精品解析：安徽省合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试题wrod版

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（考试时间：120分钟 满分：150分）
命题学校：合肥七中 命题教师：李桢 审题教师：韩莹
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确答案）
1. 在复平面内，对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】先根据复数的运算法则对复数进行化简；再根据复数的几何意义即可求解.
【详解】因为，
所以对应的点为，
则该复数对应的点位于第二象限.
故选：B.
2. 已知向量，满足，，且，则，的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，可得，从而得到，最后根据计算可得；
【详解】解：因为，所以，
所以，，
由，所以，的夹角为，
故选：C.
【点睛】本题考查向量垂直的表示以及向量夹角的计算，属于基础题.
3. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正四棱锥的性质及体积公式即可求解.
【详解】
由已知可得：，可得，再由可得，
所以正四棱锥的体积为：，
故选：C.
4. 已知，且，，则的最小值是（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用代换1法，结合基本不等式即可求最小值.
【详解】由，可得，
又因为，，所以，
当且仅当时取等号，
故选：A.
5. 在图示正方体中，O为BD的中点，直线平面，下列说法错误的是（ ）
A. A，C，，四点共面B. ，M，O三点共线
C. 平面D. 与BD异面
【答案】C
【解析】
【分析】根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可.
【详解】对于A选项，且，所以共面，故A正确；
对于B选项，直线平面，所以平面，
因为直线，又平面，所以平面，
因为为中点，平面，所以平面，
底面为正方形，所以为中点，平面，所以底面，
又平面，平面，
所以平面与平面相交，且在交线上，即三点共线，故B正确；
对于选项C，平面平面，平面，但直线，
所以平面，故C错误；
对于选项D，直线平面，直线平面，，
所以直线与为异面直线，故D正确.
故选：C
6. 已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.
【详解】由于函数是定义在上的增函数，
所以，函数在区间上为增函数，
函数在区间上为增函数，
需满足：，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
7. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取2个数，则这2个数中至多有1个阴数的概率为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用分类抽取和间接法即可求解.
【详解】由题意可得，为阳数，为阴数，
若从10个数中任取2个数，则这2个数字全是阴数的概率为：，
所以这2个数中至多有1个阴数的概率为，
故选：D.
8. 设函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得的一个周期为4，据此可得在上的大致图像，恰有三个不同的实数根，等价于在上的大致图像与函数在上的大致图像有三个不同交点，据此可得答案.
【详解】因，则的一个周期为4.
因时，，又是定义在上的偶函数，则，结合一个周期为4，可得大致图像如下.
注意到恰有三个不同的实数根等价于在上的大致图像与函数在上的大致图像有三个不同交点，则由图可得：.
故答案为：B
二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选、不选不得分.）
9. 设向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. 是的充分条件B. 是的必要条件
C. 是的充分条件D. 是的必要条件
【答案】AC
【解析】
【分析】先利用向量平行垂直的有关结论，确定与的充要条件，再分别判断各选项的准确性.
【详解】因为或.
所以是的充分不必要条件，也是的充分不必要条件，故A正确，B错误；
因为或.
所以是的充分不必要条件，是的既不充分又不必要条件.故C正确，D错误.
故选：AC
10. 随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件“第一次为奇数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为奇数”，则（ ）
A. B. 与相互独立
C. D. 与互斥
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用古典概型来求解各事件的概率，再研究交事件概率，即可判断是否是相互独立事件，也可通过是否同时发生来判断是否为互斥事件.
详解】由题意可得：，故A正确；
因为，满足，所以与相互独立，故B正确；
由于两次点数为奇数，不可能满足两次点数之和为奇数，所以不可能同时发生，故C错误；
因为事件同时发生，表示两次点数之和为偶数，故与两次点数之和为奇数，不可能同时发生，所以与互斥，故D正确.
故选：ABD
11. 在棱长为1的正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的有（ ）
A. 三棱锥外接球的表面积为
B. 直线和平面所成的角为定值
C. 三棱锥的体积是定值
D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据三棱锥的外接球即正方体的外接球，及球体的表面积公式可判断选项A；根据线面所成角的定义及正方体的性质可判断选项B；先结合正方体的性质，求出点到平面的距离及三角形的面积，再根据锥体的体积公式即可判断选项C；设，表示出，，得出，再根据其几何意义即可求解.
