海南省海口市海南中学2025届高三高考模拟信息卷（三）数学试题[附解析]

这是一份海南省海口市海南中学2025届高三高考模拟信息卷（三）数学试题[附解析]，共13页。试卷主要包含了若，，则，下列命题中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．
2．作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A．25B．26C．27D．28
4．若，，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则（ ）
A．B．3C．D．4
6．已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
7．小明、小刚两位同学进行射击比赛，小明击中靶心的概率为，小刚击中靶心的概率为，比赛规则如下：每次由一人进行射击，若击中靶心，下一轮由另一人射击，若没有击中靶心，则继续进行射击，问4轮射击中，小明在恰好射击3次的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的定义域为R，其导数，且和都为奇函数．若，则（ ）
A．1B．0C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．若随机变量服从二项分布：，则
B．设随机变量，若恒成立，则n的最大值为12
C．已知随机变量X服从正态分布，若，则
D．一组数据88，90，90，91，92，93，95，96，98，99的第50百分位数为92
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AC的中点为D，，若，则（ ）
A．`B．b取值范围为
C．面积的最大值为D．周长的最大值为6
11．已知函数．则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，在上单调递增
B．当时，
C．当时，有一个零点
D．最多有两个不同的零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，的模长相等，与的夹角为，若，则与的夹角为________．
13．若，且能被19整除，则a的最小值为________．
14．已知数列的首项为1，是的前n项和，且，若存在，使得成立，则实数m的取值范围为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，，D为BC边上的中点，求AD的长．
16．（15分）
如图，已知四棱锥，底面ABCD为梯形，，，，且平面平面ABCD，已知，．
（1）证明：平面PBC；
（2）若，，求直线AM与平面PAB所成角的正弦值．
17．（15分）
设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3．
（1）求点M的轨迹方程C；
（2）若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围．
18．（17分）
已知函数，当时，的切线斜率．
（1）求的单调区间；
（2）已知，若，求证：若，则．
19．（17分）
在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中（，）．而在n维空间中（，），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中（，）．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题：
（1）求出n维“立方体”的顶点数；
（2）在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离．
①求出X的分布列与期望；
②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于．
海南中学2025届模拟信息卷（三） 参考答案
1．C 解析：由，即，解得，
所以，
又，所以．故选C．
2．B 解析：由题得，
复数在复平面内所对应的点在第四象限，
所以，解得，所以a的取值范围是．故选B．
3．A 解析：由题结合等差数列性质有，
，i等差数列的公差为d，
则，，故．故选A．
4．D 解析：由．
由，，
，，故选D．
5．A 解析：设，，由，，
根据抛物线定义可得，，故，，
过A，B分别作y轴的垂线，过B作x轴的垂线，垂足为E，
明显，所以，故选A．
6．B 解析：略
7．D 解析：小明、小刚两人每次击中靶心的概率分别为，，
则小明、小刚两人每次未击中靶心的概率分别为，，
根据题意，前4次中小明恰好射击3次的情况为第一次小刚击中第二、三次小明均未击中第四次小明射击，其概率为，第一次小明击中第二次小刚击中第三次小明未击中第四次甲射击，
其概率为，第一次小明未击中第二次小明击中第三次小刚击中第四次小明射击，
其概率为第一、二次小明未击中第三次小明击中第四次小刚射击，其概率为．则前4次中小明恰好射击3次的概率为．故选D．
8．C． 解析：因为为奇函数、则，则，
可知的图象关于点对称、可得，即，
可知的图缘关于对称，则，
又因为为奇函数且定义域为R，则，可得，
可知的周期为4，所以，．
所以．故选C．
9．ABC 解析：略
10．BC 解析：略
11．ACD 解析：略
12． 解析：略
13．1 解析：略
14． 解析：略
15．解析：（1）因为，即，
且，
即，
得，且，则，
可得，且，所以．
（2）因为，，
由，所以，解得，
在中，由余弦定理得，则，
又D为BC边上的中点，所以，
在中，由余弦定理得，则，
在中，由余弦定理得，
所以．
16．解析：（1）取PC上的点N，使，
则，
所以四边形ABNM为平行四边形，所以，
又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．
（2）取CD中点O，连AO，PO，因为，所以，
由题意得为正三角形，所以，，
又平面平面ABCD，平面平面，平面PCD，
所以平面ABCD，
因为平面ABCD，所以，，
以O为坐标原点，，，分别为x，y，z轴正方向，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，．
设为平面PAB的法向量，则，
可取，，
故直线AM与平面PAB所成角的正弦值为．
17．解析：（1）设点，，则，，
所以，化简得所以点M的轨迹方程为．
（2）当直线l斜率不存在时，可设，．
则，，
将其代入双曲线方程，
又，解得，此时，
当直线l斜率存在时，设其方程为，设，，
联立，
故，
则
，
化简得，此时，
所以
，
当时，此时，当时，此时，
，，故，
因此，综上可得．
18．解析：（1），则．
所以，，则．
令．则．
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以恒成立，即恒成立，
故在上单调递增，无单调递减区间．
（2）证明：，由得．
可得．又，所以．
因为，，所以只需证明，，
即证明，．先证明，即，令，
则，所以在上单调递增．
只需证，，即，．
令，，则，
所以，故．
再证明，即．同理，只需证明，
即．
令，．则．
令，，
则，所以在上单调递增．
又因为，，
则存在，使得，
所以时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
所以，故．
综上所述，对任意的，．
19．解析：（1）对于n维坐标有两种选择（，），
故共有种选择，即个顶点．
（2）①对于的随机变量，在坐标与中有k个坐标值不同，
即，剩下个坐标值满足．
此时所对应情况数为种．即，故分布列为：
数学期望，
排序相加得，即．
②当n足够大时，．
设正态分布，正态分布曲线为，
由定义知该正态分布期望为，方差为．
设题中分布列所形成的曲线为．则当与均在处取最大值，
若当时，且，则可认为方差．
Ⅰ．：当时，有，即．
Ⅱ．，，
当n足够大时，有，
当时，．
当时，，故．
综上所述，可以认为．1
2
．
n
．
……
……
……
……
……