广东省深圳市(龙岗区、宝安区)2024-2025学年高二下学期期末调研测试数学试卷及答案解析

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1．直线和圆的位置关系为( )
A．相交B．相离C．相切D．相交且过圆心
2．已知等差数列公差为 2 ，和等比数列,,,，则数列的前 4 项和为( )
A． 16B． 120C． 168D． 192
3．设曲线,在处的切线与垂直，则( )
A．B． 2C．D．
4．已知变量和的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，
则时的残差为( )
A．B．C．D．
5．的展开式中的系数为( )
A． B．C． D．
6．小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车．他记录了 100 次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量,,,来表示用这四种方式上班所用时间(分钟)．经数据分析，,，,，
如果某天有 70 分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大( )
,，
A．步行B．骑自行车C．乘坐公汽D．自己开车
7．某学校一名学生参加体育和 两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择兴趣小组，那么第二周去 兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去 兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去 兴趣小组，则第一周去兴趣小组的概率为( )
A．B．C．D．
8．已知函数，当时，则( )
A．有两个极值点B．有极大值
C．可以是负数D．一定是正数
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．则下列说法正确的是( )
A．用可组成没有重复数字的位偶数有个．
B．若二项展开式，则
C．样本相关系数为正数，越接近于，则成对样本数据正相关且线性相关程度越强
D．用残差来比较两个模型的拟合效果时，残差和越小，模型的拟合效果越好
10．设 ，已知随机变量 的分布列如下表，则下列结论正确的是( )
A．B．的值最大
C．随着的增大而增大D．当时，
11．已知直线分别与函数和的图象交于点,，
下列结论正确的是( )
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数在处有极大值，则的单增区间为_______．
13．将某体育场馆分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中 6 个区域，统计这些区域内的综合配套指数和使用人数分布的数量,,…,，得到样本，且其相关系数，记关于的经验回归方程为．经计算可知：,,，则_______．
参考公式：
,
14．一只蚂蚁从平面直角坐标系上的原点处出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一单位长度，移动 4 次，则蚂蚁移动到圆内部的概率为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本题 13 分)已知椭圆,,,为该椭圆的左、右两个焦点，为该椭圆上的动点，椭圆离心率,面积的最大值为．
(1)求椭圆的方程．
(2)已知,为该椭圆的上顶点和下顶点，，在直线上是否存在一点，使直线 和直线的交点在该椭圆上，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
16．(本题 15 分)为研究某市居民的身体素质与锻炼时间的关系，对该市某社区 100 名居民平均每天的锻炼时间进行了调查，统计数据如下表：
若将平均每天锻炼时间在分钟内的居民评价为＂锻炼不达标＂，在分钟内的居民评价为＂锻炼达标＂．
请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，
能否认为性别与锻炼是否达标有关联？
(2)从上述＂锻炼不达标＂的居民中，按性别用分层抽样的方法抽取 5 名居民，再从这 5 名居民中随机抽取 3 人了解他们锻炼时间偏少的原因，记所抽取的 3 人中男性居民的人数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(3)将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有居民中随机抽取 3 人，
求其中恰好有 2人＂锻炼达标＂的概率．
参考公式：，其中．
参考数据：(独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值)
17．(本题 15 分)已知等比数列的前项和为，且,4
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在 3 项,,(其中,,成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的 3 项；若不存在请说明理由．
18．(本题 17 分)已知函数
(1)令，若对恒成立，求的最大值．
(2)若有两个零点,，求的范围，并证明：
19．(本题 17 分)通过抛掷骰子产生随机数列，具体产生方式为：若第次抛掷得到的点数,,,,,，则．记数列的前项和为，记除以 4 的余数为
(1)若，求和
(2)甲乙丙丁四人玩游戏：在一局中，由第五个人(裁判)投一个䯘子 2 次，若为 0 则甲在本局胜出，若为 1 则乙在本局胜出，若为 2 则丙在本局胜出，若为 3 则丁在本局胜出，比赛开始前， 4 名选手自由两两组合，组成小队和小队，组队后进行比赛．比赛采用 5 局 3 胜制，每局比赛中只要小队内有成员胜出即该小队在此局中获胜，请问：甲和哪位选手组成小队，使小队在比赛中有最大概率获胜，并说明原因．
(3)若，设，
试确定该展开式中各项系数与事件的联系，并求的概率．