精品解析：安徽省合肥六校联盟2022-2023学年高一下学期期末联考数学试卷（解析版）

这是一份精品解析：安徽省合肥六校联盟2022-2023学年高一下学期期末联考数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

合肥六校联盟2022—2023学年第二学期期末联考
高一年级数学试卷
（考试时间：120分钟 满分150分）
命题学校：合肥十一中 命题老师：詹步创 审题老师：孙邦国
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
1. 若复数z满足，则（ ）
A. 1 B. 5 C. 7 D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．
【详解】由题意有，故．
故选：B．

2. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数的诱导公式与和差公式化简求值即可.
【详解】


.
故选：A.
3. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与都是红球
C. 恰有一个黑球与恰有两个黑球 D. 至少有一个黑球与至少有一个红球
【答案】C
【解析】
【分析】列举出各事件的基本事件，从而利用互斥事件与对立事件的定义判断即可.
【详解】依题意，记2个红球为，2个黑球为，
则从中任取2个球的总的基本事件为，
对于A，至少有一个黑球的基本事件为，都是黑球的基本事件为，
显然两个事件有交事件，所以不为互斥事件，故A错误；
对于B，至少有一个黑球的基本事件为，都是红球的基本事件为，
显然两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误；
对于C，恰有一个黑球的基本事件为，恰有两个黑球的基本事件为，
显然两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确；
对于D，至少有一个黑球的基本事件为，至少有一个红球的基本事件为，
显然两个事件不是互斥事件，故D错误.
故选：C.
4. 已知命题p：，命题q：，若是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）
A. [﹣1，2] B. （﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
C. （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D. （﹣1，2）
【答案】B
【解析】
【分析】由是的充分不必要条件,则是的充分不必要条件, 由得或，只需,即可.
【详解】由得或,因为是的充分不必要条件,所以是的充分不必要条件,所以,解得或.
故选:.
【点睛】本题考查充分必要条件求参数取值范围问题,难度一般.
5. 已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则（ ）
A. 4 B. 5 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据零点存在定理，可判断出零点所在的相邻整数区间，即可由定义求得的值.
【详解】函数在递增，
且，，
所以函数存在唯一的零点，
故，
故选：C.
【点睛】本题考查了零点存在定理的简单应用，由定义求函数值，属于基础题.
6. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D 若，，，则
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：，,故选D.
考点：点线面的位置关系.

7. 一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】设与中至少有一个不闭合的事件为与至少有一个不闭合的事件为，则，所以灯亮的概率为 ， 故选B.
【方法点睛】本题主要考查独立事件、对立事件的概率公式，属于难题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性与对立性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.
8. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则（ ）

A. 平面 B. 该二十四等边体的体积为
C. ME与PN所成的角为 D. 该二十四等边体的外接球的表面积为
【答案】D
【解析】
【分析】依题意补齐正方体，对于A，假设平面，得到，根据六边形为正六边形，，得出矛盾判断A；对于B，结合集合图形，该二十四等边体的体积为正方体体积去掉八个三棱锥体积，从而求出B；对于C，由平移法找出异面直线所成角为，判断C；对于D，取正方形对角线交点为，即为该二十四等边体的外接球球心，从而求出半径大小，进而求出外接球体积，判断D.
【详解】依题意，补齐正方体，如下图，

对于A，假设平面，平面，
，，
二十四等边体就是一种半正多面体，
由对称性可知，六边形为正六边形，
，
这与“”矛盾，所以假设不成立，A错误；
对于B，，正方体的棱长为，
该二十四等边体的体积为正方体体积去掉个三棱锥体积，
即，B错误；
对于C，，
为异面直线与所成角（或补角），
在等边中，，C错误；
对于D，如图，取正方形对角线交点为，即为该二十四等边体的外接球球心，

