新疆维吾尔自治区阿克苏地区第一中学2023−2024学年高二下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份新疆维吾尔自治区阿克苏地区第一中学2023−2024学年高二下学期期末考试 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ）
A．14B．64C．72D．80
2．已知是等差数列的前项和，且，则（ ）
A．30B．60C．90D．180
3．下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数；
②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置；
③某派出所一天内接到的报警电话次数；
④某同学上学路上离开家的距离．
其中是离散型随机变量的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（ ）
A．23.4B．23.6C．23.8D．24.0
5．已知函数，则的极小值点为（ ）
A．B．C．D．
6．设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3、0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6、0.8，则甲正点到达目的地的概率为（ ）
A．0.62B．0.64C．0.58D．0.68
7．在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为（ ）
A．1600B．1800C．2100D．2400
8．通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有的男大学生“不看”，有的女大学生“不看”，若有99.9%的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，则调查的总人数至少为（ ）
附：，其中.
A．225人B．227人C．228人D．230人
二、多选题（本大题共3小题）
9．关于递减等比数列，下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．
10．若袋子中有3个白球，2个黑球，现从袋子中有放回地随机取球5次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记5次取球的总分数为X，则（ ）
A．B．
C．X的数学期望D．X的方差
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极值点为
B．的最小值为
C．有两个零点
D．直线是曲线的一条切线
三、填空题（本大题共3小题）
12．曲线在点处的切线方程为 ．
13．由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有 个．
14．在数列中，，且，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知二项式的展开式中共有10项．
(1)求展开式的第5项的二项式系数；
(2)求展开式中含的项．
16．甲､乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲､乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为.
(1)求的分布列；
(2)请根据射击环数的期望及方差来分析甲､乙的射击技术.
17．已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和.
18．某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，这6组，得到如下的频数分布表：
以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率．
(1)若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在中的个数，求X的分布列和数学期望；
(2)若变量S满足，且，则称变量S满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？
19．已知函数．
(1)若，证明：：
(2)若，都有，求实数的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【分析】按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法，
所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出不同的套餐有种.
故选B．
2．【答案】C
【分析】根据等差数列的性质结合已知条件可求得，再利用等差数列的求和公式可求得结果.
【详解】由，解得，
所以，
故选C.
3．【答案】B
【分析】根据离散型随机变量的定义判断即可.
【详解】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；
对于②，沿轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；
对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；
对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，
所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③．
故选B．
4．【答案】A
【分析】先由x、y的平均值和代入方程，求得，从而得到，再将代入并加上残差0.6即可得出答案.
【详解】由题意可知，，，
将代入，即，解得，
所以，
当时，，
则.
故选A.
5．【答案】B
【分析】的定义域为R，求导得，分析的符号，的单调性，极值点，即可得出答案．
【详解】的定义域为R，
，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以是的极小值点，
故选B．
6．【答案】C
【分析】利用全概率公式求解即可.
【详解】设事件表示甲正点到达目的地，事件表示甲乘动车到达目的地，事件表示甲乘汽车到达目的地，
由题意知，，，．
由全概率公式得．
故选C．
7．【答案】D
【分析】根据给定条件，结合正态分布的对称性求出成绩在80分到100分的概率，即可求解作答.
【详解】依题意，随机变量，有，即正态曲线的对称轴为，
由，得，
80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，
所以设参加本次联考的总人数约为，
则，解得：.
故选D.
8．【答案】C
【分析】由题意可进行独立性检验，对卡方的计算化简可得，再由题目已知有99.9%的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，可得，从而得出结论.
【详解】设男女大学生各有m人，根据题意画出列联表，如下图：
所以，因为有99.9%的把握认为性别与对产品是否满意有关，所以，解得，所以总人数至少为228.
故选C.
9．【答案】AC
【分析】根据等比数列的通项公式判断即可
【详解】A．当，时，从第二项起，数列的每一项都小于前一项，所以数列递减，A正确；
B．当，时，为摆动数列，故B错误；
C．当，时，数列为递减数列，故C正确；
D．，当时，，此时，当时，，，故D错误．
故选AC．
10．【答案】ACD
【分析】由题意可知5次取球的总分数为X，即为5次取球取到白球的个数，故可确定，即可判断A；由此可计算，即可判断B；利用二项分布的期望和方差公式计算期望和方差，即可判断C，D.
