新疆阿克苏市实验中学2023~2024学年高一下册期末考试数学试题[附解析]

这是一份新疆阿克苏市实验中学2023~2024学年高一下册期末考试数学试题[附解析]，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若复数，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】由复数的概念判断即可.
【详解】由复数的概念可知，复数的虚部为．
故选：C．
2．如果点 在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点线、线面的位置关系，应用数学符号表示它们的关系即可，注意点属于或不属于线、面，线包含于或不包含于面.
【详解】由点在直线上，即；
由直线在平面内，即.
所以.
故选：D.
3．如图所示的几何体中棱柱的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】C
【分析】根据棱柱的三个特征：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③侧棱互相平行，判断即可．
【详解】解：棱柱有三个特征：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③侧棱互相平行，
本题所给几何体中②⑤不符合棱柱的三个特征，而①③④符合，所以几何体中棱柱的个数为3个．
故选：C．
4．某人打靶时连续射击两次，下列事件与事件“至多一次中靶”互为对立的是（ ）
A．至少一次中靶B．两次都中靶
C．只有一次中靶D．两次都没有中靶
【答案】B
【分析】直接利用对立事件的定义判断即可.
【详解】由已知条件得
∵事件“至多一次中靶”包含事件两次都未中靶和两次只有一次中靶，
∴事件“至多一次中靶”的对立事件为“两次都中靶”，
故选：.
5．已知点，，且，则点P的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的坐标运算法则，求解出点P的坐标
【详解】点，，且，设点P的坐标为，
则，
∴，，求得，，故点P的坐标为，
故选：A.
6．已知直线平面 ， 直线平面，有下面四个命题：① ；②；③； ④.其中正确的两个命题是（ ）
A．①与②B．①与③C．②与④D．③与④
【答案】B
【分析】由线面、面面垂直的判定与性质判断即可.
【详解】对于①，因为直线平面，平面平面，
所以直线平面，
因为直线平面，
所以直线直线，故①正确；
对于②，如图所示，正方体中，
平面平面，直线平面，
直线平面，但直线直线，故②错误；
对于③，因为，，
所以，
又因为，
所以，故③正确；
对于D，如图所示，正方体中，
平面，，平面，
但平面与平面相交，故④错误.
故选：B.
7．如图，在正方体中，M，N分别为棱BC和棱的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由平行关系找到为异面直线AC和MN所成的角，再利用正方体的性质求出角度即可.
【详解】 ，
因为M，N分别为棱BC和棱的中点，
所以，
又在正方体中，
，
所以或其补角为异面直线AC和MN所成的角，
又在正方体中，为正三角形，
所以，即异面直线AC和MN所成的角为，
故选：C.
8．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据图形结合向量的线性运算求解.
【详解】因为为的中点，为的中点，
所以.
故选：D.
二、多选题
9．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．圆柱、圆锥、球的体积之比为
【答案】CD
【分析】根据题意，结合圆柱、圆锥和球的表面积和体积公式，逐项判定，即可求解 .
【详解】对于A中，圆柱的侧面积为，所以A错误；
对于B中，圆锥的母线为，圆锥的侧面积为，所以B错误；
对于C中，球的表面积为，所以C正确；
对于D中，圆柱的体积，圆锥的体积，
球的体积，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确.
故选：CD.
10．已知某班10名男生引体向上的测试成绩统计如下表所示，
则下列说法正确的有（ ）
A．这10名男生引体向上测试成绩的平均数为7.4
B．这10名男生引体向上的测试成绩没有众数
C．这10名男生引体向上测试成绩的中位数8.5
D．这10名男生引体向上测试成绩的20百分位数为7.5
【答案】CD
【分析】对于A，利用平均数的公式直接求解即可；对于B，利用众数的定义求解；对于C，利用中位数的定义求解；对于D，利用百分位数的定义求解
【详解】解：对于A，10名男生引体向上测试成绩的平均数为，所以A错误，
对于B，这10名男生引体向上的测试成绩的众数为9，所以B错误，
对于C，这10名男生引体向上测试成绩的中位数为，所以C正确，
对于D，这10名男生引体向上测试成绩的20百分位数为，所以D正确，
故选：CD
11．已知事件A，B发生的概率分别为，则（ ）
A．若A，B互斥，则A，B至多有一个发生的概率为
B．若A，B互斥， 则A，B至少有一个发生的概率为
C．若A，B相互独立， 则A，B至多有一个发生的概率为
D．若A，B相互独立， 则A，B至少有一个发生的概率为
【答案】BD
【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式，结合事件的运算逐项分析计算作答.
【详解】依题意，，
对于A，，则A，B至多有一个发生的概率为，A错误；
对于B，，则A，B至少有一个发生的概率，B正确；
对于C，，A，B至多有一个发生的概率为，C错误；
对于D，，则A，B至少有一个发生的概率
，D正确.
故选：BD
12．已知三个内角的对边分别是，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为钝角三角形
C．若为锐角三角形，则
D．若，则为锐角三角形
【答案】ABC
【分析】对于A：结合大角对大边及正弦定理即可求解；对于B：由向量夹角公式即可判断；对于C：由锐角三角形内角的性质与诱导公式即可求解；对于D：由余弦定理变形式即可求解.