在等腰中，，
在正方形中，，
即外接球半径，
该二十四等边体的外接球的表面积，D正确.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 向量与夹角的取值范围是
C. 与共线的单位向量为 D. 存在，使得
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用三角函数的商数关系求解即可；对于B，利用向量夹角的余弦公式与三角函数的性质即可求解；对于C，利用共线单位向量的定义求解即可；对于D，利用向量积的运算法则，结合三角函数的商数关系即可得解.
【详解】对于A，若，则，即，
又，则，故A正确；
对于B，设向量与的夹角为，
则，
因为，则，所以，即，
又，所以，即向量与夹角的取值范围是，故B正确；
对于C，与共线的单位向量为或，即或，故C错误；
对于D，假设存在，使得，
则，即，则，
所以，即，又，则，故D正确.
故选：ABD.
10. 如图为国家统计局公布的2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，则（ ）

A. 2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出均呈增长趋势
B. 2017~2022年全国城镇居民人均消费支出的中位数为27535
C. 2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入的极差大于人均消费支出的极差
D. 2017~2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例均大于80%
【答案】BC
【解析】
【分析】根据图表逐项进行判断即可求解.
【详解】对于选项A：由图知2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入呈增长趋势，但人均消费支出2020年比2019年少，故A不正确；
对于选项B：由图可知2017~2022年全国城镇居民人均消费支出的中位数为，故B正确；
对于选项C：2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入的极差为，
人均消费支出的极差为，
因为，所以人均可支配收入的极差大于人均消费支出的极差，故C正确；
对于选项D：2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例为，小于80%，故D不正确.
故选：BC.
11. 关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的叙述正确的是（ ）
A. f(x)是偶函数` B. f(x)在区间单调递增
C. f(x)在[－π，π]有4个零点 D. f(x)的最大值为2
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、单调性、零点、最值对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】A.∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故A正确；
B.当时，f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x，f(x)在单调递减，故B错误；
C.当x∈[0，π]时，令f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x＝0，得x＝0或x＝π，又f(x)在[－π，π]上为偶函数，
∴f(x)＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个零点，故C错误；
D.∵sin|x|≤1，|sin x|≤1，当或时两等号同时成立，
∴f(x)的最大值为2，故D正确．
故选：AD
12. 已知正方体，则（ ）
A. 直线与所成的角为60° B. 直线与所成的角为90°
C. 直线平面所成的角为45° D. 直线与平面所成的角为45°
【答案】ABC
【解析】
【分析】由异面直线所成角可判断A，B；直线与平面所成角可判断C，D.
【详解】对于A，连接，，由正方体的性质知：，
直线与所成的角即为与所成的角，
因为为等边三角形，所以直线与所成角为60°，故A正确；

对于B，连接，因为平面，平面，
所以，又因，，所以，
平面，所以平面，
平面，所以，所以直线与所成的角为90°，故B正确；

对于C，因为平面，所以直线平面所成的角为，
，所以直线平面所成的角为45°，故C正确；

对于D，连接交于点，因为平面，
平面，所以，又因为，
平面，所以平面，
所以直线与平面所成的角为，
设正方体的边长为，所以，
，所以，所以，
所以直线与平面所成的角为，故D错误.
故选：ABC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用对数的运算法则与换元法得到，结合配方法即可得解.
【详解】因为，
令，则，则，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
14. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据可得，推得，利用向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】因为，故，
即，
由于，故，
因为，故，
故答案为：
15. 在中，若，则的形状为_________.
【答案】等腰或直角三角形
【解析】
【分析】利用正弦定理边角互化化简可得或，进而可判断出的形状.
【详解】，
由正弦定理可得，
所以，，
即，，
或，
，或.
因此，为等腰或直角三角形.
故答案为：等腰或直角三角形.
【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
16. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用列举法把互质的2个数找出来，然后利用古典概型求概率的公式求概率即可.
【详解】从2至8的整数有2,3,4,5,6,7,8，
互质的两个数有2和3,2和5,2和7,3和4,3和5,3和7,3和8,4和5,4和7,5和6,5和7,5和8,6和7,7和8，共14对，
所以随机取2个数，互质的概率为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知一个圆锥的底面半径为，高为，在其内部有一个高为的内接圆柱．
（1）求圆柱的侧面积；
（2）求圆柱的侧面积的最大值及此时的值．
【答案】（1）
（2）当时，
【解析】
【分析】（1）作出轴截面，根据线段比例关系可求得圆柱底面半径，代入圆柱侧面积公式即可；
（2）根据二次函数最值的求法可确定最大值及的取值.
【小问1详解】
设圆锥顶点为，底面圆心为，圆柱的底面半径为，
作出圆锥和圆柱的轴截面如下图所示，

