新疆乌鲁木齐市第一中学2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份新疆乌鲁木齐市第一中学2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中，发挥更稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．甲、乙相同D．不能确定
2．设为两条直线，为两个平面，若，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．对空中移动的目标连续射击两次，设A＝{两次都击中目标}，B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一次击中目标}，D＝{至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）

A．16B．C．D．21
5．某工厂生产三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中种型号的产品有16件，则样本容量（ ）
A．40B．60C．80D．100
6．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随即地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大？（ ）
A．B．C．D．
7．如图，点N为正方形ABCD的中心，为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段EB的中点，则（ ）
A．，且直线DM，EN是异面直线
B．，且直线DM，EN是异面直线
C．，且直线DM，EN是相交直线
D．，且直线DM，EN是相交直线
8．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．（多选）一组数据，，，，的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记，，，， 的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（ ）
A．B．C．D．
10．某中学为研究本校高二学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了位同学的语文成绩作为样本，得到以，，，，，，分组的样本频率分布直方图如图.则下列说法正确的是（ ）

A．
B．样本内语文分数在有位同学
C．用该图表估计本次联考该校语文成绩的中位数为
D．从全校高二学生中随机选出人，则该学生成绩在中的概率为
11．棱长为1的正方体中，点为线段上一点（不包括端点），点为上的动点，下列结论成立的有（ ）
A．过的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形
B．的最小值为
C．当点为线段中点时，三棱锥的外接球的半径为
D．两点间的最短距离为
三、填空题（本大题共3小题）
12．某新能源汽车店五月份的前8天汽车销量（单位：辆）分别为：，则这组数据的分位数为 ．
13．已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是 .
14．已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，为圆锥底面圆的直径，是的中点，是母线的中点，则圆锥的表面积为 ．异面直线与所成角的余弦值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．某校高二年级共有800名学生参加2021年全国高中数学联赛初赛，为了解学生成绩，现随机抽取40名学生的成绩(单位:分)，并列出频数分布表如下:
(1)试估计该年级成绩不低于90分的学生人数；
(2)成绩在区间上的5名学生中有3名男生，2名女生，现从中随机选出2名学生参加访谈，求恰好选中一名男生和一名女生的概率.
16．如图，四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，，平面平面且分别为和的中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面.
17．某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.
小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.
(1)求小明在第一轮得40分的概率；
(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？
18．如图，直四棱柱中，底面为矩形，且.
(1)求直线与平面所成的角的大小；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求直线到平面的距离.
19．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，本届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？

这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A，B，C，D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组．
(1)若，在淘汰赛赛制下，A，C获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据给定条件，利用平均数、标准差的意义即可判断作答.
【详解】因甲、乙平均每场得分相同，都是16分，而甲的标准差3.5小于乙的标准差4.62，
即甲每场比赛的得分波动较乙的小，甲发挥更稳定.
故选A.
2．【答案】C
【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若且，则与平行、相交或异面，所以A错误；
对于B中，若且，则与平行、相交或异面，所以B错误；
对于C中，若且，
如图所示，取点，过点，作，则，
设，可得，因为，且平面，
所以平面，又因为平面，所以，
所以为与所成角的平面角，由，可得，即，
所以四边形为矩形，所以，所以，所以C正确；
对于D中，若且，则与平行、相交或异面，所以D错误.
故选C.
3．【答案】D
【分析】根据事件之间的关系与运算对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于选项A，事件A包含于事件D，故A正确；
对于选项B，由于事件B，D不能同时发生，故，故B正确；
对于选项C，由题意知C正确；
对于选项D，由于＝D＝{至少有一次击中目标}，不是必然事件；
而为必然事件，所以，故D错误．
故选D.
4．【答案】D
【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解.
【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，
故.
故选D.
5．【答案】C
【分析】设种型号的产品有件，利用分层抽样性质列方程可求.
【详解】设种型号的产品有件，
因为三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5，
所以种型号的产品有件，种型号的产品有件，
由已知可得，
所以，
故选C.
6．【答案】B
【分析】由古典概型概率计算公式结合乘法公式即可求解.
【详解】根据题意，第二次才能打开门，说明第一次没有打开门，故第一次没有打开门的概率为，
把没有打开门的钥匙扔掉，故剩下3把钥匙，所以此时能打开门的概率是，
故第二次才能打开门的概率是．
故选B．
7．【答案】D
【分析】连接，可得是的中点，可得与相交，进而可证，从而可得，从而可得.
【详解】连接，
因为点N为正方形ABCD的中心，所以是的中点，
所以平面，所以与相交，
因为四边形ABCD是正方形，所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为是等边三角形，所以，
所以，所以，又因为是的中点，
所以.
故选D.
8．【答案】B
【分析】计算求半径为，再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案.
【详解】如图所示：设球半径为，则，解得.
故求体积为：，圆锥的体积：，故.
故选.

