福建省福州市山海联盟协作体2023~2024学年高一下册期末考数学试题[附解析]

这是一份福建省福州市山海联盟协作体2023~2024学年高一下册期末考数学试题[附解析]，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】利用复数的除法运算求出即可作答.
【详解】依题意，，
所以的虚部是1.
故选：B
2．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（ ）
A．平均数第60百分位数众数B．平均数第60百分位数众数
C．第60百分位数众数平均数D．平均数第60百分位数众数
【答案】D
【解析】从数据为20，30，40，50，50，60，70，80中计算出平均数、第60百分位数和众数，进行比较即可.
【详解】解：平均数为，
，
第5个数50即为第60百分位数.
众数为50，
它们的大小关系是平均数第60百分位数众数.
故选：D.
【点睛】本题主要考查平均数、百分位数、众数的求法，属于基础题.
3．已知平面直角坐标系内两向量，则“”是“向量与夹角为锐角”的什么条件（ ）
A．充分必要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必安
【答案】A
【分析】根据两向量夹角为锐角，可得且排除同向共线情况，计算得到，然后根据从分条件、必要条件判断即可.
【详解】若夹角为锐角，则
当同向共线时，，则不存在，故
所以“”是“向量与夹角为锐角”的充要条件
故选：A
4．已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为，那么原正方形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积．
【详解】解：设原正方形的边长为，

根据斜二测画法的原则可知，，
高，
对应直观图的面积为，
即，故原正方形的面积为.
故选：C.
5．中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则该几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆柱侧面积公式以及圆的面积公式即可求解每个面的面积,进而可求表面积.
【详解】此几何体为两个半圆柱的组合体：一个大的半圆柱中间挖去一个小的同轴半圆柱，.
故选：D
6．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由外接球球心在正棱锥的高上，求得外接球的半径后可得表面积．
【详解】由已知是正三棱锥，设是正棱锥的高，由外接球球心在上，如图，设外接球半径为，
又，则，
由得，解得，
所以表面积为．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球 表面积，解题关键是打到外接球球心，求出球半径．三棱锥的外接球球心在过各面外心与该面垂直的直线上．本题中如果求得是负数，说明点位置在相反方向，不是说不存在．
7．已知向量，满足，，向量在向量方向上的投影向量为，则（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据投影向量的定义求出，再由数量积的定义计算可得.
【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为，，
所以，
所以．
因为，所以，所以（负值舍去）．
故选：B．
8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若为锐角三角形，有，则
C．若，则符合条件的有两个
D．若，则为等腰三角形
【答案】B
【分析】A，根据余弦定理，只能判定命题A为锐角；
B，移项后，利用正弦函数的单调性和诱导公式即得结论；
C，由已知条件为两边一夹角，可判定错误；
D，据正弦定理把等式的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得，进而推断，或，即可判定．
【详解】对于A，若，则，A为锐角，
不能判定为锐角三角形，故错；
对于B，若为锐角三角形，有，
则，∴,故正确；
对于C，知道两边一夹角，符合条件的三角形有且只有一个，故C错误；
对于D，，，
，或即，
为等腰或直角三角形，故不正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了命题的真假判断，涉及正弦定理、余弦定理、解三角形的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题题．
二、多选题
9．在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，D为BC的中点，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项.
【详解】对于A选项：，故A错；
对于 B选项：因为D为BC的中点，，故B正确；
对于C选项：，故正确；
对于D选项：，而，故D不正确.
故选：BC.
【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.
10．某圆锥的底面半径为3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ）
A．圆锥的侧面展开图的圆心角为
B．圆锥的体积为
C．过圆锥的两条母线作截面的面积最大值为8
D．圆锥轴截面的面积为
【答案】ACD
【分析】对于A，利用圆锥的底面周长等于侧面开图的弧长可求得圆心角，对于B，根据题意求出圆锥的高，从而可求出圆锥的体积，对于C，利用三角形面积公式结合圆锥轴截面的性分析判断，对于D，直接利用三角形面积公式计算.
【详解】对于A，设圆锥的侧面展开图的圆心角为，则，所以，所以A正确，
对于B，圆锥的底面半径为3，母线长为4，所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为，所以B错误，
对于C，设圆锥的两条母线的夹角为，则过这两条母线所作截面的面积为
，
因为过圆锥母线的截面中，轴截面三角形对应的最大，此时，
所以最大是钝角，
所以当时，截面的面积最大，最大值为8，所以C正确，
对于D，圆锥轴截面的面积为，所以D正确.
故选：ACD
11．如图，正方体的棱长为，、是线段上的两个动点，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．平面
C．的面积与的面积相等
D．三棱锥的体积为定值
【答案】ABD
【分析】证明出平面，利用线面垂直的性质可判断A选项；利用面面平行的性质可判断B选项；利用三角形的面积公式可判断C选项；利用锥体的体积公式可判断D选项.
