2024-2025学年云南省玉溪一中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年云南省玉溪一中高二（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={x|−30,|φ|12
B. AD⋅A1P的取值范围是(0,32)
C. CP的最小值为4 4−2 2
D. 若三棱锥P−BCQ的外接球表面积为S，则S∈[64π,128π)
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.二项式(3x+1 x)6的展开式中的常数项为______．
13.已知函数f(x)=x2+ax+lnx在(2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是______．
14.大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理.已知大衍数列{an}满足a1=0，an+1=an+n+1,n为奇数an+n,n为偶数，数列{bn}满足bn=a2n−a2n−1，则a6= ______，数列{(−1)nan}的前50项和与数列{bn}的前______项和相等．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知{an}是正项等差数列，Sn是{an}的前n项和.若a12+2a2=12且S4=20．
(1)求a1的值和通项公式an；
(2)若bn=1an2−1，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2alnx+x−1x+1的图象在x=1处的切线与直线x+2y+1=0平行，其中a为常数．
(1)求a的值；
(2)求不等式f(x2−1)b>0)上右顶点到左焦点的距离为2+ 2，上顶点的坐标为(0, 2)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P(4,0)，A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；
(3)在(2)的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M、N两点，求OM⋅ON的取值范围．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：由集合A={x|−392，解得a≥−92，则实数a的取值范围是[−92,+∞)．
故答案为：[−92,+∞)．
问题转化为f′(x)=2x+1x+a≥0在(2,+∞)上恒成立，则2x+1x≥−a恒成立，利用导数确定函数y=2x+1x在(2,+∞)上的单调性得最值即可得实数a的取值范围．
本题考查利用导数求解函数的单调性，属于中档题．
14.【答案】18 25
【解析】解：当n=2k(k∈N∗)时，a2k+1=a2k+2k①；
当n=2k−1(k∈N∗)时，a2k=a2k−1+2k②；
由①②得：a2k+1=a2k−1+4k，即a2k+1−a2k−1=4k，
可得a2k+1=a1+(a3−a1)+(a5−a3)+...+(a2k+1−a2k−1)=4+8+...+4k=2k2+2k；
令2k+1=n(k∈N∗)，则当n≥3且n为奇数时，an=2×(n−12)2+n−1=n2−12；
当n=1时，a1=0满足an=n2−12；即有当n为奇数时，an=n2−12；
此时an+1=an+n+1=n2−12+n+1=(n+1)22，可得当n为偶数时，an=n22；
则an=n2−12,n为奇数n22,n为偶数，即有a6=622=18，bn=a2n−a2n−1=2n2−(2n−1)2−12=2n，
可得{bn}的前n项和为2(1+2+3+...+n)=n2+n；
由{(−1)nan}的前50项和为−a1+a2−a3+a4−a5+a6−...−a49+a50=2(1+2+...+25)=25×26=650，
令n2+n=650，解得n=−26(舍)或n=25．
故答案为：18；25．
分别由n=2k−1(k∈N∗)和n=2k(k∈N∗)的关系式可推导得到a2k+1=a2k−1+4k，利用累加法可求得n为奇数时的通项公式，进而得到an，a6，bn，结合等差数列前n项和公式可构造方程求得结果．
本题考查数列的递推式和等差数列的求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
15.【答案】a1=2，an=2n；
Tn=n2n+1．
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d且an>0，
因为a12+2a2=12且S4=20，所以a12+2a1+2d=12且2a1+3d=10，
解得a1=2，d=2，所以an=2+(n−1)×2=2n；
(2)由(1)可得bn=14n2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
所以Tn=12(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)
=12(1−12n+1)=n2n+1．
(1)设等差数列{an}的公差为d且an>0，由已知求得a1=2，d=2，可求{an}的通项公式；
(2)利用裂项相消法可求得{bn}的前n项和Tn．
本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式，裂项求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】a=−12；
(75,2)∪(3,+∞)．
【解析】(1)由函数f(x)=2alnx+x−1x+1可得：f′(x)=2ax+2(x+1)2，
又f(x)=2alnx+x−1x+1在x=1处的切线与直线x+2y+1=0平行，
可得f′(1)=2a+12=−12，∴a=−12；
(2)∵函数f(x)=2alnx+x−1x+1的定义域为(0,+∞)，
∴x2−1和5x−7都大于0，可得x∈(75,+∞)，
又∵f′(x)=−x2+1x(x+1)2