【详解】对于A：由大角对大边及正弦定理可知：
，故A正确；
对于B：因为，所以，
所以为钝角，所以为钝角三角形，故B正确；
对于C：因为为锐角三角形，所以,
所以，故C正确；
对于D：因为，由正弦定理得：
，设，
由余弦定理变形式得：，
所以为钝角，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．设是虚数单位， ，且，则＝ .
【答案】
【分析】由得，然后按复数模计算即可.
【详解】由题意，，
所以.
所以.
故答案为：.
14．在中，若，，，则角的大小为
【答案】/.
【分析】在中，利用正弦定理即可求解.
【详解】在中，，，，
由正弦定理可得即，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
故答案为：.
15．如图，矩形中，，E是的中点，则 ．
【答案】
【分析】把都用表示，再根据数量积的运算律即可得解.
【详解】，，
则.
故答案为：.
16．一个圆台的上､下底面面积分别是和，一个平行底面的截面面积为，这个截面与上､下底面的距离之比是 .
【答案】1：2
【分析】求得上下底面和截面的半径比，由此求得截面与上､下底面的距离的比值.
【详解】圆的面积公式为，
上下底面、截面都为圆形，
设上底面半径为，下底面半径为，截面半径为.
则，
设截面与上底面的距离为，与下底面的距离为，
将圆台的轴截面补形为三角形，
则，
所以，
所以.
故答案为：
四、解答题
17．已知平面向量，满足，，其中.
（1）若∥，求；
（2）若，求与夹角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先求出，，再根据向量平行的坐标运算解出m，进而根据平面向量模的运算求出答案；
（2）先求出，，进而根据平面向量夹角公式即可解得.
【详解】（1）由，，解得，.
因为∥，所以，解得.
所以，.
（2）当时，，，则，
，.
设与的夹角为，则.
所以与夹角的余弦值为.
18．在中，.
(1)求角 ；
(2)若，的面积为 ，求.
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）由正弦定理化简，得到，即可求得的大小；
（2）根据得，由得，然后由余弦定理即可求解.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
则，
因为，则，
所以，
故.
（2）由（1）得，
因为，
所以，
又因为，所以，
由余弦定理得，
所以.
19．一个盒子中装有 6 支圆珠笔，其中 3 支一等品，2 支二等品和 1 支三等品.若从中任取 2 支，那么下列事件 的概率各是多少?
(1)“恰有 1 支一等品 ” ；
(2)“没有三等品 ”.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）列举出6支圆珠笔任取2支试验包含的所有样本点，得，然后写出事件包含的样本点，得，最后利用古典概型的概率公式即可求解；
（2）写出事件包含的样本点，得，然后利用古典概型的概率公式即可求解；
【详解】（1）用表示3支一等品，用表示2支二等品，用表示三等品，
所以从6支圆珠笔中任取2支的样本空间为：
，共15个样本点，
即，
事件，
共9个样本点，即，
所以.
（2）事件，
共10个样本点，即，
所以.
20．已知是非零向量，且，.
(1)证明：；
(2)若，求实数 .
【答案】(1)证明见解析.
(2)
【分析】（1）由平方并结合即可证明；
（2）由得，根据数量积的运算律计算即可.
【详解】（1）由题意，.
（2）因为，
所以，
即，
则，
解得.
21．如图，直三棱柱 中，，为的中点.
(1)求证：平面 ；
(2)求 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析.
(2).
【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线定理证明，由线面平行的判定定理证明即可；
（2）设点到平面的距离为，利用等体积法，结合锥体的体积公式求解即可.
【详解】（1）连接交于点，连接，
在直三棱柱中，四边形为平行四边形，
则点为的中点，
又因为为的中点，
所以，
又平面，平面，
故平面.
（2）设点到平面的距离为，
在直三棱柱中，平面，
则为三棱锥的高，
所以,
又因为，
所以,
,
所以，即.
所以，
即，
由解得.
所以点到平面的距离为.
22．2023 年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.下图是该地 120 家中小 微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图 ：

(1)确定 的值，并估计这 120 家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数） ；
(2)按专项贷款金额进行分层抽样，从这 120 家中小微企业中随机抽取 20 家，记专项贷款金额在 内应抽取的中小微企业数为.
①求的值 ；
②从这家中小微企业中随机抽取 3 家，求这 3 家中小微企业的专项贷款金额都在内的概率.
【答案】(1)，中位数.
(2)①，②.
【分析】（1）根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为即可计算，设中位数为，则在内，由即可计算；
（2）①计算120家专项贷款金额在内的中小微企业的企业数，根据抽样比计算；②根据频率比，计算专项贷款金额在内和在内的企业数，然后根据古典概型计算概率即可.
【详解】（1）根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为得
，
解得.
设中位数为，则专项贷款金额在内的评率为，
在内的评率为，
所以在内，
则，解得，
所以估计120家中小微企业的专项贷款金额的中位数为万元.
（2）①由题意，抽样比为，
专项贷款金额在内的中小微企业共有家，
所以应该抽取家，即.
②专项贷款金额在内和在内的频率之比为，
故在抽取的5家中小微企业中，
专项贷款金额在内的有家，分别记为,
专项贷款金额在内的有家，记为,
从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为
共10种，
其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在内的情况有
共4种，
所以所求概率为.
成绩
10
9
8
7
人数
1
4
3
2