9．【答案】ACD
【分析】根据平均数、方差、极差、中位数定义及性质求解即可．
【详解】由题意可得，，，.
故选ACD．
10．【答案】ABC
【分析】根据频率和为可构造方程求得的值，知A正确；由频率和频数的关系可求得B正确；根据频率分布直方图估计中位数的方法可求得C正确；用频率估计概率可知D错误.
【详解】对于A，，，A正确；
对于B，样本内语文分数在的频率为，
样本内语文分数在的有人，B正确；
对于C，，，
中位数位于之间，设中位数为，
则，解得：，即中位数为，C正确；
对于D，由频率分布直方图知：样本中学生成绩在中的频率为，
用频率估计概率，则全校高二学生中随机选出人，该学生成绩在中的概率为，D错误.
故选ABC.
11．【答案】ABD
【分析】根据面面平行的性质可判断A；将两半平面折成一个平面，从而求得线段和的最小值，判断B；确定三棱锥的外接球的球心位置，列式求解，可判断C；求解异面直线的公垂线段的长可判断D.
【详解】在正方体中，平面平面，

设过的截面截正方体所得的截面为，M为截面与的交点，
因为平面平面，平面平面，
所以，又，故，
即，而，所以，所以，
则，
又点为线段上一点（不包括端点），，，所以
即过的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形，A正确；
根据正方体性质可知，

