江西省抚州市2023−2024学年高二下学期学生学业质量监测 数学试卷（含解析）

这是一份江西省抚州市2023−2024学年高二下学期学生学业质量监测 数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．在数列中，若，则（ ）
A．-2B．4C．1D．
3．2024年是安徽省实施“”选科方案后的第一年新高考，该方案中的“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么化学和地理至少有一门被选中的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．设，，随机变量X的分布列是
则方差（ ）
A．既与有关，也与有关B．与有关，但与无关
C．与有关，但与无关D．既与无关，也与无关
5．已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．函数，的导函数图象如图所示，下列结论中一定正确的是（ ）

A．的减区间是
B．的增区间是
C．有一个极大值点，两个极小值点
D．有三个零点
10．下列说法正确的是（ ）
A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
B．若，则
C．已知，若，则事件M，N相互独立
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在三个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．若时，，则的最小值为
D．若方程有两个实根，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．若直线与曲线相切，则 .
13．小王喜爱逛街和吃火锅．在周末，她下午去逛街的概率为．若她下午去逛街，则晚上一定去吃火锅；若下午不去逛街，则晚上去吃火锅的概率为．已知小王在某个周末晚间去吃火锅，则下午逛街的概率为 ．
14．已知分别是函数和图象上的动点，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知公差不为0的等差数列首项，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
16．已知函数
(1)求的单调增区间；
(2)方程在有解，求实数的范围.
17．已知数列的首项，且.
(1)求数列的通项公式：
(2)若数列的前项和为，证明：.
18．某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且．
(1)请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）；
(2)奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有个人摸到一等奖的概率为，求当取得最大值时的值．
附：若，则．
19．已知函数（为常数，为自然对数的底数），曲线在与轴的交点处的切线斜率为-1.
(1)求的值及函数的单调区间；
(2)证明：当时，；
(3)证明：当时，.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为函数,
所以,
所以.
故选：A.
2．【答案】B
【详解】因为数列中，，
所以，，
，，
所以数列是以3为周期的周期数列，
所以.
故选：B
3．【答案】D
【详解】依题意从从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门共有种情况，
其中化学和地理都没有被选中共有种，
因此化学和地理至少有一门被选中的概率是.
故选：D
4．【答案】B
【详解】由分布列可得，
故.
故选：B
5．【答案】D
【详解】因为等差数列与的前项和分别为，且，
所以设，
所以
.
故选：D
6．【答案】B
【详解】因为，则，
因为函数在区间上存在单调递增区间，则存在，使得，
即，可得，设，
因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数，
当时，，故.
故选：B.
7．【答案】A
【详解】由题意得当时，，则，
所以，，……，，，
所以
，
所以，所以，
因为当时，，则，
所以，
所以，
所以
，
所以，
所以.
故选：A
8．【答案】C
【详解】由，
两边同时加，得：.
设，则，所以在上单调递增.
所以.
设，，则，
由；由.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
由.
故选：C
9．【答案】BC
【详解】结合导函数图象可知，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，，错误，正确，
所以函数在，时取得极小值，在时，函数取得极大值，C正确；
因为无法确定，，的正负，从而无法确定函数的零点个数，D错误.
故选：BC
10．【答案】BC
【详解】对于A，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A错误；
对于B，因为，所以正态曲线的对称轴为，则，故B正确；
对于C，因为，所以，即，
则，则事件M，N相互独立，故C正确；
对于D，因为，所以不能根据作出D中的判断，故D错误；
故选：BC
11．【答案】BD
【详解】定义域为，，
当时，；当时，；
在，上单调递减，在上单调递增；
对于A，，，，
在区间和内各存在一个零点；
当时，，，恒成立；
有且仅有两个不同的零点，A错误；
对于B，由单调性可知：的极小值为，极大值为，B正确；
对于C，，作出图象如下图所示，可知方程存在另一个解，
若当时，，则，C错误；
对于D，方程有两个实根等价于与有两个不同交点，
作出图象如下图所示，
结合图象可知：，D正确.
故选：BD.
12．【答案】2
【详解】因为，所以.
由，
因为，所以切点坐标为，
因为点在直线上，所以.
故答案为：2
13．【答案】/
【详解】设其周末晚间去吃火锅的概率为，下午去逛街的概率为，
则，，
则.
故答案为：.
14．【答案】
【详解】点到直线的距离，
则，
又，
由知，和在上单调递增，
所以在上单调递增，其值域为，
又，令，
令，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
因为对任意的，都有恒成立，所以，
所以实数的最大值为.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意，得
解得或（舍）
∴ ；
（2），，
此时；
，
，
，
，
所以.
16．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1），
由解得，或，
所以的单调增区间为，；
（2），
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
，，
所以，
若方程在有解，
则.
17．【答案】(1)
(2)证明见详解.
【详解】（1）因为，
所以，
即，
将上述个式子相乘得，
所以，当时，成立，
故.
（2）由（1）得，
所以，
所以，
即.
18．【答案】(1)159
(2)取得最大值时n的值为8
【详解】（1）因为，所以，
则，
所以现场年龄不低于60岁的人数大约为(人)．
（2）依题意可得，，
设，
所以，
所以
所以，因为整数，所以，
所以当取得最大值时的值为8．
19．【答案】(1)，的单减区间为，单增区间为；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）由，得．
又，所以．所以，．
由，得．
所以函数的单减区间为，单增区间为．
（2）由（1）知．
所以，即，．
令，则．
所以在上单调递增，所以，即．
（3）首先证明：当时，恒有．
证明如下：令，则．
由（2）知，当时，，所以，所以在上单调递增，
所以，所以．所以，即．依次取，代入上式，则，，．
以上各式相加，有．
所以，
所以，
即．a