精品解析：安徽省合肥市六校联盟2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

合肥六校联盟2022-2023学年第二学期期中联考

高一年级数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知复数z＝a+i（a∈R），则下面结论正确的是（    ）

A.

B. |z|≥1

C. z一定不是纯虚数

D. 在复平面上，z对应的点可能在第三象限

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数基本概念逐一核对四个选项得答案．

【详解】解：，，故错误；

，故正确；

当时，为纯虚数，故错误；

虚部为1大于0，在复平面上，对应的点不可能在第三象限，故错误．

故选：．

【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．

2. 设，为非零向量，且满足，则与的关系是（    ）

A. 既不共线也不垂直 B. 垂直 C. 同向 D. 反向

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件,将两边同时平方,再化简，即可求解.

【详解】设 与 的夹角为 ,

同时平方可得,

即，因为为非零向量，

则解得,

故与关系是共线且方向相反.

故选：D.

3. 已知非零向量满足，且，则 与的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由条件可得，代入向量的夹角公式，即可判断选项.

【详解】由条件可知，

所以，

，

所以 与的夹角为.

故选：C

4. 等边的边长为2，则在上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据投影的数量和投影向量的公式，即可求解.

【详解】因为是边长为的等边三角形，且，

可得向量在向量上的投影的数量为，

所以向量在向量上的投影向量为.

故选：A.

5. 已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则（    ）

A. 4 B.  C. 2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据实系数方程的虚数根成对出现得出另一个根，然后由韦达定理求出，

【详解】∵是关于的方程的一个根，∴方程的另一根为，

∴，，，∴．

故选：A．

【点睛】本题考查实系数方程的复数根问题，需掌握下列性质：实系数方程的虚数根成对出现，它们是共轭复数．

6. 如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论中错误的是

A. 三点共线 B. 四点共面

C. 四点共面 D. 四点共面

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题图，直接利用点、线、面的关系判断选项即可

【详解】在题图中，连接，则，平面，三点在平面与平面的交线上，即三点共线，∴选项A，B，C中的结论均正确，选项D中的结论不正确.

【点睛】本题考查正方体中的点线面关系，属于基础题

7. 已知圆台上底面半径为1，下底面半径为3，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】作图，找出图中的几何关系，求出母线长和球的半径即可.

【详解】

上图是该几何图形的正视图，由切线长定理可知： ，

设圆台的上底面半径为r，下底面半径R，母线长为l，球的半径为，

则有 ，过点D作BC的垂线，垂直是G，则有 ，

∴ ，在 中， ，

∴圆台的侧面积与球的表面积之比为；

故选：D．

8. 下列结论不正确的是（    ）

A. 在△ABC中，若，则

B. 若△ABC为锐角三角形，则

C. 若，则△ABC为钝角三角形

D. 在△ABC中，若，，三角形面积，则三角形的外接圆半径为

【答案】D

【解析】

【分析】对A，由大角对大边可知，结合正弦定理即可判断；对B，由锐角三角形可知，则，即可判断；对C，由正弦定理可得，结合即可判断；对D，由三角形面积公式可得，根据余弦定理求得，结合正弦定理即可判断.

【详解】对于选项A，在△ABC中，若，故选项A正确；

对于选项B，因为△ABC为锐角三角形，所以，故选项B正确；

对于选项C，，

因为，所以，故为钝角，故C正确；

对于选项D，因为，，则三角形面积，

故，

再由余弦定理得，从而三角形的外接圆半径为，故选项D错误．

故选：D

二、多选题（本大题共4小题，共20．在每小题有多项符合题目要求）

9. 设向量，则（    ）

A.  B. 与同向的单位向量是

C.  D. 与的夹角是

【答案】CD

【解析】

【分析】根据向量的模，数量积，夹角的坐标表示计算后判断．

【详解】由已知，，A错；

与同向的单位向量是，B错；

，所以，C正确；

，而，所以，D正确．

故选：CD．

10. 若复数满足（为虚数单位），则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C. 的共轭复数 D. 是方程的一个根

【答案】BD

【解析】

【分析】设，根据复数相等可求得实数、的值，可判断A选项的正误；利用复数的模长公式可判断B选项的正误；利用共轭复数的定义可判断C选项的正误；解方程可判断D选项的正误.

【详解】设，则，可得，解得，所以，，A错；

，B对；

，C错；

解方程，即，解得或，D对.

故选：BD.

11. 如图，在三棱柱中，E，F分别为棱A1B1和A1C1上的点(不包括端点)，且，则下列结论正确的是（    ）

A. B，C，E，F四点共面 B. P∈平面ABB1A1

C. 平面AEF与平面BB1C1不相交 D. P，A1，A三点共线

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A，根据两条直线相交可以确定一个平面即可求解；

对于B，C，D，根据点线面的位置关系即可求解；

【详解】对于A，因为，所以共面，所以A正确；

对于B，，平面，所以平面，故B正确，

对于D，，平面，平面，

所以平面∩平面=，故D正确；

对于C， 与相交，则平面与平面BB1C1相交，故C不正确.

故选：ABD.

