2025届甘肃平凉中考真题试卷数学试题【含答案】

这是一份2025届甘肃平凉中考真题试卷数学试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
平凉市 2025 年初中学业水平考试
数学试卷
考生注意：本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟所有试题均在答题卡上 作答，否则无效．
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题只有一个正确 选项．
1 ．计算-2 + 5 = ( )
A ．-10 B ．-7 C ．-3 D ．3
2 ．根据国家统计局的数据，2024 年中国生产芯片约 451420000000 颗，彰显了中国芯片产 业的强大实力数据 451420000000 用科学记数法可以表示为( )
A ．4.5142 × 109 B ．4.5142 × 1010 C ．4.5142 × 1011 D ．4.5142 × 1012
3 ．下列计算正确的是( )
A ．2a2 + 3a2 = 6a2 B ．a6 ÷ a2 = a3 C ．(a2 )3 = a5 D ．(3a )2 = 9a2
4．如图 1，三根木条 a，b，c 相交成上1 = 80 ，上2 = 110 ，固定木条 b，c，将木条 a 绕点A 顺时针转动至如图 2 所示，使木条 a 与木条 b 平行，则可将木条 a 旋转( )
A ．30 B ．40 C ．60 D ．80
5 ．关于 x 的一元二次方程3x2 - 6x + m = 0有两个实数根，则 m 的取值范围是( )
A ．m < 3 B ．m ≤ 3 C ．m > 3 D ．m ≥ 3
6 ．如图，一个多边形纸片的内角和为1620 ，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边 形的边数为( )
A ．12 B ．11 C ．10 D ．9
7 ．如图，四边形 ABCD 内接于eO ，AB = BC ，连接 BD，若 上ABC = 70O ，则 0)，则水流喷出的最大高度 是( )
A ．3m B ．2.75m C ．2m D ．1.75m
10 ．如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，上ACB = 90O ，点 D 为边 AB 的中点动点 P 从点A 出发，沿边AC → CB 方向匀速运动，运动到点 B 时停止．设点 P 的运动路程为 x ， △APD 的面积为y，y 与 x 的函数图象如图 2 所示，当点 P 运动到 CB 的中点时，PD 的长为( )
A ．2 B ．2.5 C ． D ．4
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．
11 ．因式分解：x2 - 6x + 9 = ．
12 ．方程 的解是x = ．
13 ．已知点A(2,y1 ) ，B (6,y2 ) 在反比例函数y = k ≠ 0) 的图象上，如果y1 > y2 ，那么 k = （请写出一个符合条件的 k 值）．
14．如图，把平行四边形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，点 B 落在点B¢ 处，B¢C 与 AD 相交 于点 E，此时 △CDE 恰为等边三角形，若AB = 6cm ，则 AD = cm．
15．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技 艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥
制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线AC ^ BD ．已知 大、小风筝的对应边之比为 3∶ 1，如果小风筝两条对角线的长分别为 30cm 和35cm，那么大 风筝两条对角线长的和为 cm．
16．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自 然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第 1 个图形是正方形，第 2 个 图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两 条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第 3 个图形，…… , 则 第 5 个图形中共有 个正方形．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 46 分．解答时，应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤．
17 ．计算 ．
18 ．解不等式组
19 ．化简
20 ．如图 1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制 可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》 是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图 2 是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出 的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用 ACB 表示，点 O 是 ACB 所在圆的圆心，AB 是月 洞门的横跨，CD 是月洞门的拱高现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图如
