云南省玉溪第一中学2023~2024学年高二下学期期末检测数学试卷（特长级部）[附解析]

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1.若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可；
【详解】解：因为，所以，
所以复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限.
故选：D
2. “”是“函数取得最大值”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据余弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】当时，函数，故充分性不成立；
当函数取得最大值时，，即，故必要性也不成立，
综上可得：“”是“函数取得最大值”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
3.已知向量，，若与方向相反，则（ ）
A.54B.48C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据题意得到，再求即可.
【详解】向量，，若与方向相反，
所以，解得.
所以，
.
故选：D
4.在样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积和的，且样本量为80，则中间一组的频数为（ ）
B.16C.20D.0.5
【答案】B
【解析】
【分析】设中间一组的频数为x，根据题意可列方程求解.
【详解】设中间一组的频数为x，依题意有，解得．
故选：B.
5.已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆与圆的位置关系以及双曲线的定义即可求解.
【详解】设动圆的半径为r，
则，，
则，
根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支．
故选：C．
6.过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（ ）
A.不存在B.-1C.3D.3或-1
【答案】D
【解析】
【分析】分切点在处与不在处，利用导数的几何意义求解．
【详解】解：因为，所以，，
当为切点时，；
当不为切点时，设切点为，，
所以，
所以切线方程为，
又切线过点，
所以，
即，即，
解得或（舍去），所以切点为，
所以．
综上所述，直线l的斜率为3或-1．
故选：D
7.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为1的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】依据割补法去求该多面体的体积即可解决.
【详解】如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为点G，H，连接DG，CH，
容易求得，.
取AD中点O，连接GO，易得，则，
所以，多面体的体积
故选：A
8.设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则t的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求导，然后根据导函数和极值点的关系求出及的范围，然后代入，构造函数求最值即可.
【详解】函数定义域为，，
又函数存在两个极值点，
所以方程在上有两个不相等的正实数根，
则，解得，
又
设，
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增加，
因为不等式恒成立，
即恒成立，
所以.
故选：D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9.已知函数若把的图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍后，再将图象向右平移个单位，可以得到，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.的周期为π
C.的一个单调递增区间为
D.在区间上有5个不同的解，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数平移和伸缩变换得到g(x)解析式，对比可得ω和φ的值，从而求得g(x)解析式，从而可判断AB；根据正弦型函数单调性可判断C，数形结合可判断D．
【详解】横向压缩得，；
再右移个单位得，，
∴
又，∴故A选项正确；
∴，
∴周期，故B选项正确；
由得，故C选项错误；
在区间上有5个不同的解，由函数图象可知，区间的长度大于两个周期，小于等于3个周期，故，故D选项正确.
故选：ABD.
10.设数列是以d为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论正确的是（ ）
A.B.
C.D.或为的最大值
【答案】ABD
【解析】
【分析】由及前n项和公式可得，即可判断A、B的正误，进而得到判断C，结合二次函数的性质判断D的正误.
【详解】根据题意可得，即．因为，，所以，所以数列是递减数列，所以A，B正确；
对于C，因为，，所以，所以，故C不正确；
对于D，因为，所以，又为递减数列，所以或为的最大值，故D正确．
故选：ABD．
11.已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（ ）
A.的最小值为8
B.若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6
C.为定值
D.若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】设出点P坐标，直接计算可判断A、C；比较双曲线的通径长和实轴长可判断B；设出直线l的方程后联立渐近线方程，求出点M，N的坐标，再联立直线l与双曲线方程，利用判别式为零可得参数关系，进而计算点M，N的纵坐标之积可得结果.
详解】依题意，，，，，，
设，则，，即，
双曲线C的两条渐近线方程为，
对于A，，A正确；
对于B，若Q在双曲线C的右支，则通径最短，通径为，
若Q在双曲线C左支，则实轴最短，实轴长为，B错误；
对于C，
是定值，C正确；
对于D，不妨设，，直线l的方程为，
由得，
若直线l与双曲线C相切，则，
化简整理得，
则点M，N纵坐标之积，D正确.
故选：ACD.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12.甲、乙两人计划从A，B，C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有______种．
【答案】6
【解析】
【分析】由分步计数原理求解．
【详解】解：甲、乙各选两个景点有种方法，其中，所选景点完全相同的有3种．
所以满足条件要求的选法共有种．
故答案为：6
13.已知，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】使用余弦的诱导公式和二倍角公式即可得到结果.
【详解】．
故答案为：.
14.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝
某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论：
①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；
②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%；
③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%.
其中正确结论的序号有________．(请写出所有正确结论的序号)
【答案】①②
【解析】
【分析】由函数图象可知是减函数，且可计算，即可判断各结论的正误.
【详解】由函数解析式可知f(x)随着x的增加而减少，故①正确；
当1