江苏省南通市2025届高三下四模数学试卷（解析版）

这是一份江苏省南通市2025届高三下四模数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合U=1,2,3,4，M=1,2，N=2,3，则∁UM∪N=（ ）
A．2B．4C．1,2,3D．1,3,4
【答案】B
【解析】M=1,2，N=2,3，则M∪N={1,2,3}，
又U=1,2,3,4，则∁UM∪N={4}.
故选：B.
2．设a∈R，(3-i)(1+ai)为纯虚数，则a=（ ）
A．-3B．-13C．13D．3
【答案】A
【解析】依题意，(3-i)(1+ai)=(3+a)+(3a-1)i，而a∈R，
则a+3=03a-1≠0，解得a=-3.
故选：A
3．已知向量a=1,0，b=-1,1，若λa+b⊥b，则λ=（ ）
A．-1B．1C．-2D．2
【答案】D
【解析】因a=1,0，b=-1,1，则a⋅b=1×(-1)+0×1=-1，|b|=2，
由λa+b⊥b可得(λa+b)⋅b=λa⋅b+b2=-λ+2=0，解得λ=2.
故选：D.
4．记数列an的前n项和为Sn，若a1=1，a2=2，且an+an+1是公比为2的等比数列，则S10=（ ）
A．93B．1023C．2047D．3069
【答案】B
【解析】an+an+1的首项为a1+a2=3，故an+an+1=3×2n-1，
所以a3+a4=3×4=12，a5+a6=3×24=48，a7+a8=192，a9+a10=768，
故S10=3+12+48+192+768=1023.
故选：B
5．一个数阵有m行4列，第一行中的4个数互不相同，其余行都由这4个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，那么m的值最大可取（ ）
A．6B．12C．24D．48
【答案】C
【解析】由于4个数互不相同，故将这4个数全排列共有A44=24种排序方法，
而一个数阵有m行4列，要使任意两行的顺序都不相同，故m的值最大为24，
故选：C.
6．若半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．4πB．5πC．16πD．20π
【答案】D
【解析】因为半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，
所以正三棱柱的高h=2，底面正三角形的内切圆半径为1，
则底面正三角形的外接圆半径r=1sin30°=2，
所以该正三棱柱外接球半径为R=r2+(h2)2=22+12=5，
所以外接球的表面积为4πR2=20π．
故选：D．
7．已知抛物线C1:y2=4x的焦点F是双曲线C2:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的一个顶点，P为C1与C2的交点，PF=3，则C2的渐近线方程为（ ）
A．y=±64xB．y=±263xC．y=±62xD．y=±63x
【答案】B
【解析】由题意得F1,0，C2:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的一个顶点坐标为F1,0，
故a=1，
由于P为C1与C2的交点，PF=3，故xP+1=3，解得xP=2，
将xP=2代入C1:y2=4x中得yP2=4×2=8，
将xP=2，yP2=8代入C2:x2a2-y2b2=1a>0,b>0中得4a2-8b2=1，
又a=1，故b=263，
所以C2的渐近线方程为y=±bax=±263x.
故选；B
8．已知函数fx=1,x≤0,x3+1,x>0,若对于任意x≥1，fx-a>fax，则实数a的取值范围是（ ）
A．-∞,1B．-1,+∞C．-∞,12D．-1,1
【答案】C
【解析】对于f(x)=1,x≤0x3+1,x>0，函数f(x)在(-∞,0]上为常数1，
在x=0处连续，且在(0,+∞)上为增函数，
因此f(|x-a|)>f(ax)等价于x-a>0,①x-a>ax,②，对任意x≥1恒成立，
由①可知a0，结合②可得x-a>ax⇒a0.75知，女生身高和父亲身高有较强的相关关系，B错误；
对于C，当x=175时，y=0.81×175+26.12=167.87，估计女儿的身高为168cm，C正确；
对于D，从样本中抽取一部分，相关性可能变强，也可能变弱，所以这部分的相关系数不一定是0.8985，D错误.
