2025届甘肃武威中考真题试卷数学试题【含答案】

这是一份2025届甘肃武威中考真题试卷数学试题【含答案】，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考生注意：本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟．所有试题均在答题卡 上作答，否则无效．
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题只有一个正确 选项．
1 ．-2 + 5 = ( )
A ．-10 B ．-7 C ．-3 D ．3
2 ．根据国家统计局的数据，2024 年中国生产芯片约 451420000000 颗，彰显了中国芯片产 业的强大实力．数据 451420000000 用科学记数法可以表示为( )
A ．4.5142 × 109 B ．4.5142 × 1010 C ．4.5142 × 1011 D ．4.5142 × 1012
3 ．下列计算正确的是( )
A ．2a2 + 3a2 = 6a2 B ．a6 ÷ a2 = a3 C ．(a2 )3 = a5 D ．(3a )2 = 9a2
4．如图 1，三根木条 a，b，c 相交成上1 = 80。，上2 = 110。，固定木条 b，c，将木条 a 绕点A 顺时针转动至如图 2 所示，使木条 a 与木条 b 平行，则可将木条 a 旋转( )
A ．30。 B ．40。 C ．60。 D ．80。
5 ．关于 x 的一元二次方程3x2 - 6x + m = 0有两个实数根，则 m 的取值范围是( )
A ．m < 3 B ．m ≤ 3 C ．m > 3 D ．m ≥ 3
6 ．如图，一个多边形纸片的内角和为1620。，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边 形的边数为( )
A ．12 B ．11 C ．10 D ．9
7 ．如图，四边形ABCD 内接于ΘO ， = ， 连接BD ，若上ABC = 70 ，则上BDC 的度 数为( )
A ．20 B ．35 C ．55 D ．70
8 ．习近平总书记致首届全民阅读大会举办的贺信指出：阅读是人类获取知识、启智增慧、 培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．中华民族自 古提倡阅读，讲究格物致知、诚意正心， 传承中华民族生生不息的精神，塑造中国人民自信 自强的品格．如图是某网站连续多年对其用户书籍阅读量的统计图，下列结论错误的是
( )
A ．2022 年，人均纸质书籍阅读量为 5 本
B ．2023 年，人均电子书籍阅读量为 11 本
C ．2024 年，人均电子书籍阅读量是人均纸质书籍阅读量的 3 倍
D ．2016 年至 2024 年，人均电子书籍阅读量逐年上升
9 ．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM ，喷头 M 向外喷水，水 流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度 y (m) 与水平距离x (m) 之间的关系式是 则水流喷出的最大高度是 ( )
A ．3m B ．2.75m C ．2m D ．1.75m
10．如图 1，在等腰直角三角形ABC 中，上ACB = 90O ，点 D 为边AB 的中点．动点 P 从点A 出发，沿边AC → CB 方向匀速运动，运动到点 B 时停止．设点 P 的运动路程为 x ， △APD 的面积为y，y 与 x 的函数图象如图 2 所示，当点 P 运动到CB 的中点时，PD 的长为( )
A ．2 B ．2.5 C ． D ．4
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．
11 ．因式分解：x2 - 6x + 9 = ．
12 ．方程 的解是x = ．
13 ．已知点A(2,y1 ) ，B (6,y2 ) 在反比例函数y = k ≠ 0) 的图象上，如果y1 > y2 ，那么 k = （请写出一个符合条件的 k 值）．
14 ．如图，把平行四边形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点 B 落在点B¢ 处，B¢C 与AD 相交 于点 E，此时 △CDE 恰为等边三角形．若AB = 6cm ，则 AD = cm ．
15．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作 技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和 哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线AC ^ BD ．已 知大、小风筝的对应边之比为3 :1 ，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm 和35cm ，那么
大风筝两条对角线长的和为 cm ．
