河南省郑州市六校2024~2025学年高二下学期第二次联考（5月）数学试卷B卷[附解析]

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（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求.）
1. 某人进行投篮训练，最多投篮 4 次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为 ，则 表示 试验结
果是（ ）
A. 第 2 次投篮命中 B. 第 3 次投篮未命中
C. 前 3 次投篮均未命中 D. 前 2 次投篮均未命中，第 3 次投篮命中
2. 已知正项等比数列 的前 项和为 ，其中 ， ，则公比 的值为（ ）
A. 2 B. C. 3 D. 4
3. 3 名同学报名参加社团活动，有 4 个社团可以报名，这些社团招收人数不限，但每位同学只能报名其中 1
个社团，则这 3 位同学可能的报名结果共有（ ）种.
A. 6 B. 24 C. 64 D. 81
4. 设 为等差数列，公差 ， 为其前 项和，若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
5. 已知定义在 上 函数 ，其导函数 的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A.
B. 函数 在 处取得极小值，在 处取得极大值
C. 函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值
D. 函数 的最小值为
6. 已知函数 在 上单调递减，则实数 取值范围为（ ）
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A. B. C. D.
7. 人工智能领域让贝叶斯公式： 站在了世界中心位置，AI 换脸是一项深度伪
造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为 0.1.某团队决定用 AI 对抗 AI，研
究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是 0.9，即在该视频是伪造的情况下，它有 90%
的可能鉴定为“AI”；它的误报率是 0.4，即在该视频是真实的情况下，它有 40%的可能鉴定为“AI”.已知某
个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ）
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
8. 已知 ， ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选的得 0 分.）
9. 下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（ ）．
A. 将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为
B. 盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
C. 某射手的射击命中率为 0.8 ，现对目标射击 1 次，记命中的次数为
D. 从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为
10. 数列 的前 项和为 ，且 ，则（）
A. B. 数列 为等差数列
C. D. 数列 为单调递减数列
11. 已知函数 ，则以下结论正确的是（ ）
A. 函数 存在极大值和极小值
B.
C. 函数 只有 1 个零点
D. 对于任意实数 k，方程 最多有 4 个实数解
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三、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12. 在 的展开式中， 的系数为 ，则 ______.
13. 某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布 （单位： ），现有
该新品种大枣 10000 个，估计单果质量在 范围内的大枣个数约为______个.
附：若 ，则 ， ，
.
14. 若实数 的取值使函数 在定义域上有两个极值点，则称函数 具有“凹凸趋向性”，已知
是函数 的导数，且 ，当函数 具有“凹凸趋向性”时，则 的取值范围为______.
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知二项展开式 .
（1）求 的值；
（2）求
16. 13 张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌，正面标有 ，此外还有五张字母牌，正面标有
，将这十三张牌随机排成一行.
（1）求五张字母牌互不相邻的概率；
（2）求在标有 8 的卡牌左侧没有数字牌的概率.
17. 已知数列 的前 项和为 ，若 ， .
（1）求 ；
（2）记 ，数列 前 项和 ，证明： .
18. “村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称．在 2023 年火爆“出圈”后，“村超”热度不
减．2024 年 1 月 6 日，万众瞩目的 2024 年“村超”新赛季在“村味”十足的热闹中拉开帷幕，一场由乡村足球
发起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路子”，已知甲、乙两支足球队常规时间比赛是平局，需要进行点球比赛
决定胜负．甲、乙两队每位球员在对方没有守门员守球的情况下将足球踢进对方球门的概率均为 ，甲、
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乙两队守门员扑出对方球员点球的概率分别为 ， ．现甲、乙两队进行点球大赛，每次由一方队员踢球，
另一方守门员进行守球，轮流进行，两队各有一名球员踢球结束为 1 轮对抗．经过数轮对抗后，当一方球
队比另一方球队多进 2 个球时，比赛结束．假定甲、乙球队互不影响，各轮结果也互不影响．记在 1 轮对
抗中，甲队踢进足球为事件 ，乙队踢进足球为事件 ．
（1）求 ， ；
（2）经过 1 轮对抗，甲队与乙队踢进足球数之差为 ，求 的概率分布列及数学期望；
（3）求恰好在第 4 轮对抗后比赛结束且甲队获胜的概率．
19. 已知函数 ， .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 ， ，使得 ，求实数 的取值范围.
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