故选：AC
10．已知函数f(x)=2sin(3x+φ)(0f(π7)
C．y=f(x)-2csx在(0,2π)上有3个零点
D．y=f(x)-4πx有3个零点
【答案】BCD
【解析】依题意，f(x)min=f(π3)，则3⋅π3+φ=3π2+2kπ,k∈Z，而02cs(3π7)=f(π7)，B正确；
对于C，f(x)-2csx=2cs3x-2csx=2(csxcs2x-sinxsin2x)-2csx
=2[csx(2cs2x-1)-2csx(1-cs2x)-2csx=6csx(cs2x-1)=0，
于是csx=0或cs2x=1，而x∈(0,2π)，解得x∈{π2,π,3π2}，C正确；
对于D，由f(x)-4πx=0，得f(x)=4πx，则函数y=f(x)-4πx的零点
即为函数y=f(x)的图象与直线y=4πx的交点横坐标，
在同一坐标系内作出函数y=f(x)的图象与直线y=4πx，如图：
观察图象得函数y=f(x)的图象与直线y=4πx有3个交点，因此y=f(x)-4πx有3个零点，D正确.
故选：BCD
11．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是其表面上一点，且AP与BB1所成的角为θ，下列说法正确的是（ ）
A．若P是CC1的中点，则tanθ=22
B．若P在线段C1D1上，则tanθ∈[1,2]
C．若θ=π6，则P的轨迹长度是33π
D．若θ=π3，则P不在面A1B1C1D1上
【答案】ABD
【解析】对于A，由CC1//BB1，得θ=∠APC，又CC1⊥平面ABCD，则tanθ=ACCP=22，A正确；
对于B，过P作PQ//CC1交CD于Q，连接AQ，则PQ//BB1，θ=∠APQ，
AQ∈[2,22],PQ=2，tanθ=AQPQ∈[1,2]，B正确；
对于C，由AA1//BB1，θ=π6，得射线AP的轨迹是以AA1为轴，轴截面等腰三角形顶角
为π3的圆锥侧面，当点P在底面A1B1C1D1内时，A1P=AA1tanπ6=233，
点P的轨迹是以A1为圆心，所含圆心角为π2的圆弧，轨迹长度为π2⋅233=33π；
当点P在侧面ABB1A1,ADD1A1内时，点P的轨迹分别是圆锥一条母线的一部分，长度为433，
因此P的轨迹长度是33π+833，C错误.
对于D，θ=π3，射线AP的轨迹是以AA1为轴，轴截面等腰三角形顶角为2π3的圆锥侧面，
当点P在平面A1B1C1D1内时，A1P=AA1tanπ3=23>22，P不在底面A1B1C1D1上，D正确.
故选：ABD
三、填空题
12．若直线y=2b3与椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0交于A，B两点，AB=2b，则C的离心率为 .
【答案】23
【解析】直线y=2b3与椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0交于A，B两点，AB=2b，
则A-b,2b3,Bb,2b3，点B在椭圆上可得b2a2+2b32b2=1，即得b2a2=59，
所以C的离心率为e=ca=c2a2=1-b2a2=1-59=23.
故答案为：23.
13．心理学家有时使用函数Lt=A1-e-kt来测定在时间tmin内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率.假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在5min后该学生记忆了20个单词.该学生记忆38个单词大约需要 min.
【答案】10
【解析】步骤一：根据已知条件求出记忆率k
已知函数L(t)=A(1-e-kt)，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率，t表示时间（min），L表示在时间t内能够记忆的量.
已知A=200，当t=5时，L=20，将这些值代入函数L(t)=A(1-e-kt)中，可得：20=200×(1-e-5k)，
可得：20200=1-e-5k，即0.1=1-e-5k，可得：e-5k=0.9，
两边同时取自然对数可得：lne-5k=ln0.9
可得：-5k=ln0.9，则k=-ln0.95.
步骤二：求出记忆38个单词所需的时间t
当L=38，A=200，k=-ln0.95时，代入函数L(t)=A(1-e-kt)中，可得：38=200×(1-e-(-ln0.95)t)
可得：38200=1-eln0.95t，即0.19=1-eln0.95t，
可得：eln0.95t=0.81，两边同时取自然对数可得：lneln0.95t=ln0.81
可得：ln0.95t=ln0.81
因为ln0.81=ln0.92=2ln0.9，所以ln0.95t=2ln0.9，可得：t5=2，解得t=10.
故该学生记忆38个单词大约需要10min.
故答案为：10.
14．在△ABC中，若tanB=csA1+sinA，则tanA+2tanB的最小值为 .
