湘教版（2024）八年级数学上册 1.4 十字相乘法与分组分解法（课件）

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十字相乘法与分组分解法湘教版·八年级数学上册第1章 因式分解一个多项式 几个整式的积1.多项式的因式分解和乘法运算的关系是？2.我们已经学习了哪些因式分解的方法？互逆的变形过程①提公因式法：②公式法：pa + pb + pc = p(a + b + c) 1. a2 － b2 = (a + b)(a － b) 2. a2±2ab + b2 = (a ± b)2 复习导入1.计算：(1) (x+2)(x+3) = ___________； (2) (x+1)(x－4) =___________；(3) (x+4 )(x－2)=___________；2. 根据题 1 和等式的性质填空：(1) x2+5x+6= ______________ ；(2) x2－3x－4=______________； (3) x2+2x－8=_______________；x2+5x+6x2－3x－4x2+2x－8(x+2 )(x+3)(x+1)(x－4) (x+4)(x－2)新知探究x2 + (p + q)x + pq = 规律2×32+31×(－4)1+(－4)4×(－2)4+(－2)可以将某些二次项系数是 1 的二次三项式因式分解.多项式 x²+5x+6 分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：x²+5x+6 ③然后交叉相乘并求和，使其等于一次项系数.＝(x+2)(x+3)①先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；②再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；11231×3+1×2＝5适用于任意二次多项式上述步骤用于分解二次多项式ax²+bx+c的具体过程：这种把二次多项式因式分解的方法叫作十字相乘法.① 画一个十字交叉线，使得左边两个数 d，e 的乘积等于二次项系数 a，② 右边两个数 m，n 的乘积等于常数项 c，③ 交叉数的乘积之和 dn+em等于一次项系数b，demnde=aax²+bx+c =(dx+m)(ex+n)mn=cdn+em=b例1 把多项式x2－5x+6因式分解.解：如图，左边两个数为1，1，它们的乘积等于二次项系数1，右边两个数为－2，－3，它们的乘积等于常数项6，交叉数的乘积之和为1×(－3)+1×(－2)＝－5，它是一次项的系数，因此x²－5x+6＝(x－2)(x－3)典例精析例2 把多项式 10x²+23x+12 因式分解.解：如图，在十字交叉线的左上角和左下角分别写2，5，右上角和右下角分别写3，4，10x²+23x+12＝(2x+3)(5x+4)左边两个数的乘积等于二次项系数10，右边两个数的乘积等于常数项12，交叉数的乘积之和为2×4+5×3＝23，它是一次项的系数，1. 把下列多项式因式分解： (1) x2－4x－5； 解：如图，左边两个数为1，1，它们的乘积等于二次项系数1，右边两个数为1，－5，它们的乘积等于常数项－5，交叉数的乘积之和为1×1+1×(－5)＝－4，它是一次项的系数，因此x2－4x－5＝(x+1)(x－5)练习【选自教材P15 练习】 (2) 6x2+7x+2. 解：如图，在十字交叉线的左上角和左下角分别写2，3，右上角和右下角分别写1，2， 6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2).左边两个数的乘积等于二次项系数6，右边两个数的乘积等于常数项2，交叉数的乘积之和为2×2+3×1＝7，它是一次项的系数，例3 把多项式 x3－x²－x+1 因式分解.分析 x3－x²－x+1既不能直接使用提公因式法或公式法进行因式分解，也不能运用十字相乘法.但若将其恰当分组，如分为x3－x²与－x+1两组，则可继续进行因式分解.解：x3－x²－x+1=(x3－x²)－(x－1)=x²(x－1)－(x－1)=(x－1)(x²－1)=(x－1)(x+1)(x－1)=(x+1)(x－1)².利用分组来分解因式的方法叫作分组分解法.分组后再用公式法 把下列多项式因式分解：(1) x²－y²－3x－3y； 解：原式=(x²－y²)－(3x+3y) =(x－y)(x+y)－3(x+y) =(x+y)(x－y－3) (2) x²－10x+25－y².原式=(x²－10x+25)－y² =(x－5)²－y² =(x－5+y)(x－5－y).练习【选自教材P15 练习】1.下列因式分解正确的是( )A. x3－4x=x(x2－4) B. x2－x－2 = (x + 1)(x－2) C. x2+2x－1=(x－1)2 D. x2－2x+1=x(x－2)+1 2.把多项式 x2+mx－5 因式分解成 (x+5)(x－n)，则 m 的值为( ).A. m=4 B. m=3 C. m=6 D. m=5 BA随堂练习3.因式分解：(1) 2x2+6xy+4y2； (2) －3a2+18a－24； (3) 2x2－x－10.解：(1) 原式=2(x2+3xy+2y2)=2(x+y)(x+2y).(2) 原式=－3(a2－6a+8) =－3(a－2)(a－4).(3) 原式=(x+2)(2x－5) 4. 分解因式：3ax+4by+4ay+3bx.解：原式=(3ax+3bx)+(4by+4ay)=3x(a+b)+4y(a+b)=(a+b)(3x+4y)十字相乘法与分组分解法十字相乘法公式x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)ax²+bx+c＝(dx+m)(ex+n)一分：先分组；二提：公因式；三套：公式；四查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 分组分解法步骤课堂小结