图 3，已知月洞门的横跨为 AB，拱高的长度为 a ．作法如下：
①作线段 AB 的垂直平分线 MN，垂足为 D；
②在射线 DM 上截取DC = a ；
③连接 AC，作线段 AC 的垂直平分线交 CD 于点 O；
④以点 O 为圆心，OC 的长为半径作A ．
则A就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图 3 中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写 作法）
21 ．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成 3 个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种 颜色，转盘指针固定转动转盘，等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色若指针落在区 域分界线上，则重新转动转盘．
(1)任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为______；
(2)任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用画树 状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率．
22 ．如图 1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩 台，始建于明嘉靖十八年（1539 年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路 咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系随着岁月的变迁和自 然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低，为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开展 了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动如图 2 是他们测量长城第一墩高度 AB 的示意图，
点 A 为最高点，点 B ，F，D 是地面同一直线上的三个点（点 D ，F 都在保护栅栏外），在 D ，F 处分别用测角仪测得上ACC = 16.7 ，上AEC = 22 ，其中 CD = EF = 1.7m （测角仪的 高度）， DF = CE = 5.5m ，求长城第一墩的高度 AB（结果精确到 0.1m）（参考数据：
sin 22 ≈ 0.37 ，cs 22 ≈ 0.93 ，tan 22 ≈ 0.40 ，sin16.7 ≈ 0.29 ，cs16.7 ≈ 0.96 ，tan16.7 ≈ 0.30 ）
四、解答题：本大题共 5 小题，共 50 分．解答时，应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤．
23 ．某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近 10 次的选拔赛中，他们的 射击成绩（单位：环）信息如下：
信息一：甲、乙队员的射击成绩
甲：10 ，8 ，8 ，10 ，6 ，8 ，6 ，9 ，10 ，8
乙：8 ，9 ，10 ，9 ，6 ，7 ，7 ，9 ，10 ，8
信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中 m ，n 的值：m = ______ ，n = ______；
(2)______ 队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）；
(3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以，你认为他说的 对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）
24 ．如图，一次函数y= x + 4 的图象交 x 轴于点 A，交反比例函数的图象 于点B(-1, a ) ，将一次函数y= x + 4 的图象向下平移m (m > 0) 个单位长度，所得的图象交 x
队员
平均数
中位数
众数
方差
甲
8.3
8
n
2.01
乙
8.3
m
9
1.61
轴于点 C．
(1)求反比例函数 的表达式；
(2)当△ABC 的面积为 3 时，求 m 的值．
25 ．如图，四边形 ABCO 的顶点 A，B ，C 在ΘO 上，上BAO = 上BCO ，直径 BE 与弦 AC 相 交于点 F，点 D 是 EB 延长线上的一点，上上AOB ．
(1)求证：CD 是ΘO 的切线；
(2)若四边形 ABCO 是平行四边形，EF = 3 ，求 CD 的长．
