[数学]广东省惠州市惠东县2023-2024学年高二下学期期中试题(解析版)

这是一份[数学]广东省惠州市惠东县2023-2024学年高二下学期期中试题(解析版)，共13页。试卷主要包含了35B等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在等差数列中，，则的值是（ ）
A. 12B. 18C. 24D. 30
【答案】D
【解析】由题意可知：.故选:D
2. 若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】随机变量服从两点分布，其中，，
，
，
在A中，，故A正确；
在B中，，故B正确；
在C中，，故C错误；
D中，，故D正确.
故选：C
3. 离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，代替，分布列如下：则 （ ）
A. 0.35B. 0.45C. 0.55D. 0.65
【答案】B
【解析】由题意得，解得，
，解得，
故.
故选：B
4. 元宵节是中国传统节日，当天人们会吃汤圆、赏花灯、猜灯谜.小华爸爸手里有6个灯谜，其中4个事物谜，2个字谜，小华随机抽取2个灯谜，事件A为“取到的2个为同一类灯谜”，事件B为“取到的2个为事物谜”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，，，
所以，
故选：B.
5. 某同学利用电脑软件将函数，的图象画在同一直角坐标系中，得到如图的“心形线”.观察图形，当时，的导函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，，
所以轴下方的图象为函数的图象，
当时，函数单调递增，所以，故排除CD；
根据导数的几何意义可知，时，函数图象上每点处的切线斜率应先变小，再增大，故排除B，只有A正确.
故选：A
6. 若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立.
令，则，所以在上单调递增，则，所以.
故选:B.
7. 有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ）
A. 300B. 360C. 390D. 420
【答案】C
【解析】(1)当5人中有三人被录取，则不同的录取情况数为;
(2)当5人中有四人被录取，则不同的录取情况数为；
(3)当5人全部被录取，则不同的录取情况数为；
综上不同的录取情况数共有.
故选：C
8. 如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（ ）

A. 24B. 26C. 29D. 36
【答案】B
【解析】依题意，题中的等比数列为，故该数列前项和，则，
要使数列中只取得整数项，需使是5的正整倍数即可，即使的最末位是1或6即可，
于是新的数列的项依次为：4，6，9，11，14，16，19，21，24，26，29，31，，
故故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为数列的前n项和，已知对任意的，，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】数列中，对任意的，，
，，AC正确；
由，知的值无法确定，则通项也无法确定，BD错误.
故选：AC
10. 已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且各项系数的和为0，则（ ）
A.
B. 的展开式中的有理项有5项
C. 的展开式中偶数项的二项式系数之和为512
D. 除以9的余数为8
【答案】BD
【解析】由的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等可得：，
由组合数的对称性可得：，故选项A错误；
因为的展开式中各项系数的和为0，
所以令可得：，解得：.
则的二项式通项为.
由为整数可得：，
所以的展开式中的有理项有5项，故选项B正确；
因为展开式中偶数项的二项式系数之和为，故选项C错误；
因为，
所以除以9的余数为8，故选项D正确.
故选：BD.
11. 关于函数，下列判断正确的是（ ）．
A. 是的极大值点
B. 函数有且只有1个零点
C. 存在正实数，使得成立
D. 对任意两个正实数，且，若，则．
【答案】BD
【解析】对于选项A，函数的定义域为，函数的导数，
所以在内，，函数单调递减；
在上，，函数单调递增，
所以是的极小值点，故A错误；
对于选项B，由，
得，
由于分子判别式小于零，所以恒成立，
所以函数在，上单调递减，
且，
所以函数有且只有1个零点，故B正确；
对于选项C，若，可得，
令，则，
令，则，
所以在内，，函数单调递增；
在上，，函数单调递减，
所以，所以，
所以函数在上单调递减．
又因为当时，，
所以不存在正实数，使得恒成立，故C不正确；
对于选项D，设，即有，
，即为，
化为，
故，所以，
则，
设（），可得，
令，则在上恒成立，
可得，所以，故单调递增，
可得，故成立，故D正确．
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游客从上山到下山共有______种不同的走法
【答案】25
【解析】依题意，游客上山有5种方法，下山有5种方法，由分步计数乘法原理知，从上山到下山方法共有种，
所以游客从上山到下山共有25种不同的走法.
故答案为：25
13. 某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为________．
参考数据：若，则，，．
【答案】0.84
【解析】由题意知，该产品服从，则，
所以
，
又，
，
所以，
所以，
即.
所以抽到“可用产品”的概率为.
故答案为：0.84.
14. 若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】由得，设切点坐标，
则切线斜率，
切线方程为，
又因为切线过，所以，
整理得，
又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，
所以，解得或，
所以的取值范围是，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已如曲线在处的切线与直线垂直.
（1）求的值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
解：（1）由于的斜率为，所以，
又,故，解得，
（2）由（1）知，所以，
故当时，单调递增，
当时，单调递减，
故当时，取最小值，
要使恒成立，故，解得，
故的取值范围为
16. 在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的．
（1）求选手甲恰好正确作答2个题目的概率；
（2）记选手乙正确作答的题目个数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由．
解：（1）设事件A为“选手甲正确作答2个题目”，则．
故选手甲恰好正确作答2个题目的概率为．
（2）由题意得，，X的所有可能取值为0，1，2，3，
∴，，，，
∴X的分布列为
∴．
（3）设选手甲正确作答的题目个数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴可以认为选手乙晋级的可能性更大．
17. 在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
解：（1）设的公差为d（），
由，得，即．
由成等比数列可得，
即，
解得或（舍去），
所以，故．
（2）由（1）得，
所以．
18. 有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球．
（1）求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；
（2）设第次答题后游戏停止的概率为．
①求；
②是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由．
解：（1）记“此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一个球”，
“第次摸出红球，并且答题正确”，；
“第次摸出黑球，并且答题正确”，；
“第次摸出红球或黑球，并且答题错误”，，
所以．
又；；，
所以
．
同理：
所以．
（2）①第次后游戏停止的情况是：前次答题正确恰好为4次，答题错误次，且第次摸出最后一球时答题正确．
所以．
②由①知，所以．
令，解得；，解得．
所以，
所以的最大值是．
19. 已知函数，其中．
（1）当时，求的极值；
（2）讨论当时函数的单调性；
（3）若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围.
解：（1）当时，的定义域为，

当时，，当时，
在上单调递增，在上单调递减.
处取得极大值，
的极大值为，无极小值.
（2）函数的定义域为，
又．
当时，令则或．
①当，即时，当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减.
②当，即时，在上恒成立，在上单调递增.
③当，即时，当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
（3）有两个不同的零点、，
即有两个不同正实根，得有两个不同正实根，
即与有两个交点，
令，则，令，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
时，取得最大值，且，当时，
得的大致图像如图所示：

，解得，所以实数的取值范围为．
1
2
3
4
5
6
0.21
0.20
0.10
0.10
X
0
1
2
3
P
0.008
0.096
0.384
0.512