湖北省十堰市2024-2025学年高二下学期6月期末调研考试数学试题（Word版附解析）

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本试题卷共 4 页，共 19 道题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴
在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.
3.非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、
草稿纸上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知函数 在 处可导，若 ，则 （ ）
A. 4 B. 6 C. D.
2. 展开式中 的系数为（ ）
A. B. 180 C. D. 960
3. 已知 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 356 B. 166 C. 246 D. 156
5. 若函数 存在单调递增区间，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B.
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C. D.
6. 除以 64 的余数为（ ）
A. 13 B. 33 C. 23 D. 31
7. 如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于笔直河岸的岸边 A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，位于离河岸 60km
的 B 处，BD 垂直于河岸，垂足为 D，且 D 与 A 相距 70km，两厂要在此岸边合建一个供水站 C，从供水站
到甲厂和乙厂铺设水管的费用分别为每千米 3t 元和 6t 元，设 ，铺设水管的总费用为 ，则
当 最小时， （ ）
A. B. C. 2 D.
8. 某答题闯关活动规则如下：参与者闯关前积分为 1 分，每次闯关成功加 1 分，闯关失败扣 1 分.积分为 0
结束闯关，或自愿放弃闯关，此时累计积分可兑换相应奖励.甲参与答题闯关活动，且每次闯关成功的概率
为 ，每次闯关相互独立，在甲闯关 5 次的条件下，甲累计积分不低于 3 分的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 导函数 的大致图象如图所示.下列结论正确的是（ ）
A. 在 上单调递增 B. 在 上单调递增
C. 既有极大值，也有极小值 D. 曲线 在 处的切线斜率为
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10. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知数列 满足 ， ，则（ ）
A. B.
C. D. 当 时，
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，若 ，则 __________.
13. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 是 的导函数， 是
的导函数，则曲线 在点 处的曲率 .曲线 在点
处的曲率为__________，设曲线 的曲率为 K，则 的极大值为__________.
14. 来自国外的博主 A，B，C 三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等 5 个著名景点.他们
约定每人至少选择 1 个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中 A 在北京故宫、西安兵马俑中至少
选择 1 个，则不同的打卡方案种数为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 2025 年 4 月 13 日，2025 十堰马拉松在十堰市奥体中心鸣枪起跑.马拉松比赛是一项高负荷、高强度、长
距离的竞技运动，对参赛运动员身体状况有较高的要求，参赛运动员应身体健康，有长期参加跑步锻炼或
训练的基础.为了解市民对马拉松的喜爱程度，从成年男性和女性中各随机抽取 100 人，调查是否喜爱马拉
松，得到了如下 列联表：
单位：人
性别 马拉松 合计
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喜爱 不喜爱
男 60 100
女 60
合计 200
（1）完成 列联表，并判断是否有 99.9%的把握认为喜爱马拉松与性别有关；
（2）依据统计表，用分层抽样 方法从“喜爱马拉松”的人中抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 3 人，记
其中女性人数为 X，求 X 的分布列及期望.
附： .
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5 024 6.635 10.828
16. 已知数列 的首项 ，且满足 .
（1）证明：数列 为等比数列.
（2）设 ，求数列 的前 n 项和.
（3）若 ，求满足条件的最小整数 n.
17 已知函数 .
（1）若曲线 在 处的切线方程为 ，求 a，b；
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（2）若 有三个零点，求 a 的取值范围；
（3）若 只有一个极值，求 a 的取值范围.
18. 近年来，中国新能源汽车市场快速发展，续航里程和电池容量是消费者最关心 指标之一.某研究机构
测试统计市场上 10 款主流新能源汽车的电池容量 （单位：kWh）和官方标称续航里程 （单位：km），
数据如下：
x 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85
y 300 320 350 380 400 430 450 480 500 520
（1）已知 与 线性相关，求出 关于 的经验回归方程（ 精确到整数），并预测电池容量为 100kWh 时
的续航里程.
（2）由于各种因素的影响，新能源汽车的实际续航里程有 的概率比官方标称续航里程多 50km，有 的
概率比官方标称续航里程少 50km，有 的概率与官方标称续航里程相等，现从以上 10 款新能源汽车中随
机抽取一辆，求实际里程不低于 450km 的概率.
（3）若根据个人驾驶习惯和环境因素统计得到某新能源汽车第一年实际续航里程与官方标称续航里程相符
的概率为 .从第二年起，若上一年实际续航里程与官方标称续航里程相符，则这一年实际续航里程与官方
标称续航里程仍相符的概率为 ；若上一年实际续航里程与官方标称续航里程不相符，则这一年实际续航
里程与官方标称续航里程相符的概率为 .记第 n 年实际续航里程与官方标称续航里程相符的概率为 ，求
，并解不等式 .
附： ， ， ， .
19. 已知函数 ， .
（1）判断 的单调性；
（2）若 恒成立，求 a 的取值范围；
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（3）若方程 有两个不同的根 ， ，证明： .
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