26 ．四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 AD 上一动点（点 D 除外）， △EFG 是直角三角形， EG = EF ，点 G 在 CD 的延长线上．
(1)如图 1，当点 E 与点 A 重合，且点 F 在边 BC 上时，写出BF 和 DG 的数量关系，并说明 理由；
(2)如图 2，当点 E 与点A 不重合，且点 F 在正方形 ABCD 内部时，FE 的延长线与 B 的延长 线交于点 P，如果 EF = EP ，写出 AE 和 DG 的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 BF，写出 BF 和 DG 的数量关系，并说明理由．
27 ．如图 1 ，抛物线 分别与 x 轴，y 轴交于 A ，B (0, -4) 两点，M 为OA 的中点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接AB ，过点 M 作OA 的垂线，交AB 于点C，交抛物线于点 D，连接 BD ，求△BCD 的面积；
(3)点 E 为线段AB 上一动点（点A 除外），将线段OE 绕点 O 顺时针旋转90O 得到OF ．
①当时，请在图 2 中画出线段OF 后，求点 F 的坐标，并判断点 F 是否在抛物线 上，说明理由；
②如图3，点 P 是第四象限的一动点，上OPA = 90O ，连接PF ，当点 E 运动时，求PF 的最 小值．
1．
【解析】略 2．
【解析】略
3 ．D
【分析】本题考查同底数幂除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，利用同底数幂除法， 合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可．熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：A 、2a2 + 3a2 = 5a2 ，故此选项不符合题意，
B 、a6 ÷ a2 = a4 ，故此选项不符合题意， C 、(a2 )3 = a6 ，故此选项不符合题意， D 、(3a)2 = 9a2 ，故此选项符合题意，
故选：D．
4 ．A
【分析】本题考查了旋转的性质， 平行线的性质，根据两直线平行同位角相等，求出旋转后
上2 的度数，然后用旋转前上2 的度数减去旋转后上2 的度数即可得到木条a 旋转的度数．根 据平行线的性质求出旋转后上2 的度数是解题的关键．
【详解】解：如图 2 所示， Qa Ⅱ b ，
:旋转后的上2 = 上1 = 80 ，
:要使木条a 与b 平行，木条a 绕点A 顺时针旋转的度数可以是110 - 80 = 30 ． 故选：A．
5 ．B
【分析】本题考查了根据方程根的情况求参，根的判别式，一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)
的根与 Δ = b2 - 4ac 有如下关系：当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ = 0 时，方 程有两个相等的实数根；当 Δ < 0 时，方程无实数根．根据方程有两个实数根得到 Δ ≥ 0 ，然 后解关于m 的不等式即可．
【详解】解：对于方程3x2 - 6x + m = 0 ，
其根的判别式为： Δ = (-6)2 - 4× 3 × m = 36 -12m ， ∵方程有两个实数根，
∴ Δ ≥ 0 ，
即36 -12m ≥ 0 ， 解得m ≤ 3 ，
故选：B．
6 ．A
【分析】本题考查了多边形内角和问题， 设原多边形的边数为n ，根据内角和可解得n ，按 图示的剪法剪去一个内角后，新多边形的边数比原多边形的边数多 1，即可解答，熟知多边 形内角和公式是解题的关键．
【详解】解：设原多边形的边数为 n ，
则可得180(n - 2) = 1620 ， 解得n = 11，
按图示的剪法剪去一个内角后，
新多边形的边数比原多边形的边数多 1，为12 ， 故选：A．
7．
【解析】略
8 ．C
【分析】本题考查条形统计图， 根据条形统计图逐项判断即可．从图形中读取有效信息是解 题关键．
【详解】解： 由统计图可知，2022 年人均纸质书籍阅读量为 5 本，故 A 正确，不符合题意；
2023 年人均电子书籍阅读量为 11 本，故 B 正确，不符合题意；
2024 年人均电子书籍阅读量为 12.3 本，人均纸质书籍阅读量为 5.3 本， Q 12.3 ÷ 5.3 ≈ 2.32 ，
:2024 年人均电子书籍阅读量不是人均纸质书籍阅读量的 3 倍，故 C 错误，符合题意； 2016 年至 2024 年人均电子书籍阅读量是逐年上升的，故 D 正确，不符合题意．
故选：C．
9．
【解析】略
10．
【解析】略
11 ．(x - 3)2 ## (3 - x )2
【分析】本题考查因式分解， 直接利用完全平方公式进行因式分解即可．熟练掌握因式分解 的方法，是解题的关键．
【详解】解：x2 - 6x + 9 = (x - 3)2 ； 故答案为：(x - 3)2 ．
12．
【解析】略
13 ．1（答案不唯一）
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据点 A(2,y1 ) ，B (6,y2 ) 在反比例函数
的图象上，且y1 > y2 ，得到在同一象限内y 随着x 的增大而减小，进而得到图 象过一，三象限，得到 k > 0 ，即可．