16．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自 然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第 1 个图形是正方形，第 2 个 图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两 条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第 3 个图形，…… , 则 第 5 个图形中共有 个正方形．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 46 分．解答时，应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤．
17 ．计算 ．
18 ．解不等式组
19 ．化简
20 ．如图 1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制 可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》 是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图 2 是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出 的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用A表示， 点 O 是A所在圆的圆心， AB 是月 洞门的横跨，CD 是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计
图．如图 3，已知月洞门的横跨为 AB ，拱高的长度为 a ．作法如下：
①作线段AB 的垂直平分线MN，垂足为 D；
②在射线DM 上截取DC = a ；
③连接AC ，作线段 AC 的垂直平分线交CD 于点 O；
④以点 O 为圆心，OC 的长为半径作A ．
则A就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图 3 中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写 作法）．
21 ．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成 3 个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种 颜色，转盘指针固定．转动转盘、等转盘停止转动后， 观察指针所落区域的颜色．若指针落 在区域分界线上，则重新转动转盘．
(1)任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为_______；
(2)任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用画树 状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率．
22 ．如图 1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩 台，始建于明嘉靖十八年（1539 年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路 咽喉要道，与嘉峪关长城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系．随着岁月的变迁和 自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低．为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开 展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动．如图 2 是他们测量长城第一墩高度 AB 的示意 图，点 A 为最高点，点 B ，F，D 是地面同一直线上的三个点（点 D ，F 都在保护栅栏外），
在 D ，F 处分别用测角仪测得．上ACG = 16.7 ，上AEG = 22 ，其中CD = EF = 1.7m （测角 仪的高度）， DF = CE = 5.5m ，求长城第一墩的高度 AB （结果精确到 0.1m ）．（参考数据： sin22 ≈ 0.37 ，cs22 ≈ 0.93 ，tan22 ≈ 0.40 ，sin16.7 ≈ 0.29 ，cs16.7 ≈ 0.96 ，
tan16.7 ≈ 0.30 ）
四、解答题：本大题共 5 小题，共 50 分．解答时，应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤．
23 ．某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近 10 次的选拔赛中，他们的 射击成绩（单位：环）信息如下：
信息一：甲、乙队员的射击成绩
甲：10 ，8 ，8 ，10 ，6 ，8 ，6 ，9 ，10 ，8
乙：8 ，9 ，10 ，9 ，6 ，7 ，7 ，9 ，10 ， 8