故可将沿转到和重合位置，则的最小值为的长，
而正方体棱长为1，故，即的最小值为，B正确；
当点为线段中点时，设的中点为N，连接，

由于，故，
连接交于G，连接，则四边形为矩形，
故，平面，
故平面，又，则N为的外心，
故三棱锥的外接球的球心在上，设为H，而,
，则，
设三棱锥的外接球半径为r，则，
解得，C错误；
当分别为的中点时，由C的分析可知Q位于N点位置，
此时，即此时间距离最短，最短距离为，D正确，
故选ABD.
12．【答案】13
【分析】将数据从小到大排列，然后算出分位数的位置，由百分位数的定义，即可得到答案.
【详解】将这8个数据从小到大排列得，
因为，所以这组数据的分位数为．
故答案为：13.
13．【答案】0.79
【解析】由甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，利用对立事件概率计算公式列出方程，由此能求出a的最大值.
【详解】甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，
∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，
∴，解得，
∴a的最大值是0.79.
故答案为：0.79.
14．【答案】
【分析】(1)直接求出底面积和侧面积，即可求出表面积；
(2)延长至点，使，连接，，，可以证明为异面直线与所成的角（或补角），在中，利用余弦定理求出异面直线与所成角的余弦值.
【详解】
由圆锥的底面半径为2，母线长为4，
则圆锥的表面积为.
延长至点，使，连接，，．
因为是母线的中点，所以，
所以为异面直线与所成的角（或补角）．
由题意知，，又是的中点，所以，
所以在中，．因为，
所以，所以．在中，，
则由余弦定理得：，
即异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：，.
15．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根据条件，计算出样本中成绩不低于90分的频率，即可求出结果；
(2)根据条件，列出样本空间中的样本点及事件包含的样本点，再利用古典概型概率公式，即可求出结果.
【详解】(1)估计该年级成绩不低于90分的学生人数为.
(2)分别记男生为1，2，3号，女生为4，5号，从中随机选出2名学生，对应的样本空间，
共有10个样本点，每个样本点发生的可能性相等.
设事件 “恰好选中一名男生和一名女生”，则事件包含的样本点有：，共6个，
所以.
16．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】(1)利用三角形的中位线有；利用线面平行的判定定理证明．(2)利用线面垂直的性质和面面垂直的判定定理证明即可证得结论．
【详解】(1)证明：四边形为矩形，，分别为，的中点
连接，
与相交且互相平分，交点为中点；
过点，且为中点；
，分别为，的中点，
在中，为三角形的中位线，
；
面，面
面；
(2)证明：四边形为矩形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，
，
又，
，（已证）
平面；
平面；
平面平面；
即：平面平面；
17．【答案】(1)；
(2)小明更容易晋级复赛.
【分析】(1)对A类的5个问题进行编号：，设小明只能答对4个问题的编号为：，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率；
(2)依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答对一题得分，第二轮答对两题得分；分别求出小芳和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论.
【详解】(1)对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，
则有共种，
设小明只能答对4个问题的编号为：，
则小明在第一轮得40分，有共种，
则小明在第一轮得40分的概率为：；
(2)由(1)知，小明在第一轮得40分的概率为，
则小明在第一轮得0分的概率为：，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分
所以当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
；
；
当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，
小芳晋级复赛的概率分别为：
；
所以小芳晋级复赛的概率为：；
小明晋级复赛的概率为：；
因为，
所以小明更容易晋级复赛.
18．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】(1)由题意可得直四棱柱是长方体，则 平面，所以 即为直线与平面所成的角，然后在中求解即可；
(2)由长方体的性质可得，，所以得为二面角的平面角，然后在中求解即可；
(3)由长方体的性质可得，则平面，所以点B到平面的距离即为直线到平面的距离，然后利用等体积法可求得结果.
【详解】(1)因为在直四棱柱中，底面为矩形，
所以直四棱柱是长方体，
即在长方体中， 平面,
即 平面，则 即为直线与平面所成的角，
因为，
所以在中，，，故
即直线与平面所成的角为.
(2)由(1)知直四棱柱是长方体，则在长方体中， 平面，
因为，平面，所以，，
又平面，平面，
由二面角的平面角的定义知为二面角的平面角，
因为，所以在中，
，，
故，则 ，
即二面角的余弦值为；
(3)由(1)知直四棱柱是长方体，则在长方体中，
由于 ，故四边形是平行四边形，
故，
而平面，平面，
故平面，
则点B到平面的距离即为直线到平面的距离，
而 ，
故 ,
设点B到平面的距离为h，则，即 ,
则 ，即直线到平面的距离为.
19．【答案】(1)获得冠军的概率分别为，；
(2)淘汰赛赛制下获得冠军的概率为，“双败赛制”赛制下获得冠军的概率为，双败赛制下对强者更有利.
【分析】(1)利用独立事件乘法、互斥事件加法公式求获得冠军的概率；
(2)分别求出不同赛制下获得冠军的概率，研究哪种赛制下获得冠军的概率更大，即可得结论.
【详解】(1) 获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，
获得冠军的概率为，
获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，
获得冠军的概率为.
(2)淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为，
“双败赛制”赛制下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况，
当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军；
若在胜者组A胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军；
当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军；
综上，获得冠军的概率.
令，
若为强队，则，故，
所以，双败赛制下对强者更有利.分组
频数
5
7
13
10
5