福建省福州日升中学2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷[附解析]

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（高一年级）
说明：全卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟；所有答案都必须填写在答案卷相应的
位置.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知向量 ．若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由 ，得 列方程求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，解得 .
故选：A
2. 已知 为纯虚数，则 （ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数乘法求出 ，再利用纯虚数的意义求解即得.
【详解】依题意， ，由 是纯虚数，得 ，
所以 .
故选：B
3. 已知直线 过 ， ，且 ，则直线 的斜率为（ ）
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A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用两点式求直线 的斜率，由垂直关系即可得直线 的斜率.
【详解】由题设 ，又 ，则直线 的斜率为 .
故选：A
4. 已知复数 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念以及复数的几何意义即可得到答案.
【详解】 ，
，即复数 在复平面内对应的点位于第三象限.
故选：C.
5. 已知圆柱的底面直径为 ，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为 的球面上，该圆柱的体积为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出球的半径以及圆柱的底面半径，在轴截面中，找到二者与圆柱的高之间的关系，即可求出圆
柱的高，从而求得圆柱的体积.
【详解】球的表面积为 ，可得其半径 ，
圆柱的底面直径为 ，半径为 ，
在轴截面中，可知圆柱的高为 ，所以圆柱的体积为 .
故选：D.
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6. 从装有 3 个黄球和 4 个蓝球的口袋内任取 3 个球，那么互斥不对立的事件是（ ）
A. 恰有一个黄球与恰有一个蓝球 B. 至少有一个黄球与都是黄球
C. 至少有一个黄球与都是蓝球 D. 至少有一个黄球与至少有一个蓝球
【答案】A
【解析】
【分析】利用互斥事件、对立事件 定义直接求解．
【详解】从装有 3 个黄球和 4 个蓝球的口袋内任取 3 个球，不同的取球情况共有以下 4 种：
①3 个球全是黄球；
②2 个黄球和 1 个蓝球；
③1 个黄球 2 个蓝球；
④3 个球全是蓝球．
对于 A，恰有一个黄球是情况③，恰有一个蓝球是情况②，
∴恰有一个黄球与恰有一个蓝球是互斥不对立的事件，故 A 正确；
对于 B，至少有一个黄球是情况①②③，都是黄球是情况①，
∴至少有一个黄球与都是黄球能同时发生，不是互斥事件，故 B 错误；
对于 C，至少有一个黄球是情况①②③，都是蓝球是情况④，
∴至少有一个黄球与都是蓝球是对立事件，故 C 错误；
对于 D，至少有一个黄球是情况①②③，至少有一个蓝球是情况②③④，
∴至少有一个黄球与至少有一个蓝球能同时发生，不是互斥事件，故 D 错误．
故选：A．
7. 雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.
如图，某同学为测量雷锋塔的高度 ，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物 ，高约为 ，在地面
上点 E 处（A，C，E 三点共线）测得建筑物顶部 B，雷锋塔顶部 D 的仰角分别为 和 ，在 B 处测得
塔顶部 D 的仰角为 ，则雷锋塔的高度约为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数表示斜边长，根据三角形内角和以及平行线性质可得角的度数，
在结合正弦定理，可得答案.
【详解】 中， ；在 中， ；
由图可知 ，易知 ，
在 中， ，根据正弦定理可得： ，
则 .
故选：C.
8. 如图，四边形 为平行四边形， ， 为线段 BE 的中点，若以 ， 为基底表示向
量 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的线性运算计算即可求解.