信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中 m ，n 的值：m = _______ ，n = _______；
(2)_______ 队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）；
(3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说的 对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）．
24 ．如图，一次函数y = x + 4 的图象交 x 轴于点 A，交反比例函数 的图象于 点B(-1, a ) ．将一次函数y= x + 4 的图象向下平移m(m > 0) 个单位长度，所得的图象交 x 轴于 点 C．
队员
平均数
中位数
众数
方差
甲
8.3
8
n
2.01
乙
8.3
m
9
1.61
(1)求反比例函数 的表达式；
(2)当△ABC 的面积为 3 时，求 m 的值．
25 ．如图，四边形ABCO 的顶点A ，B ，C 在ΘO 上，上BAO = 上BCO ，直径 BE 与弦AC 相 交于点 F、点 D 是EB 延长线上的一点且上上AOB ．
(1)求证：CD 是ΘO 的切线；
(2)若四边形ABCO 是平行四边形，EF = 3 ．求CD 的长．
26 ．四边形ABCD 是正方形，点 E 是边AD 上一动点（点 D 除外）， △EFG 是直角三角形， EG = EF ，点 G 在CD 的延长线上．
(1)如图 1，当点 E 与点 A 重合，且点 F 在边BC 上时，写出BF 和DG 的数量关系，并说明 理由；
(2)如图 2，当点 E 与点A 不重合，且点 F 在正方形ABCD 内部时，FE 的延长线与BA 的延 长线交于点 P，如果 EF = EP ，写出 AE 和DG 的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 BF ，写出 BF 和DG 的数量关系，并说明理由．
27 ．如图 1 ，抛物线 分别与 x 轴，y 轴交于 A ，B (0, -4) 两点，M 为OA 的中点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接AB ，过点 M 作OA 的垂线，交AB 于点C，交抛物线于点 D，连接 BD ，求△BCD 的面积；
(3)点 E 为线段AB 上一动点（点A 除外），将线段OE 绕点 O 顺时针旋转90。得到OF ．
①当AE = 、时，请在图 2 中画出线段OF 后，求点 F 的坐标，并判断点 F 是否在抛物线 上，说明理由；
@如图3，点 P 是第四象限的一动点，上OPA = 90。，连接PF ，当点 E 运动时，求PF 的最 小值．
1 ．D
【分析】本题考查有理数的加法，绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号， 并用较大的绝对值减去较小的绝对值，据此计算即可．熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：-2 + 5 = + (5 - 2) = 3 ， 故选：D．
2 ．C
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中 1 ≤| a |< 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
【详解】解：451420000000 = 4.5142 × 1011 ． 故选：C．
3 ．D
【分析】本题考查同底数幂除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，利用同底数幂除法， 合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可．熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：A 、2a2 + 3a2 = 5a2 ，故此选项不符合题意，
B 、a6 ÷ a2 = a4 ，故此选项不符合题意， C 、(a2 )3 = a6 ，故此选项不符合题意， D 、(3a)2 = 9a2 ，故此选项符合题意，
故选：D．
4 ．A
【分析】本题考查了旋转的性质， 平行线的性质，根据两直线平行同位角相等，求出旋转后
上2 的度数，然后用旋转前上2 的度数减去旋转后上2 的度数即可得到木条a 旋转的度数．根 据平行线的性质求出旋转后上2 的度数是解题的关键．
【详解】解：如图 2 所示， Qa Ⅱ b ，
:旋转后的上2 = 上1 = 80。，
:要使木条a 与b 平行，木条a 绕点A 顺时针旋转的度数可以是110。- 80。= 30。． 故选：A．
5 ．B
【分析】本题考查了根据方程根的情况求参，根的判别式，一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)