【答案】3
【解析】tanB=csA1+sinA，若csA0，即A,B均为锐角，tanA+2tanB>0，
tanB=csA1+sinA=cs2A2-sin2A2cs2A2+2sinA2csA2+sin2A2=csA2-sinA2csA2+sinA2sinA2+csA22=csA2-sinA2csA2+sinA2=1-tanA21+tanA2，
故tanA+2tanB=2tanA21-tan2A2+2⋅1-tanA21+tanA2=2tanA2+21-tanA221-tan2A2=2tan2A2-2tanA2+21-tan2A2，
令tanA2=t，因为A∈0,π2，所以A2∈0,π4，t=tanA2∈0,1，
则tanA+2tanB=2t2-2t+21-t2=2t2-2-2t+41-t2=-2t-21-t2-2，
令u=t-2∈-2,-1，则t=u+2，
tanA+2tanB=-2u1-u+22-2=-2u-u2-4u-3-2=2u+3u+4-2，
其中u+3u≤-2-u⋅-3u=-23，当且仅当-u=-3u，即u=-3时，等号成立，
故tanA+2tanB=2u+3u+4-2≥2-23+4-2=3.
故答案为：3
四、解答题
15．已知数列an的前n项和为Sn，{Snn}是首项和公差均为1的等差数列.
（1）求数列an的通项公式；
（2）若bn=2n-5an，求bn的最小值.
解：（1）由{Snn}是首项和公差为1的等差数列，得Snn=1+n-1=n，则Sn=n2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，由a11=S11=1，得a1=1满足上式，
所以数列an的通项公式an=2n-1.
（2）由（1）得bn=2n-5(2n-1)，则bn+1-bn=[2n+1-5(2n+1)]-[2n-5(2n-1)]=2n-10，
当n≤3，n∈N*时，bn+1bn，
所以当n=4时，bn的最小值为b4=-19.
16．如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AB=2AC=2CA1=4.

（1）证明：平面A1BC⊥平面ACC1A1；
（2）若二面角A1-AB-C的正切值为2，求CC1.
（1）证明：因为CC1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以CC1⊥BC.
又因为AC⊥BC，AC，CC1⊂平面ACC1A，AC∩CC1=C，
所以BC⊥平面ACC1A.
因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面ACC1A1.
（2）解：法1：设A1C1=a，CC1=b，
因为CC1⊥平面ABC，AC,BC⊂平面ABC，
所以CC1⊥AC，CC1⊥BC，
因为AC⊥BC，所以CA,CB,CC1两两垂直，
所以以CA,CB,CC1为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则A2,0,0，B0,23,0，A1a,0,b，
所以AB=-2,23,0，AA1=a-2,0,b.
设平面A1AB的法向量为n=x,y,z，
则n⋅AB=-2x+23y=0,n⋅AA1=a-2x+bz=0,
令x=b，得z=2-a，y=b3，
所以n=b,b3,2-a.
又m=0,0,1是平面ABC的一个法向量，
所以csm,n=2-ab2+b32+2-a2=55，
化简得，b2=32-a2.
又因为a2+b2=4，解得a=1,b=3或a=2,b=0（舍），
所以CC1=3.

法2：在平面ACC1A中，过点A1作A1H⊥AC，垂足为H，
在平面ABC内，过点H作HN⊥AB，垂足为N，连接A1N.
由（1）BC⊥平面ACC1A，
A1H⊂平面ACC1A1，所以BC⊥A1H，
又因为AC，BC⊂平面ABC，AC∩BC=C，
所以A1H⊥平面ABC.
因为AB⊂平面ABC，所以A1H⊥AB.
又因为A1H，HN⊂平面A1HN，A1H∩HN=H，
所以AB⊥平面A1HN，又A1N⊂平面A1HN，即AB⊥A1N，
所以∠A1NH是二面角A1-AB-C的平面角.
设∠A1CH=θ，θ∈0,π2，则A1H=2sinθ，CH=2csθ，
所以AH=2-2csθ，
因为AC⊥BC，AB=2AC=4，所以BC=AB2-AC2=16-4=23，
所以sinA=BCAB=32=HNAH，
所以HN=32AH=322-2csθ=31-csθ.
因为二面角A1-AB-C的正切值为2，
所以A1HHN=2sinθ31-csθ=2，得sinθ+3csθ=3，
所以2sinθ+π3=3，
因为θ∈0,π2，所以θ+π3∈π3,5π6，
所以θ+π3=2π3，得θ=π3，
所以CC1=2sinθ=3.
17．已知函数f(x)=ax2+2csx(a∈R).
（1）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
（2）若f(x)在(0,π2)单调递减，求实数a的取值范围.
解：（1）函数f(x)=ax2+2csx，求导得f'(x)=2ax-2sinx，则f'(0)=0，
所以曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=2.
（2）由f(x)在(0,π2)上单调递减，得f'(x)=2ax-2sinx≤0对x∈(0,π2)恒成立，
则a≤sinxx对x∈(0,π2)恒成立，设g(x)=sinxx,0