【详解】对于A，由正方体的结构特征可知，平面，而平面，
则，
连接，又因为四边形为正方形，所以，，
因为，且、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，故A正确；
对于B选项，因为平面平面，平面，则平面，B对；
对于C选项，设，取的中点，连接、，
由A选项可知平面，即平面，
又平面，所以，，
又且，所以，四边形为平行四边形，
所以，且，
因为、分别为、的中点，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
因为平面，平面，所以，，
所以，四边形为矩形，则，
又，、平面，所以，平面，
又平面，所以，，
因为，
所以，，C错；
对于D，因为的面积为，
又点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，D对.
故选：ABD.
三、填空题
12．一只田径队有男运动员56名，女运动员有42名，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本.如果样本按比例分配，则男运动员应抽取 名、女运动员应抽取 名.
【答案】
【解析】先计算得到抽取比例为，再计算得到答案.
【详解】解：田径队运动员的总人数是，要得到28人的样本，占总体的比例为，
于是应该在男运动员中随机抽取(名)，
在女运动员中随机抽取(名).
故答案为：，.
13．在5张彩票中有2张有奖，甲、乙先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为 .
【答案】/0.4
【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理计算即可.
【详解】分两类情况讨论
①甲中奖：
②甲未中奖：
所以乙中将的概率.
故答案为：.
14．已知、、分别为的三个内角、、的对边，且，点是边上的中点，若，则的面积最大值为 ．
【答案】
【分析】利用余弦定理可求得的值，可求得角的值，利用平面向量的数量积结合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】因为，所以，，
即，所以，.
，解得.
，
所以，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，即的最大值为，
所以，.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
四、解答题
15．已知．
（1）求与的夹角；
（2）若，且，求实数t及．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）求出，由数量积的运算律求得可得向量夹角；
（2）计算，由，求出，然后由数量积的运算求出．
【详解】（1）由已知，
，
所以，又，所以；
（2）由题意，
解得，，
，
所以．
【点睛】思路点睛：求向量的模，通常把模转化为数量积的运算，根据是．
16．在中，，，.
(1)求的面积；
(2)求c及的值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用平方关系求得，应用三角形面积公式求的面积；
（2）余弦公式求c，再应用正弦定理求.
【详解】（1）由且，则，
所以.
（2）由，则，
而，则.
17．习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级:
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.
（1）求的值及频率分布直方图中的值；
（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?
（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是:以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)
【答案】（1）2000，；（2）；（3）只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见解析.
【解析】（1）由调查评分在的市民为人及频率可得样本容量；根据频率和为1可得t；
（2）由（1）知，根据调查评分在有人，有人，计算出
心理等级均达不到良好的概率，由对立事件的概率可得答案；
（3）由频率分布直方图估计市民心理健康问卷调查的平均评分及平均值与0.8作比较可得答案.
【详解】（1）由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，
所以，解得.
（2）由（1）知，
所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，
若按分层抽样抽取人，
则调查评分在有人，有人，
因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，
所以选出的人经过心理疏导后，
心理等级均达不到良好的概率为，
所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为.
（3）由频率分布直方图可得，
，
估计市民心理健康问卷调查的平均评分为，
所以市民心理健康指数平均值为，
所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.
【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用及相互独立事件概率的求解，由频率分布直方图中是没有样本数据的，平均值等于每个小长方形面积乘每组横坐标的中点，然后相加求和，且所有矩形的面积之和为1，考查了学生分析数据处理问题的能力.
18．如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为.
(1)求侧面与底面所成的二面角的大小；
(2)若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；
(3)在（2）的条件下，问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，是的等分点，靠近点的位置
【分析】（1）取中点，连接、，由正四棱锥的性质知为所求二面角的平面角，为侧棱与底面所成的角，设，求出的值，即可得解；
（2）依题意连接、，可知为异面直线与所成的角，证明出，计算出、的长，即可求得结果；
（3）延长交于，取的中点，连接、，易得平面，可得平面平面，分析出为正三角形，易证平面，取的中点，连接，可得四边形为平行四边形，从而，可得平面，即可得出结论.
【详解】（1）解：取的中点，连接、，
由正四棱锥的性质可知平面，平面，则，
依条件可知，则为所求二面角的平面角.
面，则为侧棱与底面所成的角，则，
设，则，所以，，
则，因为，故.
（2）解：连接、，
所以，为异面直线与所成的角.
平面，平面，则，
，，平面，
又平面，.
，所以，.
（3）解：延长交于，则为的中点，取的中点，连接、.
因为，为的中点，则，同理可得，
，故平面，
平面，平面平面，
又，，
所以，为正三角形，为的中点，则，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
取的中点，连接，
、分别为、的中点，则且，
因为且，、分别为、的中点，则且，
为的中点，则且，故且，
所以，四边形为平行四边形，则，故平面.
因此，是的等分点，靠近点的位置.
19．在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质：
(1)设，，求证：是实数；
(2)已知，，，求的值；
(3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明；
（2）设，则，由已知，，列等式即可求解；
（3）设复数设的三角形式，利用三角函数有界性即可求解.
【详解】（1）设，
，，，
是实数；
（2）设，则，
，，
，①
又，
②，
联立①②，解得，
（3），设，
则，
，，
.
调查评分
心理等级
有隐患
一般
良好
优秀