的根与 Δ = b2 - 4ac 有如下关系：当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ = 0 时，方 程有两个相等的实数根；当 Δ < 0 时，方程无实数根．根据方程有两个实数根得到 Δ ≥ 0 ，然 后解关于m 的不等式即可．
【详解】解：对于方程3x2 - 6x + m = 0 ，
其根的判别式为： Δ = (-6)2 - 4× 3 × m = 36 -12m ， ∵方程有两个实数根，
: Δ ≥ 0 ，
即36 -12m ≥ 0 ， 解得m ≤ 3 ，
故选：B．
6 ．A
【分析】本题考查了多边形内角和问题， 设原多边形的边数为n ，根据内角和可解得n ，按 图示的剪法剪去一个内角后，新多边形的边数比原多边形的边数多 1，即可解答，熟知多边 形内角和公式是解题的关键．
【详解】解：设原多边形的边数为 n ，
则可得180(n - 2) = 1620 ， 解得n = 11，
按图示的剪法剪去一个内角后，
新多边形的边数比原多边形的边数多 1，为12 ， 故选：A．
7 ．C
【分析】此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到
上ADC = 110。，根据 = 得到上ADB = 上BDC ，即可得到 上BDC 的度数．关键是根据圆内 接四边形的性质得到上ADC = 110。解答．
【详解】解：由圆内接四边形的性质可知：上ADC = 180。- 上ABC = 180。- 70。= 110。，
一 一
Q AB = BC ，
:上ADB = 上BDC ，
∵ 上ADC = 上BDC + 上ADB ，
故选：C．
8 ．C
【分析】本题考查条形统计图， 根据条形统计图逐项判断即可．从图形中读取有效信息是解 题关键．
【详解】解： 由统计图可知，2022 年人均纸质书籍阅读量为 5 本，故 A 正确，不符合题意；
2023 年人均电子书籍阅读量为 11 本，故 B 正确，不符合题意；
2024 年人均电子书籍阅读量为 12.3 本，人均纸质书籍阅读量为 5.3 本， Q 12.3 ÷ 5.3 ≈ 2.32 ，
:2024 年人均电子书籍阅读量不是人均纸质书籍阅读量的 3 倍，故 C 错误，符合题意； 2016 年至 2024 年人均电子书籍阅读量是逐年上升的，故 D 正确，不符合题意．
故选：C．
9 ．B
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大 值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等．
解 Q -1< 0 ，
: 当x =1 时，y 取最大值，最大值为 即 2.75 米， 故选：B．
10 ．A
【分析】本题考查了根据函数图象得到信息， 三角形中位线，等腰直角三角形，根据运动轨 迹可得△APD 的面积先增大，再减小，当点 P 运动到点C 时， △APD 的面积最大，此时
△APD 的面积为4 ，即可求得AC ，再利用三角形中位线定理即可解答，得到当点 P 运动到 点C 时， △APD 的面积最大是解题的关键．
【详解】解：根据题意动点 P 从点A 出发，沿边AC → CB 方向匀速运动过程中， △APD 的面积先增大，再减小，
当点 P 运动到点C 时， △APD 的面积最大， 根据函数图象可得此时△APD 的面积为4 ， 如图，
, Q 点 D 为边AB 的中点，等腰直角三角形ABC ,
可得AC = 4 ，
当点 P 运动到CB 的中点时，如图，
, Q 点 D 为边AB 的中点，
:DP = AC = 2 ， 故选：A．
11 ．(x - 3)2 ## (3 - x )2
【分析】本题考查因式分解， 直接利用完全平方公式进行因式分解即可．熟练掌握因式分解 的方法，是解题的关键．
【详解】解：x2 - 6x + 9 = (x - 3)2 ； 故答案为：(x - 3)2 ．
12 ．-1
【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解： ，
去分母，得：2x = x -1 ， 解得：x = -1 ；
经检验x = -1 是原方程的解， 故答案为：-1．
13 ．1（答案不唯一）
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据点 A(2,y1 ) ，B (6,y2 ) 在反比例函数
的图象上，且y1 > y2 ，得到在同一象限内y 随着x 的增大而减小，进而得到图 象过一，三象限，得到 k > 0 ，即可．
【详解】解：:点A(2,y1 ) ，B (6,y2 ) 在反比例函数 0) 的图象上， 又: 0 < 2 < 6 ，y1 > y2 ，
:在同一象限内y 随着x 的增大而减小， :双曲线过一，三象限，
: k > 0 ，
: k = 1（答案不唯一）；
故答案为：1（答案不唯一）．
14 ．12
【分析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的性质，含 30 度角的直角三角形的性质， 折叠得到 上BCA = 上ECA ，平行线的性质，得到 上EAC = 上BCA ，进而得到 上EAC = 上ECA ， 等边三角形的性质，结合三角形的外角推出上ACE = 上CAE = 30O ，进而得到 ACD=90O ， 再根据含 30 度角的直角三角形的性质，得到AD = 2CD 即可．
