
∴，
∴整数x可取1，2，3，4；
∴共有4种购买方案：①购买B种魔方1个，购买A种魔方29个，花费547元；
②购买B种魔方2个，购买A种魔方28个，花费元；
③购买B种魔方3个，购买A种魔方27个，花费561元；
④购买B种魔方4个，购买A种魔方26个；花费568元；
∴共有4种购买方案，购买B种魔方1个，购买A种魔方29个时，购买所花费用最少．
八、（本题满分14分）
23. 在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．

（1）【问题初探】
如图1，两直线m、n和直角三角形，其中，，．若，则的度数为 ；
（2）【实践探究】
如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，发现的值始终不变，为了求出该值，同学们根据“过拐点作平行线”的思路．想到作辅助线，过点B作，请你在图2中补全辅助线．并求出该值；
（3）【拓展延伸】
如图3，，点E在上，，，设，请直接用含α的代数式表示．
【答案】（1）
（2）见解析，
（3）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，掌握平行线判定和性质是解题关键．
（1）由平角可得，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；
（2）过点B作，由三角形内角和定理得到，由平行线的性质，得到，，再根据，即可求解；
（3）过点F作，过点G作，则，由平行线的性质可得，，，，再根据，，即可求解．
【小问1详解】
解：，，
，
，
，
，
故答案为：
【小问2详解】
解：如图，过点B作，

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图，过点F作，过点G作，
，
则，

，
，，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
．