浙江省温州市2024_2025学年高二数学上学期11月期中联考试题含解析

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1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系即可求解.
【详解】由题意，直线的斜率,
设直线的倾斜角为，且,,
所以.
故选：C.
2. 已知椭圆，则椭圆的短轴长为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆标准方程直接求解即可.
【详解】由题意，椭圆,,
所以,故短轴长为.
故选：B.
3. 直线与直线的距离为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行线的距离公式求距离即可.
【详解】由，显然与平行，
所以它们的距离为.
故选：D
4. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算，即可得到的取值，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果.
【详解】联立方程，整理可得，
当时，即，方程有一解，即只有一个公共点；
当时，，解得；
所以直线与双曲线只有一个公共点时，或，
所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件，
故选：A
5. 过直线上的点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线关于直线对称，则直线与直线垂直，再联立直线与直线即可求解.
【详解】圆的圆心为，半径为,
因为直线关于直线对称，
则直线与直线垂直，
所以直线的方程为，即，
由解得，，
所以点的坐标为.
故选：D.
6. 已知点D在确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，满足，且，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由四点共面可知，结合基本不等式的乘“1”法即可求解.
【详解】,
因为四点共面，所以，
注意到，从而.
故选：B.
7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过边长相等得到角相等，证明三角形相似，利用线段比例关系得到的关系式即可得到结果.
【详解】由题意得，，
由椭圆定义得，故，
∵，，∴，
∴与相似，∴，即，
整理得，故，解得，
由得，，即椭圆的离心率为.
故选：B.
8. 如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD为矩形，为等腰直角三角形，且，点在线段AD上，则三棱锥外接球的表面积的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设，球心为，半径为，结合题意可得，进而得到，再结合二次函数的性质及球的表面积公式求解即可.
【详解】取的中点，连接，
因为，所以，
又平面平面ABCD，平面平面，平面，
所以平面ABCD，又四边形ABCD为矩形，
以为原点，以所在直线为轴，以过点平行的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，则，
则，，，
设，三棱锥外接球球心为，半径为，
则，解得，
即，
因为，所以，
则当时，取得最小值，
当时，取得最大值3，即，
所以三棱锥外接球的表面积为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于建立空间直角坐标系，设出坐标，表示出外接球半径的关系，进而结合二次函数的性质及球的表面积公式求解即可.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9. 在平面直角坐标系中，已知点，点是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则点的轨迹是双曲线
B. 若，则点的轨迹是椭圆
C. 若，则点的轨迹是一条直线
D. 若，则点的轨迹是圆
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据双曲线的定义判断A，根据椭圆的定义判断B，设求出轨迹方程，即可判断C、D.
【详解】因为，所以，
对于A：因为，所以点是以、为焦点的双曲线，故A正确；
对于B：因为，所以点的轨迹为线段，故B错误；
对于C：设，则，，
因为，所以，整理得，
所以点的轨迹是一条直线，故C正确；
对于D：因为，即，
所以点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，故D正确.
故选：ACD
10. 已知直三棱柱中，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 平面
C. 异面直线AE与所成的角的余弦值为D. 点到平面ACE的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量线性运算的坐标表示计算即可判断A；利用空间向量法证明线面平行、求解线线角和点面距即可判断BCD.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，
则.
A：，
所以，故A正确；
B：，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，所以，
所以，即，又平面，所以平面，故B正确；
C：，则，
所以，
即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误；
D：设平面的一个法向量为，
则，令，则，所以，
得，所以点到平面的距离为，故D正确.
故选：ABD
11. 已知圆，圆，直线，直线与圆相交于A，B两点，则以下选项正确的是（ ）
A. 若时，圆与圆有两条公切线
B. 若时，两圆公共弦所在直线的方程为
C. 弦长的最小值为
D. 若点，则的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】确定两圆位置关系判断A；两圆方程相减求出公共弦所在直线方程判断B；求出直线所过定点，进而求出最短弦长判断C；求出弦的中点的轨迹，进而求出最大值判断D.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
对于A，当时，，圆与圆相内切，有一条公切线，A错误；
对于B，当时，，圆与圆相交，两圆方程相减得
，即，B正确；
对于C，直线恒过定点，，点圆内，
当时，取得最小值，C正确；
对于D，令弦的中点为，线段的中点为，当与点都不重合时，
，有，当与点之一重合，上式成立，则，
因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，，
而，因此的最大值为，D正确.