【详解】解：:折叠， : 上BCA = 上ECA ，
:平行四边形纸片ABCD ，
: ADⅡBC, CD = AB = 6cm ， : 上EAC = 上BCA ，
: 上EAC = 上ECA ，
: △CED 为等边三角形， : 上CED = 上ECD = 60O ，
: 上EAC = 上ECA ，上CED = 上EAC + 上ACE = 60O ， : 上ACE = 上CAE = 30O ，
: 上ACD = 上ACE + 上DCE = 90O ， : AD = 2CD = 12cm ；
故答案为：12
15 ．195
【分析】本题考查了相似多边形的应用， 证明大风筝和小风筝相似，相似比为3 :1 ，即可解 决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解： Q 小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比 为3 :1 ，
:大风筝和小风筝相似，相似比为3 :1 ，
:大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长= 3 : 1，
:大风筝两条对角线的长分别为30cm× 3 = 90cm 和35cm× 3 = 105cm ， :大风筝两条对角线长的和为195cm ，
故答案为：195．
16 ．31
【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第一个图形有 1 个正方形，第 2 个图形有 1 + 21 = 3 个正方形，第 3 个图形有1+ 21 + 22 = 7 个正方形，依次类推求出第 5 个图形中小正 方形的个数即可．
【详解】解：由图可知：第一个图形有 1 个正方形， 第 2 个图形有1 + 21 = 3 个正方形，
第 3 个图形有1+ 21 + 22 = 7 个正方形，
…
:第 5 个图形中共有1+ 21 + 22 + 23 + 24 = 31个正方形， 故答案为：31．
17 ．
【分析】本题考查二次根式的混合运算， 先化简二次根式，进行乘法运算，再合并同类二次 根式即可．
解：原式
18 ．-4 ≤ x < 5
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同 大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到， 确定出不等式组的解集．正确求出 每一个不等式解集是基础，熟知确定不等式组解集的原则是解答此题的关键．
解 解不等式①,得： x ≥ -4 ，
解不等式@，得 x < 5 ，
:不等式组的解集为-4 ≤ x < 5 ．
19 ．1
【分析】本题考查分式的混合运算， 除法变乘法，约分化简后，进行同分母的分式的加法运 算即可．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
解：原式
= 1．
20 ．图见解析
【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，熟练掌握尺规作线段，作垂线的方法是解题的关键， 根据题干给定的作图步骤，结合尺规作垂线和作线段的方法作图即可．
【详解】解：由题意，作图如下，A 即为所求；
21 ．
(2)
【分析】本题考查几何概率， 利用列表法求概率，正确的列出表格，熟练掌握概率公式，是 解题的关键：
（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：由图可知，任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为 ；
故答案为： ；
（2）列表：
Q共有 9 种等可能结果，颜色不同的结果有 6 种，
6 2
:P(颜色不同) = 9 = 3 ．
22 ．长城第一墩的高度AB 为8.3m
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．设
AG = xm ，分别解Rt△AEG, Rt△ACG ，求出CG, EG 的长，再根据线段的和差关系列出方程 求出x 的值，再利用AB = AG + BG ，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：BG = CD = EF = 1.7m ，上AGE = 上AGC = 90O ， 设AG = xm ，
在Rt△AEG 中 在Rt△ACG 中 ∵ CE = CG - EG = 5.5m ，
解得：x = 6.6 ，
第二次 第一次
红
白
蓝
红
（红，红）
（红，白）
（红，蓝）
白
（白，红）
（白，白）
（白，蓝）
蓝
（蓝，红）
（蓝，白）
（蓝，蓝）
: AG = 6.6m ，
: AB = AG + BG = 8.3m ；
答：长城第一墩的高度AB 为8.3m ．
23 ．(1)8.5,8 (2)乙
(3)不对，理由见解析（答案不唯一，合理即可）
【分析】本题考查求中位数， 众数，利用方差判断稳定形，利用方差作决策，熟练掌握相关 数据的计算方法和表示意义，是解题的关键：