【详解】由题意知从袋子中有放回地随机取球5次，每次取到白球的概率为，
取到白球记1分，取到黑球的概率为，取到黑球记0分，
则记5次取球的总分数为X，即为5次取球取到白球的个数，
知，故A正确；
，故B错误；
X的数学期望，故C正确﹔
X的方差，故D正确.
故选ACD．
11．【答案】BD
【分析】利用导数与函数的极值（最值）的关系可判断AB；结合函数的单调性与函数零点的知识可判断C；利用导数的几何意义求得在处的切线方程，从而得以判断.
【详解】因为，所以，
令，得；令，得；
所以在上单调递减；在上单调递增；
所以在处取得唯一极小值，也是的最小值，
所以的极值点为，，故A错误，B正确；
因为，结合在上的单调性，可知是在上的唯一零点；
当时，恒成立，故恒成立，所以在上没有零点；
综上：只有一个零点，故C错误；
因为，，
所以在处的切线方程为，即，故D正确.
故选BD.
12．【答案】
【分析】利用导数的几何意义求解.
【详解】因为，所，
所以曲线在处切线方程为
，即．
故答案为：.
13．【答案】90
【分析】由题可知，偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，据此可得答案.
【详解】因偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，则
当0排在第6位时，共有（个）数；
当0排在第5位时，共有（个）数；
当0排在第4位时，共有（个）数，
故这样的七位数共有（个）．
故答案为：.
14．【答案】
【分析】分析可知是以首项为，公差为1的等差数列，结合等差数列通项公式运算求解.
【详解】因为，则，
可知是以首项为，公差为1的等差数列，
可得，所以.
故答案为：.
15．【答案】(1)126
(2)
【分析】（1）根据项数可求得，根据二项式系数与项数之间关系列出等式，解出即可；
（2）由（1）中的，求出通项，使的幂次为4，求出含的项即可.
【详解】（1）因为二项式的展开式中共有10项，所以，
所以第5项的二项式系数为；
（2）由（1）知，记含的项为第项，
所以，
取，解得，所以，
故展开式中含的项为.
16．【答案】(1)，的分布列见解析
(2)甲射击的环数的期望比乙高，但成绩没有乙稳定
【分析】（1）根据概率和为1求，进而可得分布列；
（2）根据分布列分别为期望和方差，对比分析即可.
【详解】（1）由题意可得，解得；
，解得；
所以的分布列为
的分布列为
（2）由（1）得，
；
，
.
由于，说明甲射击的环数的期望比乙高，但成绩没有乙稳定.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出，根据条件可得，与原式相减得出递推关系，得出答案.
（2）由（1）知，,利用分组求和可得答案.
【详解】（1）当时，，又，
所以，即.
又数列是等比数列，所以，
当时，，解得，
所以；
（2）由（1）知，，
所以
.
18．【答案】(1)分布列见解析，
(2)能
【分析】（1）写出随机变量的可能取值，并求解每个值的概率，即可求解；
（2）求出与的概率，即可求解.
【详解】（1）从这批零件中随机选取1件，长度在的概率’
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以随机变量X的分布列为
所以；
（2）由题意知，，
，
，
因为，，
所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布，
所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收．
19．【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）由导数判断单调性后求最小值证明，
（2）转化为在上单调递增，分类讨论单调性后求解．
【详解】（1）证明：若，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故；
（2）不妨设，所以，即，
所以函数在上单调递增，
令在上恒成立，
令．
当时，在上恒成立，又，不符合题意；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，此种情况无解，
当时，因为在上单调递增，，
所以在上恒成立，
综上所述，的取值范围为．色差x
21
23
25
27
色度y
15
18
19
20
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
分组
频数
5
15
40
40
15
5
看
不看
合计
男
m
女
m
合计
2m
10
9
8
7
0.4
0.2
0.2
0.2
10
9
8
7
0.3
0.3
0.2
0.2
X
0
1
2
3
P