福建省福州市山海联盟协作体2023~2024学年高一下学期期末考数学试卷[附解析]

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满分 150 分，时间：120 分钟
一、单选择：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的虚部（ ）
A.0 B. 1 C. D.
2. 已知一组数据为 20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第 60 百分位数和众数的大小关系是（ ）
A. 平均数 第 60 百分位数 众数 B. 平均数 第 60 百分位数 众数
C. 第 60 百分位数 众数 平均数 D. 平均数 第 60 百分位数 众数
3. 已知平面直角坐标系内两向量 ，则“ ”是“向量 与 夹角为锐角”的什么
条件（ ）
A. 充分必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必安
4. 已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为 ，那么原正方形的面积为（ ）
A. B. C. D.
5. 中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均
为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为 ，
均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为 1 和 2，对应的圆心角为 ，则该
几何体的表面积为（ ）
A B. C. D.
6. 在三棱锥 中， ， ，则三棱锥 外接球的表
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面积是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知向量 ， 满足 ， ，向量 在向量 方向上的投影向量为 ，则 （ ）
A. 3 B. C. 2 D.
8. 在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则 为锐角三角形
B. 若 为锐角三角形，有 ，则
C. 若 ，则符合条件的 有两个
D. 若 ，则 为等腰三角形
二、多项选择题：共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，3 个选项的，选对一个得 2 分；2 个选项
的，选对一个得 3 分．
9. 在△ABC 中，AB＝AC，BC＝4，D 为 BC 的中点，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 某圆锥的底面半径为 3，母线长为 4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ）
A. 圆锥 侧面展开图的圆心角为
B. 圆锥的体积为
C. 过圆锥 两条母线作截面的面积最大值为 8
D. 圆锥轴截面的面积为
11. 如图，正方体 的棱长为 ， 、 是线段 上的两个动点，且 ，则下列
结论中正确的是（ ）
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A.
B. 平面
C. 的面积与 的面积相等
D. 三棱锥 的体积为定值
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 一只田径队有男运动员 56 名，女运动员有 42 名，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动
员中抽出一个容量为 28 的样本.如果样本按比例分配，则男运动员应抽取________名、女运动员应抽取
________名.
13. 在 5 张彩票中有 2 张有奖，甲、乙先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为___________.
14. 已知 、 、 分别为 的三个内角 、 、 的对边，且 ，
点 是边 上的中点，若 ，则 的面积最大值为_______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 ．
（1）求 与 的夹角 ；
（2）若 ，且 ，求实数 t 及 ．
16. 在 中， ， ， .
（1）求 的面积；
（2）求 c 及 的值.
17. 习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、
亲善友爱的社会心态.”在 2020 年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某
心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取 位市民进行心理健康问卷调查，按所得评
分（满分 分）从低到高将心理健康状况分为四个等级:
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调查评分
心理等级 有隐患 一般 良好 优秀
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在 的市民为 人.
（1）求 的值及频率分布直方图中 的值；
（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取 人，进行心理疏导.据以往数据统计，
经过心理疏导后，调查评分在 的市民心理等级转为 “良好”的概率为 ，调查评分在 的市
民心理等级转为“良好”的概率为 ，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的 人中，经过心
理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?
（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是:以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低
于 则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否
需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)
18. 如图所示，正四棱锥 中， 为底面正方形 中心，侧棱 与底面 所成的角的正切
值为 .
（1）求侧面 与底面 所成的二面角的大小；
（2）若 是 的中点，求异面直线 与 所成角的正切值；
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（3）在（2）的条件下，问在棱 上是否存在一点 ，使 侧面 ，若存在，试确定点 的位
置；若不存在，说明理由.
19. 在复数集中有这样一类复数： 与 ，我们把它们互称为共轭复数，
时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质：
（1）设 ， ，求证： 实数；
（2）已知 ， ， ，求 的值；
（3）设 ，其中 ， 是实数，当 时，求 的最大值和最小值．
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