【详解】解：:点A(2,y1 ) ，B (6,y2 ) 在反比例函数 的图象上， 又: 0 < 2 < 6 ，y1 > y2 ，
:在同一象限内y 随着x 的增大而减小， :双曲线过一，三象限，
: k > 0 ，
: k = 1（答案不唯一）；
故答案为：1（答案不唯一）．
14．
【解析】略
15．
【解析】略
16 ．31
【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第一个图形有 1 个正方形，第 2 个图形有 1 + 21 = 3 个正方形，第 3 个图形有1+ 21 + 22 = 7 个正方形，依次类推求出第 5 个图形中小正 方形的个数即可．
【详解】解：由图可知：第一个图形有 1 个正方形， 第 2 个图形有1 + 21 = 3 个正方形，
第 3 个图形有1+ 21 + 22 = 7 个正方形，
…
∴第 5 个图形中共有1+ 21 + 22 + 23 + 24 = 31个正方形， 故答案为：31．
17 ．
【分析】本题考查二次根式的混合运算， 先化简二次根式，进行乘法运算，再合并同类二次 根式即可．
【详解】解：原式 = 2 -
18．
【解析】略
19 ．1
【分析】本题考查分式的混合运算， 除法变乘法，约分化简后，进行同分母的分式的加法运 算即可．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
解：原式
= 1．
20．
【解析】略
21 ．(1)
(2)
【解析】略
22．
【解析】略
23 ．(1)
(2)
(3)
【解析】略
24 ．(1)
(2)
【解析】略
25 ．(1)
(2)
【解析】略
26 ．(1)
(2)
(3)
【解析】略
27 ．
(3)①F (-1, -3) ，在抛物线上@3 - 2
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出点 A 的坐标，进而得到点M 的坐标，求出直线AB 的解析式，进而求出点C 的坐 标，求出点D 的坐标，根据△BCD 的面积进行求解即可；
（3）①根据要求作图即可，连接BF ，作FQ 丄 OB 于点Q，证明△AOE≌△BOF ，得到
上OBF = 上 进而得到△FQB 为等腰直角三角形，求出F 点坐标， 将F 点的横坐标代入抛物线的解析式，判断点F 是否在抛物线上即可；
@连接BF 并延长，交x 轴于点G ，连接PM , PF, MF ，作MH丄 BG 于点H ，斜边上的中线 得到 ，根据 PF ≥ MF - PM ，得到当M , P, F 三点共线时，PF 最小，同①可 知，上OBF = 上OAE = 45O ，得到点F 在射线BG 上运动，进而得到当MF 丄 BG 时，即F 与 点H 重合时，MF 最小，此时PF 最小为MH - PM ，易得△OBG 为等腰直角三角形，求出OG 的长，进而求出MG 的长，易得△MHG 为等腰直角三角形，求出MH 的长，根据PF 最小
为MH - PM ，计算即可．
【详解】（1）解：把B(0, -4)，代入 y = a x - 4)(a ≠ 0)，得：
-10a = -4 ，
解得：a = ，
（2）当 y = x + ÷(x - 4) = 0 时，则：
: A (4, 0) ，
∵ M 是OA 的中点， : M (2, 0) ，
: OM = 2 ， ∵ B (0, -4)，
:设直线AB 的解析式为：y = kx - 4 ，把 A(4, 0) ，代入，得：k = 1， : y = x - 4 ，
∵点 M 作OA 的垂线，交AB 于点 C，交抛物线于点 D，
:△BCD 的面积= 1 CD . OM = 1 × 2 × 8 = 8 ；
2 2 5 5
（3）①由题意，作图如下：
连接BF ，作FQ 丄 OB 于点Q ，
由（2）可知：OA = OB = 4 ， : 上OAB = 上OBA = 45O ，
∵旋转，
: OE = OF, 上EOF = 90O = 上BOA ， : 上AOE = 上BOF ，
又∵OA = OB, OE = OF ， :△AOE≌△BOF ，
: 上OBF = 上OAE = 45O ，BF = AE = · , ∵FQ 丄 OB ，
:△FQB 为等腰直角三角形，
: OQ = OB - BQ = 3 ， : F (-1, -3)，
对于 当x = -1 时 :点F 在抛物线上；
@连接BF 并延长，交x 轴于点G ，连接PM , MF ，作 MH丄 BG 于点H ，如图，
∵ 上OPA = 90O ，M 为OA 的中点，
∵ PF ≥ MF - PM ，
:当M , P, F 三点共线时，PF 最小， 同①可得，上OBF = 上OAE = 45O ， :点F 在射线BG 上运动，
:当MF 丄 BG 时，即F 与点H 重合时，MF 最小，此时PF 最小为MH - PM ， ∵ 上OBG = 45O ，
:△OBG 为等腰直角三角形， : OG = OB = 4 ，上BGO = 45O ，
: MG = OG + OM = 6 ， △MHG 为等腰直角三角形，
: PF 的最小值为
【点睛】本题考查二次函数的综合应用， 涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等 三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点， 利用数形结合的思想进行解题，确定动点的位置，是解题的关键．