吉林省长春市汽车经济技术开发区第三中学2023~2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷[附解析]

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注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 3 页，总分 150 分，
考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
1. 已知复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数乘法求 的代数形式，再由模的公式求结论.
【详解】因为 ，
所以 ，
故选：C.
2. 命题“ ，函数 在 上单调递增”的否定为（ ）
A. ，函数 在 上单调递减
B. ，函数 在 上不单调递增
C. ，函数 在 上单调递减
D. ，函数 在 上不单调递增
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“ ，函数 在 上单调递增”的否定为“ ，函数 在 上
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不单调递增”．
故选：B．
3. 已知 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的数量积可求 .
【详解】因为 ， ，则 ， ，
则 ，故 ，
故选：C.
4. 水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国 60%以上人口的主粮.以袁隆平院士为首的科学家研制成功的
杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明"，育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人
端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献.某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻
田中连续 6 年的产量(单位：kg)如下：
品种 第 1 年 第 2 年 第 3 年 第 4 年 第 5 年 第 6 年
甲 900 920 900 850 910 920
乙 890 960 950 850 860 890
根据以上数据，下面说法正确的是（ ）
A. 甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大
B. 甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小
C. 甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等
D. 甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定
【答案】D
【解析】
【分析】分别计算两种水稻产量的平均数、中位数、极差、方差即可判断四个选项的正误，即可得出正确
选项.
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【详解】对于选项 A：甲种水稻产量的平均数： ，
乙种水稻产量的平均数： ，
所以甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等，故选项 A 不正确；
对于选项 B：甲种水稻产量分别为： ，中位数为 ，
乙种水稻产量分别为 ，中位数为 ，
所以甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数大，故选项 B 不正确；
对于选项 C：甲种水稻产量的极差为： ，乙种水稻产量的极差为：
，甲种水稻产量 极差与乙种水稻产量的极差不相等，故选项 C 不正确；
对于选项 D：甲种水稻的产量的方差为：
乙种水稻的产量的方差为：
，
甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等，
甲种水稻的产量的方差小于乙种水稻的产量的方差，
所以甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定，故选项 D 正确，
故选：D.
5. 已知周长为 16 的△ABC 中，点 A（－3，0），B（3，0），则点 C 的轨迹方程是（ ）
A. 1
B. 1
C. 1（y≠0）
D. 1（y≠0）
【答案】C
【解析】
【详解】解析：因为三角形周长为 16，又 CA＋CB＝10＞6＝AB，所以点 C 的轨迹在以 A，B 为焦点的椭圆
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＋ ＝1 上．因为△ABC 中点 C 与点 A，B 不共线，所以去掉 y 轴上的两点，得 y≠0.
【考查意图】定义法求轨迹方程．
6. 若函数 在 与直线 有两个交点，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将 分段，写出函数 在每段的函数表达式，然后再画图，数形结
合即可得到答案。
【详解】当 ，当 ，
所以画出函数 的图像：
所以
故选：C
7. 已知正四棱台上底面边长为 ，下底面边长为 ，体积为 ，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出相应图形，借助正四棱台的性质及体积公式可得其高，结合线面角定义计算即可得解.
【详解】如图所示，作 于点 ，
则 ，即 ，
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，
则 ，
由正四棱台的侧棱与底面所成角即为 与底面 所成角，
设其为 ，则 ，即 .
故答案为： .
8. 已知函数 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【 分 析 】 先 判 断 函 数 的 奇 偶 性 ， 利 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性 ， 令
，利用导数判断 的单调性，从而可得 ，进而可得比较函
数值的大小．
【详解】∵ ，
∴ ，∴ 是偶函数，
，
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当 时， ，故函数 上单调递增，
令 ，则 ，
即函数 在 上单调递减，故 ，
即可 ，而 ，
所以 ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数 ；
(3)利用导数研究 的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
9. 下列说法中正确的有（ ）
A. 已知 ，则“ ”的必要不充分条件是“ ”
B. 函数 的最小值为 2
C. 集合 A，B 是实数集 R 的子集，若 ，则 B .
D. 若集合 ，则满足 ⫋ ⫋ 的集合 A 有 2 个
【答案】CD
【解析】
【分析】由充分条件和必要条件的定义可判断 A；由双勾函数的性质可判断 B；由子集的定义可判断 C；由
真子集的定义可判断 D.