故选：BCD
【点睛】思路点睛：本题D选项，求出弦的中点的轨迹，转化为定点与圆上点间距离最大值问题.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 经过椭圆的左焦点作直线交椭圆于A，B两点，为椭圆的右焦点，则的周长为______.
【答案】12
【解析】
【分析】根据题意，由椭圆的定义代入计算，即可得到结果.
【详解】
由椭圆的定义可得，BF1+BF2=2a，
且，，
所以的周长为.
故答案为：
13. 在空间直角坐标系中，经过点且方向向量为的直线方程为，已知空间中一条直线方程为，则点到直线的距离为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意直线经过点，且为一个方向向量，易得，应用点线距离的向量求法求点到直线的距离即可.
【详解】由题意，直线为，经过点，
且为一个方向向量，
所以，
故点到直线的距离为.
故答案为：.
14. 平面直角坐标系中，已知圆与双曲线有唯一公共点，若圆心在双曲线的一条渐近线上且直线平行于另一条渐近线，则圆的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意易得，，，，圆与双曲线在处的切线重合，进而结合双曲线在处的切线方程为，可得，进而得到，再求出，进而求解.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
如图所示，圆心在双曲线的一条渐近线上，则,
因为直线平行于另外一条渐近线，所以，
又圆与双曲线有唯一公共点，
则圆与双曲线在处的切线重合，
而双曲线在处的切线方程为，即，
则，即，
则，解得，即，
即圆的半径,
所以圆的方程为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题意得出圆与双曲线在处的切线重合，进而结合双曲线在处的切线方程为求出，进而求出，进而求解.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知圆和圆外一点
（1）求的取值范围
（2）若，过点作圆的切线，求切线方程
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据圆的一般方程表示圆及点在圆外，列不等式即可求解.
（2）根据条件求及圆的标准方程.讨论切线斜率是否存在两种情况，当斜率不存在时,可直接求得直线方程；当斜率存在时，由点斜式设出直线方程，结合点到直线的距离即可求解.
【小问1详解】
根据题意：，
点在圆外，则，
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
由（1）知，且，
所以.
则圆的方程为：
当不存在时，直线，满足题意，
当存在时，设切线方程为
因为，
所以，
所以切线方程为，
综上，切线方程为：或.
16. 如图，在四棱台中，底面ABCD为平行四边形，平面，
（1）证明：平面平面
（2）求直线与平面所成角的大小
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理可得，进而可得，，利用线线垂直可得线面垂直，从而可证结论；
（2）法1：延长线段交于点，过点作交于点，过点作平面于点，可得为直线与平面所成的角，求解即可. 法2：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与直线的方向向量，利用向量法可求直线与平面所成角的大小.
【小问1详解】
不妨设，则，
由余弦定理得，
四边形是平行四边形，
平面，
又，平面，平面，
又平面，平面平面，
【小问2详解】
法1：延长线段交于点，过点作交于点，
由（1）知，平面平面，平面平面平面，
平面平面平面，
点到平面的距离等于点到平面的距离，
在Rt中，，
过点作平面于点，则为直线与平面所成的角，
，，即，
所以与平面所成的角为.
法2：由（1）可知两两相互垂直，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
设平面的法向量为
则令，则，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
，
所以直线与平面所成的角为.
17. 在平面直角坐标系xOy中，动点到点的距离之和为4，点的轨迹为，曲线与轴正半轴交于点.