（1）将乙中数据排序后，第 5 个和第 6 个数据的平均数即为中位数，甲中数据出现次数最 多的为众数，求出m, n 的值即可；
（2）根据方差判断稳定性即可；
（3）根据方差作决策即可．
【详解】（1）解：乙中数据排序后，第 5 个和第 6 个数据分别为：8 和9 ，
甲中数据出现次数最多的是8 ，故 n = 8 ； 故答案为：8.5,8 ；
（2）由表格可知：甲的方差大于乙的方差， :乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定；
故答案为：乙；
（3）小瑜说的不对，理由如下：
两人成绩的平均数相同，但是甲的方差大于乙的方差，故乙队员发挥更稳定，故应选乙队员 参赛．
24 ．
(2) m = 2
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及了求反比例函数解析式、一次 函数图象平移问题等知识点，熟记相关结论即可；
（1）由题意得：点B(-1, a )在一次函数y= x + 4 的图象上，可求出B(-1, 3) ，即可求解；
（2）对于一次函数y= x + 4 ，令 y = 0 求出A(-4, 0) ；一次函数y= x + 4 的图象向下平移
m(m > 0) 个单位长度后的解析式为：y = x + 4 - m ；求出C(m - 4,0)，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：点B(-1, a )在一次函数y= x + 4 的图象上，
: a = -1+ 4 = 3 ， : B (-1,3) ；
: B (-1,3) 在反比例函数y = (k ≠ 0, x < 0) 的图象上， : k = -1× 3 = -3 ，
:反比例函数的表达式为
（2）解：对于一次函数y = x + 4 ，令 y = 0 ，则 x = -4；
: A(-4,0)；
一次函数y= x + 4 的图象向下平移m(m > 0) 个单位长度后的解析式为：y = x + 4 - m ；
对于一次函数y = x + 4 - m ，令 y = 0 ，则 x = m - 4 ；
: C(m - 4,0)；
解得：m = 2
25 ．(1)见解析 (2) 2
【分析】本题考查切线的判定， 圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握切线的判定 方法，圆周角定理，是解题的关键．
（1）连接 AE ，根据圆周角定理得到 上上AOB ，推出 上BCD = 上E ，根据等边对等角， 推出上OAE = 上BCD ，根据直径得到 上BAE = 90O ，进而得到 上BAO + 上EAO = 90O ，继而得 到上BCO + 上BCD = 90O，即 OC 丄 DC ，即可得证；
（2）由平行四边形的性质得到 ，根据OF + OE = EF = 3, OB = OE ，得到
,求出OB 的长，证明 □ABCO 是菱形，得到 △BOC 为等边三角形，进而得到
上BOC = 60O ，解 Rt△ODC ，求出CD 的长即可． 【详解】（1）证明：如图 1，连接 AE ，
Q上BCD = 上AOB ，上E = 上AOB ，
:上BCD = 上E ．
QOA = OE,
:上OAE = 上E ，
:上OAE = 上BCD ．
Q BE 是eO 的直径，
:上BAE = 90O ，即 上BAO + 上OAE = 90O ． Q上BAO = 上BCO ，
:上BCO + 上BCD = 90O ，即 OC 丄 DC ． Q OC 为eO 的半径，
: CD 是eO 的切线．
（2）解：如图 2，
Q 四边形ABCO 是平行四边形，
: OF = OB ．
又QOF + OE = EF = 3, OB = OE ，
:OB + OB = 3 ， : OB = 2 ．
QOA = OC ，
:YABCO 是菱形，
:BC = OC = OB = 2 ．
:△BOC 为等边三角形， : 上BOC = 60O ．
:在Rt△ODC 中，DC = OC . tanDOC = 2 × tan60 = 2 ．
26 ．(1) BF = DG ，理由见解析
(2) AE = DG ，理由见解析
(3) BF = DG ，理由见解析
【分析】（1）根据正方形的性质，证明 △ADG≌ABF ，即可得出结论；
（2）根据正方形的性质，证明 △PAE≌△EDG ，即可得出结论；
（3）作 FH丄 AB ，得到 AE∥FH ，平行线分线段成比例得到 AP = AH ，进而得到 AE 为
△PHF 的中位线，得到FH = 2AE ，根据AP = DE ，得到AH = DE ，进而得到AE = BH ，勾 股定理得到BF = 5AE ，再根据 AE = DG ，即可得出结论．
【详解】（1）解：BF = DG ，理由如下：
∵正方形ABCD ，
: AB = AD, 上BAD = 90 ，
∵ △EFG 是直角三角形，EG = EF ， : 上FEG = 90 ，
当点 E 与点A 重合时，则：上FAG = 90 = 上BAD ， : 上DAG = 上BAF = 90 - 上DAF ，
又∵AB = AD, AG = AF ，
: △ADG≌ABF ， : BF = DG ；