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【详解】对于 A，取 ，满足 ，但不满足 ，
若 ，即 ，所以 ，
所以“ ”的充分不必要条件是“ ”，故 A 错误；
对于 B， ，
令 ，由双勾函数的性质知： 在 上单调递增，
所以 ，所以函数 的最小值为 3，故 B 错误；
对于 C，集合 A，B 是实数集 R 的子集，若 ，则 B ，故 C 正确；
对于 D， ，
⫋ ⫋ 的集合 A 可能为： ，故 D 正确.
故选：CD.
10. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 若随机变量 ，且 ，则
B. 一组数据 6，7，7，9，13，14，16，17，21 的第 70 百分位数为 15
C. 在一元线性回归模型分析中，决定系数 用来刻画模型的拟合效果，若 值越小，则模型的拟合效果
越好
D. 设随机事件 ， ，已知 事件发生的概率为 ，在事件 发生的条件下事件 发生的概率为 ，
在事件 不发生的条件下事件 发生的概率为 ，则事件 发生的概率为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用正态分布中概率的计算得到 A 选项；由百分位数的计算得到 B 选项；根据回归分析中决定系
数的利用判断 C 选项；由乘法公式和全概率公式得到 D 选项.
【 详 解 】 A 选 项 ， 因 为 ， 且 ， 所 以
，故 A 正确；
B 选项，数据共有 9 个数， ，所以第 70 百分位数是第 7 个数 16，故 B 错误；
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C 选项，在一元线性回归分析中可以用决定系数 来刻画回归的效果，若 的值越小，则模型的拟合效
果越差，故 C 错误；
D 选项， ， 所以 ，
又因为 ，则 ，
所以 ，故 D 正确．
故选：AD．
11. 已知 分别是定义域为 的偶函数和奇函数，且 ，设函数
，则 （ ）
A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在 上单调递减 D. 在 上单调递增
【答案】AD
【解析】
【分析】根据奇、偶性得到方程组求出 、 解析式，从而得到 的解析式，再由奇偶性的
定义判断 的奇偶性，利用导数判断函数的单调性.
【详解】因为 ①，所以 ，
即 ②，联立①②，解得 ，
所以 ，定义域为 ，又 ，
所以 是奇函数，又 ，
所以 在 上单调递增，故 A，D 正确，B、C 错误．
故选：AD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12. 若 ，则 的值为______.
【答案】
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【解析】
分析】利用赋值法求解.
【详解】根据题意， ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
所以 .
故答案为： .
13. 有 4 人到甲、乙、丙三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中 1 人，则所
有不同的录用情况种数为_________.（用数字作答）
【答案】60
【解析】
【分析】分类讨论录取的人数，结合排列数、组合数运算求解.
【详解】当 人中有三人被录取，则不同的录取情况数为 ，
当 4 人全部被录取，则不同的录取情况数为 ，
综上不同的录取情况数共有 种.
故答案为：60
14 函数 ， 则 ______.
【答案】2
【解析】
【分析】分 和 两种情况列方程求解即可.
【详解】 ，若 ，
则 或 ，即 或 ，解得 .
故答案为：2.
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
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15. 在 中，记角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ．
（1）求角 ；
（2）已知点 在 边上，且 ， ， ，求 的面积．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）代入正弦定理和两角和的正弦公式即可；
（2）先确定 长度，再确定 ，即可判断三角形形状，确定面积．
【小问 1 详解】
，由正弦定理可得 ，
，
，
， ，
；
【小问 2 详解】
设 ， ， ， 或 4，
当 时， ， ，此时三角形为正三角形，
当 时， ， ，
满足 ，此时三角形为直角三角形， ．
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16. 如图①，在等腰梯形 中， ， ， ， ， 分别是线段 的两个三等分
点，若把等腰梯形沿虚线 ， 折起，使得点 和点 重合，记为点 ，如图②.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明 来证得 平面 ，由此证得平面 平面 .