【详解】
由正方体的棱长为，可得： ，
则正方体外接球的半径为；
对于选项A：因为三棱锥的外接球即正方体的外接球，
所以三棱锥的外接球的表面积为，故选项A正确；
对于选项B：由正方体的性质可得：为直线和平面所成的角，
且当点从点运动到点的过程中，，故选项B错误；
对于选项C：由正方体性质可知：平面平面，
因为点在线段上运动（包括端点），
所以点到平面的距离为，
又因为，
所以三棱锥的体积为，即三棱锥的体积是定值，
故选项C正确；
对于选项D：设，则，
结合正方体性质可得：，，
所以
，
其几何意义为：表示点到点和距离之和的平方，
由图可得，，当且仅当三点共线时等号成立，
而，
三点共线时有，解得，
所以的最小值为，故选项D正确;
故选：ACD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 某校高一年级共有男生420人，女生380人，为了解学生身高状况，决定按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高一年级全体学生中抽出40人，组建一个合唱团，则男生应该抽取__________人．
【答案】21
【解析】
【分析】由分层抽样定义按比例计算可得.
【详解】设男生就抽取人，则，解得．
故答案为：21.
13. 已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由两角和正弦公式及切化弦得到，进而可求解.
【详解】由，
可得，
由，可得：，
即，
联立可得：，
所以，
故答案为：
14. 如图，在平面四边形中，已知，，，，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】以为变量，在和中，分别利用余弦定理和正弦定理将表示为关于的函数，再利用三角恒等变换和三角函数的最值进行求解．
【详解】设，在中，由正弦定理，得，
即，即，
由余弦定理得，
在中，由余弦定理得
，
其中，为锐角，则，即的最大值为．
故答案为：.
四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）当是，解一元二次不等式求得不等式的解集.
（2）利用判别式列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】（1）当时，不等式为，即，
该不等式解集为 .
（2）由已知得，若时，恒成立，
，
即，的取值范围为.
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.
16. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数在区间上的值域.
【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递减区间；
（2）由求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求出函数在区间上的值域.
【小问1详解】
解：因为
，
所以，函数的最小正周期为，
由可得，
所以，函数的单调递减区间为.
【小问2详解】
解：当时，，则，
因此，函数在区间上的值域为.
17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明，再结合，利用线面垂直的判定定理可证平面.
（2）根据平面，得到即为二面角的平面角，再在中，求的正弦.
【小问1详解】
因为，，所以，.
又，，所以.
所以.
所以.
因为，即，
所以为直角三角形，且.
又平面，平面，所以.
平面，，所以平面.
【小问2详解】
因为平面，平面，
所以，.
所以即为二面角的平面角.
在中，，，，所以，
所以.
即二面角的正弦值为.
18. 某校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图：
（1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；
（2）估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数；
（3）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取．名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率．
【答案】（1）分；
（2）分；
（3）.
【解析】
【分析】先利用频率之和为，计算出，进而求出平均值即可；
利用百分位数的运算方法，求出成绩的第百分位数；
利用分层抽样取样方法，算出需在分数段内抽人，分别记为，，需在分数段内抽人，分别记为，，，写出样本空间和符合条件样本点数，即可求出相应概率.
【小问1详解】
解：由，
得.
数学成绩在：
频率，
频率，
频率，
频率，
频率，
频率，
样本平均值为：，
可以估计样本数据中数学成绩均值为分，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计分．
【小问2详解】
解：由知样本数据中数学考试成绩在分以下所占比例为，
在分以下所占比例为
因此，第百分位数一定位于内，由，
可以估计样本数据的第百分位数约为分，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第百分位数约为分.
【小问3详解】
解：由题意可知，分数段的人数为 (人)，
分数段的人数为 (人)．
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，则需在分数段内抽人，分别记为，，需在分数段内抽人，分别记为，，，
设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件，
则样本空间共包含个样本点
而的对立事件包含个样本点
所以，所以，即抽取的这名学生至少有人在内的概率为．
19. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成（且角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标，记为.已知在斜坐标系xOy中，，.
（1）证明：；
（2）当时，，求；
（3）当时，若向量，，已知，求函数的最值.
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）最小值，最大值
【解析】
【分析】（1）将分别用的组合来表示，根据点乘的定义计算即可证明.
（2）将用来表示，利用余弦定理可求的长度.
（3）由（1）可得的解析式，利用化简以后利用三角函数的性质可得的最值.
小问1详解】
，
，
.
【小问2详解】
，
如图，中
.
【小问3详解】
，
由（1）可得，
令，则，
，
当时，，
当时，.