江苏省南京外国语学校2021~2022学年高一下学期期末考试数学试卷[附解析]

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一、单项选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡相应位置上.
1．设，则在复平面内对应的点位于．第一象限
．第二象限．第三象限
．第四象限2．已知中，, , ，则的解的个数为.0
.1
.2
．无法确定3.1，8，9，4，5，5，8，2，3，10这组数据的下四分位数（25百分位数）为.
.3
C.
.84．已知 ，则 .
.
C.
.5．如图，在四面体中，若 , ,是的中点，则下列结论错误的是
．平面⊥平面
.
C.为二面角的平面角
．平面⊥平面
6．已知平面向量满足, ，则的值为
.
.
C..
7．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为3的等边三角形，为球的直径，且 ，则到面的距离为.4
.2
C.3
.8．气象意义上从春季进入夏季的标志为"连续5天的日平均温度全都不低于22℃".现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位：℃):①甲地：5个数据的中位数为23，众数为22:②乙地：5个数据的中位数为26，平均数为25，众数为27;③丙地：5个数据中有1个数据是32，平均数为26，方差为11.2;④丁地：5个数据的20百分位数为23，平均数为27．其中肯定进入夏季的地区个数为.4
.3
C.2
.1二、多项选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得4分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．
9．下列说法错误的是
.有三个公共点的两个平面重合
.垂直于同一直线的两平面平行
C.垂直于同一直线的两直线平行
.垂直于同一平面的两平面平行
10.为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是.
..若复数满足，则
.若复数满足，则的最大值为1
11．下图是某校九年级720名学生的1分钟仰卧起坐的成绩（次数）频率分布直方图，根据统计图的数据，同一组中数据以组中值代表，下列结论正确的是
.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的极差为20
.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为
.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的平均数为26
.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为14
12．如图所示，正方体的棱长为2,分别为的中点，点是正方形内的动点，下列说法正确的是
.
.与平面所成角的正弦值为
.存在点使得⊥平面
.若平面，则点的轨迹长度为
三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
13．已知向量满足,且则 .
14．假设从高一（1）班60名同学中随机抽出30人参加一项活动，利用随机数法抽取样本时，先将60名同学按01,02,03,…,59,60进行编号，如果从随机数表第7行第3列的数开始，按两位数连续向右读取，抽出的第5名同学的号码是（下面摘取了此随机数表第7行和第8行） .
15，将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为 .
16．在中,,是边上的一点，，若为锐角， 630163
785916
595567
199810
507175
128673
580744
395238
844217
533157
245506
887704
744767
217633
502583
921206
的面积为4，则___, .
四、解答题：本大题共5小题，共48分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17．某市为了解人们对冬奥会的认知程度，举办了一次冬奥会知识竞赛，满分为100分（90分及以上为认知程度高）．现从参赛者中抽取了人，按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人．
(1）求；
(2）求抽取的人的年龄的中位数（结果四舍五入保留整数）:
(3）从年龄在和的参赛者中各选取5名参加知识竞赛，分别代表相应年龄组的成绩，年龄组的成绩为93,96,97,94,90，年龄组的成绩为93,98,94,95,90.
①分别求两组成绩的平均数和方差；
②以上述数据为依据，评价两个年龄组对冬奥会的认知程度，并谈谈你的感想．
18．已知函数.
(1）若是三角形中一内角且，求的值；
(2）若是锐角三角形中一内角且，求的值．
19．如图，在四棱锥中,, DC =2AB,为棱上的中点．
(1）求证：平面;
(2）若平面, ，求证：平面平面.20．在中，为的对边，
(1）求的值；
(2）求的值．
21．在直角三角形中，,是的中点，如图所示，沿将翻折至的位置，使得平面平面.
(1）求三棱锥的体积；
(2)是线段上一个动点，且.
①当时，求二面角的余弦值：
②当与平面所成角的正弦值为时，则的值为 .