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法计算出平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【小问 1 详解】
由题意可知：四边形 ABEF 是正方形，
则 ，且 ， 平面 PEF，
所以 平面 PEF，
因为 平面 ABEF，所以平面 平面 ABEF．
【小问 2 详解】
如图，过点 P 作 于点 O，过点 O 作 BE 的平行线交 AB 于点 G，
因为平面 平面 ABEF，平面 平面 ， 平面 ，
则 平面 ABEF．
又因为 PO，EF，OG 所在直线两两垂直，
所以分别以 OG，OE，OP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
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则 .
所以 .
设平面 PAE 的法向量为 ，则 ，
设 ，则 ，可得 .
设平面 的法向量为 ，则 ，
设 ，则 ，可得 .
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
17. 数列 的前 项和为 ，且 ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）已知 ，若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件求得首项，由 得 ，两式相减即可得到 为等比数列，
进一步求解即可;
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（2）利用错位相减法求和即可.
【小问 1 详解】
当 时， ，即 ；
当 时，由 得 ，
则两式相减得 ，
即 ，
综上可知， 是首项 ，公比 的等比数列，
则 ，即 .
故 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ，
则 ①，
②，
①-②得 ，
整理得
，
即 ，所以
18. 某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一
个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、
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乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为 、 、 ，假定 、 、 互不相等，且每
人能否闯关成功的事件相互独立.
（1）计划依次派甲乙丙进行闯关，若 ， ， ，求该小组比赛胜利的概率；
（2）若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目 的分布，并求 的期望 ；
（3）已知 ，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁
先派出.
【答案】（1）
（2）
（3）先派出甲
【解析】
【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解；
（2）由题意可知， 的所有可能取值为 1，2，3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得
到 的分布，再结合期望公式求解；
（3）分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派丙乙甲进行闯关，所派出人员数目的期望，再利用作差法
比较大小即可．
【小问 1 详解】
设事件 表示“该小组比赛胜利”，
则 ；
【小问 2 详解】
由题意可知， 的所有可能取值为 1，2，3，
则 ， ， ，
所以 的分布为：
所以 ；
【小问 3 详解】
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若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为 ，
由（2）可知， ，
若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为 ，
则 ，
则
，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲．
19. 已知双曲线 的实轴长为 2，顶点到渐近线的距离为 .
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若直线 与 的右支及渐近线的交点自上而下依次为 ，证明： ；
（3）求二元二次方程 的正整数解 ，可先找到初始解 ，其中
为所有解 中的最小值，因为 ，所以 ；因为
，所以 ；重复上述过程，因为
与 的展开式中，不含 的部分相等，含 的部分互为相反数，故可设
，所以 .若方程 的正整数解
为 ，则 的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）1
【解析】
【分析】（1）根据双曲线 关系和渐近线、实轴相关概念进行列式计算即可求解.
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（2）分别联立直线 与 及其渐近线方程求出 、 、 、 的坐标或坐标的关系，进而得出线段
的中点重合，即可得证.
（3）结合题目所给的循环构造的方法得 ，用向量面积公式表示出面积，再换元，化简即可求解.
【小问 1 详解】
由题意 ，解得 ，
所以双曲线 的标准方程为 ；
【小问 2 详解】
由题意直线 的斜率不为 0，设直线 ，
因为直线 与 的右支交于两点，所以 ，
联立 得 ，
所以 ，且 ，即 ，
联立 得 ，所以 ，
所以 ，即线段 的中点重合，所以 .
【小问 3 详解】
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由题意得方程 的初始解为 ，则根据循环构造原理得
，
从而 ，
记 ，则 ，设 ， 的夹角为 ，
则 的面积
，
令 ， ，
则
，于是 的面积为定值 .
【点睛】方法点睛：新定义问题解题策略：首先，明确新定义的特点；其次，根据定义中的步骤对具体题
目进行运算；最后得到结论.
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