（2）∵正方形ABCD ， : 上ADC = 上DAB = 90，
∵点 G 在CD 的延长线上，FE 的延长线与BA 的延长线交于点 P， : 上PAE = 上EDG = 90 ，
: 上P + 上AEP = 90 ，
∵ 上FEG = 上DEF + 上DEG = 90, 上AEP = 上DEF ， : 上P = 上DEG ，
∵ EG = EF ，EF = EP ， : EG = EP ，
在 △APE 和△DEG 中，
, : △PAE≌△EDG ，
: AE = DG ；
（3）BF = DG ，理由如下：
由（2）可知： △PAE≌△EDG ， : AE = DG ，AP = DE ，
作FH 丄 AB 于点H ，则：上FHB = 上FHA = 90 = 上PAE ，
: AE∥FH ，
: PA = AH ， : PE = EF ，
: AE 为 △PHF 的中位线， : HF = 2AE ，
: AP = DE ，PA = AH ， : DE = AH ，
又: AD = AB ， : AE = BH ，
在Rt△BHF 中，由勾股定理，得 : AE = DG ，
: BF = DG ．
【点睛】本题考查正方形的性质， 全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形 的中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，添加辅助线构 造特殊图形，是解题的关键．
(2)
(3)①F (-1, -3) ，在抛物线上②3 - 2
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出点 A 的坐标，进而得到点M 的坐标，求出直线AB 的解析式，进而求出点C 的坐 标，求出点D 的坐标，根据△BCD 的面积= CD . OM 进行求解即可；
（3）①根据要求作图即可，连接BF ，作FQ 丄 OB 于点Q，证明△AOE≌△BOF ，得到
上OBF = 上OAE = 45O ，BF = AE = 、2 ，进而得到△FQB 为等腰直角三角形，求出F 点坐标， 将F 点的横坐标代入抛物线的解析式，判断点F 是否在抛物线上即可；
②连接BF 并延长，交x 轴于点G ，连接PM , PF, MF ，作MH丄 BG 于点H ，斜边上的中线 得到 ，根据 PF ≥ MF - PM ，得到当M , P, F 三点共线时，PF 最小，同①可 知，上OBF = 上OAE = 45O ，得到点F 在射线BG 上运动，进而得到当MF 丄 BG 时，即F 与 点H 重合时，MF 最小，此时PF 最小为MH - PM ，易得△OBG 为等腰直角三角形，求出OG 的长，进而求出MG 的长，易得△MHG 为等腰直角三角形，求出MH 的长，根据PF 最小 为MH - PM ，计算即可．
解：把B(0, -4) ，代入 得：
-10a = -4 ，
解得： ，
当 时，则
: A (4, 0) ，
: M 是OA 的中点， : M (2, 0) ，
: OM = 2 ， : B (0, -4)，
:设直线AB 的解析式为：y = kx - 4 ，把 A(4, 0) ，代入，得：k = 1， : y = x - 4 ，
∵点 M 作OA 的垂线，交AB 于点 C，交抛物线于点 D，
:△BCD 的面积= 1 CD . OM = 1 × 2 × 8 = 8 ；
2 2 5 5
（3）①由题意，作图如下：
连接BF ，作FQ 丄 OB 于点Q ，
由（2）可知：OA = OB = 4 ， : 上OAB = 上OBA = 45O ，
∵旋转，
: OE = OF, 上EOF = 90O = 上BOA ， : 上AOE = 上BOF ，
又∵OA = OB, OE = OF ， :△AOE≌△BOF ，
: 上OBF = 上OAE = 45O ，BF = AE = 、 ， ∵FQ 丄 OB ，
:△FQB 为等腰直角三角形，
: OQ = OB - BQ = 3 ， : F (-1, -3)，
2 3 2 3
对于y = x2 - x - 4 ，当 x = -1 时，y = + - 4 = -3，
5 5 5 5
:点F 在抛物线上；
②连接BF 并延长，交x 轴于点G ，连接PM , MF ，作 MH丄 BG 于点H ，如图，
∵ 上OPA = 90O ，M 为OA 的中点，
∵ PF ≥ MF - PM ，
:当M , P, F 三点共线时，PF 最小， 同①可得，上OBF = 上OAE = 45O ， :点F 在射线BG 上运动，
:当MF 丄 BG 时，即F 与点H 重合时，MF 最小，此时PF 最小为MH - PM ， ∵ 上OBG = 45O ，
:△OBG 为等腰直角三角形， : OG = OB = 4 ，上BGO = 45O ，
: MG = OG + OM = 6 ， △MHG 为等腰直角三角形，
: PF 的最小值为
【点睛】本题考查二次函数的综合应用， 涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等 三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点， 利用数形结合的思想进行解题，确定动点的位置，是解题的关键．