（1）求曲线的方程
（2）若过点的直线与交于E，F两点（点在轴上方），点为BF的中点，若，求直线的方程
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到动点的轨迹是焦点在轴的椭圆求解；
（2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，根据分别是BF，AB的中点，得到，利用比例关系得到，再结合韦达定理求解.
【小问1详解】
解：由题意可知：动点的轨迹是焦点在轴的椭圆，
所以
即，
所以轨迹方程为；
【小问2详解】
显然直线的斜率存在，则设直线的方程为：，
由，
设，
由韦达定理可得：①，
分别是BF，AB的中点，
，
②，
由①②可得，
所以直线的方程为：.
18. 如图，在三棱锥中，为正三角形，平面，点为线段BC上的动点，
（1）若点为BC中点，证明：
（2）在（1）的条件下，求平面PAC与平面ACF夹角的余弦值
（3）求线段长的最小值
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）证法1：由等腰三角形的性质得，由线面垂直的性质得，则得平面，再证得平面，再利用线面垂直的性质可证得结论；证法2：在中求出，在中求出，从而可求出，再在中求出，最后在中利用勾股定理的逆定理可证得结论；
（2）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中EC，EA为轴，轴的正半轴，然后利用空间向量求解即可；
（3）法1：以的中点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中为轴，轴的正半轴，设，由表示出，从而可表示出，进而可求出其最小值；法2：设BC的中点为，取PA中点，过点作平面PBC垂线，垂足为，可得点轨迹为在平面PBC中的以为圆心，为半径的圆弧，从而可求得结果.
【小问1详解】
法1：因为为正三角形，点为BC中点，
所以，
因平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以；
法2：因为为正三角形，点为BC中点，，
所以，
因为平面，平面，所以，
所以，
因为，
所以，则，
因为为正三角形，点为BC中点，
所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以，
所以，
所以；
【小问2详解】
由（1）知，
则以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中EC，EA为轴，轴的正半轴，
则
，
设平面PAC的法向量为，则
，令，则法向量为，
设平面的法向量为，则
，令，则，
设平面PAC与平面ACF夹角为，
则，
即平面PAC与平面ACF夹角的余弦值为；
小问3详解】
法1：以的中点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中为轴，轴的正半轴，则，
设
，
，
令
则，
在上单调递减，上单调递增
当时，，
法2：设BC的中点为，取PA中点，过点作平面PBC垂线，垂足为，
且平面，
点轨迹为以PA为直径，即的球与平面PBC的相交圆弧，
由（1）可知，，相交圆半径，
点轨迹为在平面PBC中的以为圆心，为半径的圆弧，
，
【点睛】关键点点睛：此题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，解题的关键是根据题意合理建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题.
19. 阅读材料：
极点与极线，是法国数学家吉拉德•笛沙格（Girard Desargues，）于年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点Px0,y0和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点Px0,y0对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点Px0,y0对应的极线方程为；对于双曲线，与点Px0,y0对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
其中，极点与极线有以下基本性质和定理
①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；
②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹.
根据上述材料回答下面问题：
已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为，
已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点，
（1）若，，证明：极线恒过定点.
（2）在（1）条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程
（3）若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，确定双曲线方程，结合题意确定方程即可求解；
（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，利用点差法求出直线斜率即可求解；
（3）根据已知条件，结合材料，确定为，直曲联立，利用韦达定理得到：，，结合题意有化简整理即可求解.
【小问1详解】
右顶点为，，
双曲线的一条渐近线方程为：，
由，，
双曲线的标准方程
点在直线上，
设，
根据阅读材料可得极线为：，
整理有：，
则由，，定点为.
【小问2详解】
若定点为AB的中点，设Ax1,y1，Bx2,y2，则，
由点差法可得：
又因为：，，所以
解得：，所以极线方程为：.
【小问3详解】

，，，所以直线方程为：，
由题意，设：则极线AB为：即，
由
设Ax1,y1,Bx2,y2，
由韦达定理可得，，
直线，得，
直线，得，
，
、满足，，，
且，，
所以原式化为：
.
【点睛】方法点睛：
解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)，
建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，化简求值.