，，则
圆柱侧面积.
【小问2详解】
由（1）知：，
当时，圆柱侧面积取得最大值.
18. 已知向量，，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【详解】试题分析：根据题意，由于向量，那么可知

（2）根据题意，由于且，那么
考点：向量的数量积
点评：主要是考查了向量的数量积公式以及两角和差的三角公式的运用，属于中档题．
19. 定义在上的奇函数，已知当时，．
（1）求在上的解析式；
（2）若使不等式成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合奇函数在原点有意义时，有，即可求出的值，然后根据奇函数的定义即可求出结果；
（2）参变分离后构造函数，根据函数的单调性即可求出最小值，从而可以求出结果.
【小问1详解】
（1）因为是定义在上的奇函数，时，，
所以，解得，
所以时，，
当时，，
所以，
又，
所以，，
即在上的解析式为.
【小问2详解】
因为时，，
所以可化为，整理得，
令，根据指数函数单调性可得，
与都是减函数，
所以也是减函数，
，
所以，
故实数的取值范围是.
20. 在中，内角的对边分别为，设的面积为，满足.
（1）求角；
（2）若，求周长最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形的面积公式，由结合余弦定理，整理可得，求得角；
（2）由已知条件，利用正弦定理角化边可得，进一步根据余弦定理可得，利用基本不等式可得，得到的最大值，进而得到三角形周长的最大值.
【小问1详解】
因为， 所以.
因为， 所以， 所以.
由余弦定理， 得， 整理， 得.
由余弦定理， 得，
因为， 所以；
【小问2详解】
因为， 所以根据正弦定理， 得， 所以.
在中， 由余弦定理， 得，整理得，
因为， 所以，
整理可得即，当且仅当时等号成立，
所以取得最大值是，当时取到,
所以周长的最大值为 .
21. 随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在的老年人500人．年龄在的老年人300人．现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图（如下图所示）．

（1）根据频率分布直方图，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第95百分位数；
（2）已知年龄在的老年人年收入的方差为3，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在的老年人年收入的方差．
【答案】（1）5.35；8.3
（2）3
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的数据和频率平均数法的公式：，求得平均数；再先计算出第95百分位数位于内，列出式子即可求解；
（2）设年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为，根据样本中不同层的方差公式得到，即可求解.
【小问1详解】
频率分布直方图中，该地年龄在的老年人年收入的平均数约为：
，
由频率分布直方图，年收入在万元以下的老年人所占比例为，
年收入在万元以下的老年人所占比例为，
因此，第95百分位数一定位于内，
由，
可以估计该地年龄在的老年人年收入的第95百分位数为.
【小问2详解】
设年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；
年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；
年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为.
由（1）得，由题意得，，，，
则，
由，
可得，
即估计该地年龄在的老年人的年收入方差为3.
22. 如图，是半球的直径，为球心，依次是半圆上的两个三等分点，是半球面上一点，且，

（1）证明：平面平面；
（2）若点在底面圆内的射影恰在上，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）连接OM，MN，证明，再利用线面、面面垂直的判定推理作答.
（2）确定点P在底面圆内的射影点位置，再作出二面角的平面角，然后解三角形作答.
【小问1详解】
连接OM，MN，如图，是半圆上的两个三等分点，则有，

而，即有都为正三角形，因此，，
四边形是菱形，，而，，平面，
因此，平面，平面，
所以平面平面.
小问2详解】
由（1）知，平面平面，平面平面，则点在底面圆内的射影在上，
因点在底面圆内的射影在上，因此，点在底面圆内的射影是与的交点，
即平面，有，，
，而，即有，
取的中点，连，于是得，则有是二面角的平面角，
在中，，
所以，
所以二面角的余弦值是.
【点睛】思路点睛：在二面角的棱上取一点，在二面角的两个半平面内作垂直于棱的两条射线，即可得二面角的平面角．