12. 设的内角，内角，，的对边分别为，，若，，则下列选项正确的是（    ）

A. 外接圆半径为 B. 面积的最大值为

C. 的周长的最大值为8 D. 的最大值为32

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A，根据正弦定理判定即可；

对B，利用余弦定理和面积公式结合基本不等式求解即可；

对C，利用余弦定理结合基本不等式求解即可；

对D，利用余弦定理结合基本不等式求解即可；

【详解】对A，由正弦定理，外接圆半径满足，故，故A正确；

对B，由余弦定理，，故，故，当且仅当时取等号，故B正确；

对C，，故，故的周长的最大值12，当且仅当时取等号，故C错误；

对D，，故，当且仅当时取等号，故的最大值为32，故D正确；

故选：ABD

【点睛】本题主要考查了正余弦定理结合基本不等式，求解三角形中的范围问题，需要根据题意确定基本不等式，属于中档题

三、填空题（本大题共4小题，共20）

13. 已知复数在复平面内对应的点在射线上，且，则复数的虚部为______ ．

【答案】

【解析】

【分析】首先根据条件设复数的坐标，根据模，求解复数，再根据共轭复数的特征，即可求解.

【详解】设复数在复平面内对应的点为，，

所以，得，

所以,那么，

所以的虚部是.

故答案为：

14. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为，则其外接球的表面积是______．

【答案】

【解析】

【分析】可把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体，得到三棱锥的外接球与该长方体的外接球是同一个球，设外接球的半径为，结合长方体的性质，求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.

【详解】如图所示，可把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体，

则三棱锥的外接球与该长方体的外接球是同一个球，设外接球的半径为，

因为长方体的对角线长为，可得，即，

所以外接球的表面积为.

故答案为：

15. 中，，，，为边上一动点，则的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据三边长得出直角三角形，以作为基底，表示出，即可求得模长，利用函数单调性求出最值.

【详解】中，，，，，

根据勾股定理

为边上一动点，设，

，

，

则

，根据二次函数性质，当时，取得最小值，

最小值为.

故答案为：

【点睛】此题考查平面向量基本定理的应用，结合线性运算，数量积运算，求模长，根据函数性质求最值.

16. 如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援，则__________．

【答案】.

【解析】

【分析】利用余弦定理求出的数值，正弦定理推出的余弦值，利用展开求出的值．

【详解】解：如图所示，在中，，，，

由余弦定理得，

所以由正弦定理得．

由知为锐角，故．

故．

故答案：.

四、解答题（本大题共6小题，共70．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知复数z的虚部为，，且z在复平面内对应的点在第四象限

（1）求复数z；

（2）若，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)设，根据复数的几何意义求出的值即可；

(2)由(1)可，根据复数的乘、除法运算求得，结合复数的乘方即可得出结果.

【小问1详解】

设，

∵，

∴，，解得，

∵z在复平面内对应点在第四象限，

∴

∴.

【小问2详解】

由（1）知，.

∴.

18. 如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为的内接圆柱．

试用表示圆柱的高；

当为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】（1）根据比例关系求结果，（2）先列圆柱的全面积函数关系式，再根据二次函数性质求最值.

【详解】（1）

（2）圆柱的全面积

当时，

答：当时，圆柱的全面积最大，最大全面积为

【点睛】本题考查圆柱全面积以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.

19. 平面内给定三个向量，，

（1）求满足的实数、；

（2）设满足且，求．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据即可得出，根据向量相等解出，即可；

（2）根据，，得到方程组，可得答案.

【小问1详解】

且，

，

，；

【小问2详解】

，

又，，

，解得或，

所以或

20. 在四面体中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：

（1），，，四点共面；

（2）直线，，相交于一点．

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据基本事实的推论证明即可；

（2）根据基本事实3证明即可.

【小问1详解】

连接，，

在三角形中，，所以，

∵，分别是边，的中点，

∴，

∴，，，，四点共面.

【小问2详解】

∵，为中点，

∴与不平行，

∵平面，

∴与相交，

设，

∵，平面，

∴平面，同理平面，

∵平面平面，

∴，

∴直线，，相交于一点.

21. 在中，角的对边分别为，且.

（1）求；

（2）若，且的面积为，求的值

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】对问题（1）根据题目条件结合三角形的正弦定理以及，即可求出的值；对问题（2），根据（1）的结论，再结合三角形的面积公式以及余弦定理，即可求出的值．

【详解】（1）∵，

∴，．．

即，

∵，∴ ，则，

（2）∵的面积为，

∴，得

∵，∴ ，

∴，即 ，

∵，∴ ，

22. 在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知．

（1）求角B的值；

（2）若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC的面积S的取值范围．

【答案】（1）60°；   

（2）﹒

【解析】

【分析】(1)根据已知条件，结合正弦定理角化边和余弦定理即可求出cosB及B；

(2)根据B=60°和三角形是锐角三角形可求A=120°-C且，利用正弦定理用sinA和sinC表示出a边，利用三角函数值域求出a的范围，根据即可求三角形面积的范围．

【小问1详解】

∵，

∴由正弦定理得，即，即，

即，

由余弦定理得，∵，∴；

【小问2详解】

∵B=60°，∴，即A=120°-C，又∵，

∴由正弦定理得，

∴，

∵△ABC为锐角三角形，∴，解得，

从而，∴．