精品解析：江西省抚州市2024-2025学年高一下学期学生学业质量监测数学试卷

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说明：1．本试题卷共4页，19个小题，满分150分，考试时间120分钟．
2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在本试题卷上作答，否则不给分．
3．所有考试结束3天后，考生可凭准考证号登录智学网（www．zhixue．cm）查询考试成绩，密码与准考证号相同．
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，仅有一项符合题目要求．
1. 在复平面内，复数满足，则的虚部为（ ）
A. 3iB. C. 3D.
2. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 四边形的周长为5D. 四边形的面积为3
3. 已知向量，，“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4 设，，，则有（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆锥的顶点为S，母线，所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知非零平面向量、、，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知中，角、、所对的边分别为、、，是上的三等分点（靠近点）且，，则的最大值是（ ）
A 4B. C. D. 2
二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分．
9. 若复数（i为虚数单位），其中真命题为（ ）
A. B. 若，则
C. 若为虚数，则也为虚数D. 若，则的最大值为
10. 已知函数，满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列说法错误的是（ ）
A. 图象对称轴方程为，
B. 在上的值域为
C. 在上单调递减
D. 若方程在上有且只有5个根，则
11. 如图，在正三棱柱中，、分别是棱，的中点，连接，，，是线段的中点，是线段上靠近点的四等分点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面平面
B. 直线与平面所成的角为
C. 三棱锥体积与正三棱柱的体积之比为
D. 若，则过，，三点作平面，截正三棱柱所得截面图形的面积为
三、填空题：共3小题，每题5分，共15分．
12. 已知，则________．
13. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为________．
14. 如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．
15. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点、，已知点的坐标为．

（1）求的值；
（2）若，求的值．
16. 已知函数，，且函数的图象关于轴对称．
（1）求函数的解析式；
（2）函数，，若恒成立，求的取值范围．
17. 在中，角、、所对边分别为、、，已知．
（1）求角的大小；
（2）已知，，设为边上一点，且为角的平分线．求的面积．
18. 如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，，为线段上一点．
（1）当平面，求证：为的中点；
（2）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
19. 已知函数，若存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对．
（1）若，求函数的“平衡”数对；
（2）若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；
（3）若，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围．