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【详解】∵ 为 的中点，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
则 ．
故选：C.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据 1，3，5，7，9，11，13 的第 60 百分位数为 9
B. 为了了解某地参加计算机水平测试的 5000 名学生的成绩，从中抽取了 200 名学生进行调查分析.在这个
问题中，被抽取的 200 名学生是样本
C. 用简单随机抽样的方法从 51 个个体中抽取 2 个个体，则每个个体被抽到的概率都是
D. 若样本 ， ，…， 的平均数和方差分别为 2 和 3，则 ， ，…， 的平均数和
方差分别为 8 和 27
【答案】AD
【解析】
【分析】对于 A，根据百分位数 定义计算判断，对于 B，根据样本的定义分析判断，对于 C，根据随机抽
样的性质分析判断，对于 D，根据平均数的性质分析判断．
【详解】对于 A，因为 ，所以第 60 百分位数为第 5 个数是 9，所以 A 正确；
对于 B，由题意可知被抽取的 200 名学生的成绩是样本，所以 B 错误；
对于 C，用简单随机抽样 方法从 51 个个体中抽取 2 个个体，则每个个体被抽到的概率都是 ，所以 C
错误；
对于 D，若样本数据 ， ， ， 的平均数为 2，方差为 3，
则 ， ， ， 的平均数为 ，方差为 ,所以 D 正确．
故选：AD．
10. 如果平面向量 ， ，那么下列结论中错误的是（ ）
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A. B.
C. 与 的夹角为 D. 在 上的投影向量的模为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由向量模长的坐标公式、向量共线的坐标公式、向量夹角的坐标公式以及投影向量的公式求解即
可.
【详解】对于 A， ，则 ，所以 A 错误；
对于 B， ，则 不平行，所以 B 错误；
对于 C， ，又 ，则 ，所以 C 错误；
对于 D， 在 上的投影向量的模为 ，所以 D 正确.
故选：ABC.
11. 重庆八中组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了 200 名学生进
行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在 50 分至 100 分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭
右开），如图所示，画出频率分布直方图，下列说法正确的是（ ）
A. 成绩在区间 内的学生有 46 人 B. 图中 的值为
C. 估计全校学生成绩的中位数约为 D. 估计全校学生成绩的 分位数为 90
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题目中的频率分布直方图，结合中位数和百分位数相关概念求解即可.
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【详解】对于 A，成绩在区间 内的学生有 人，故 A 错误；
对于 B，由图表可知， ，所以 ，故 B 正确；
对于 C，因为 ， ，
所以设全校学生成绩的中位数 ，
所以 ，解得 ，故 C 正确；
对于 D，设全校学生成绩的 分位数为 ，
则 ，解得 ，故 D 错误.
故选：BC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知向量 ， 的夹角为 ， ， ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】根据模长公式即可求解.
【详解】 ,
故答案为：
13. 在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ， ， 的面积等于 ，则 b
的大小为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形面积公式可得 ，即可根据余弦定理求解.
【详解】 ，
所以 ，
由余弦定理可得 ,
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故答案为：
14. 甲、乙两人进行篮球比赛，若甲投中的概率为 0.8，乙投不中的概率为 0.1，且两人投篮互不影响，若两
人各投篮一次，则两人中恰有一人投中的概率为______.
【答案】0.26##
【解析】
【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解.
【详解】由题意可得甲投中的概率为 0.8，乙投中的概率为 0.9，
所以两人中恰有一人投中的概率为
故答案为：0.26
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在锐角△ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ．
（1）求角 C 的大小；
（2）若 ，且 ，求△ABC 的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解；（2）根据余弦定理即可求解.
【小问 1 详解】
由 及正弦定理得
因为 ，故 ．
又∵ 为锐角三角形，所以 ．
【小问 2 详解】
由余弦定理 ，
∵ ，得
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解得： 或
∴ 的周长为 ．
16. 为了估计一批产品的质量状况，现对 100 个产品的相关数据进行综合评分（满分 100 分），并制成如图
所示的频率分布直方图.记综合评分为 80 分及以上的产品为一等品.
（1）求图中 a 的值，并求综合评分的平均数；
（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取 5 个产品，
再从这 5 个产品中随机抽取 2 个产品记录有关数据，求这 2 个产品中最多有 1 个一等品的概率；
（3）已知落在 的平均综合评分是 54，方差是 3，落在 的平均综合评分为 63，方差是 3，
求落在 的总平均综合评分 和总方差 .
【答案】（1） ，平均数为 81
（2）
（3） ，
【解析】
【分析】（1）根据频率和为 1 求得 ，结合加权平均数运算求解；
（2）根据分层抽样求各层人数，利用列举法结合古典概型运算求解；
（3）根据题意利用分层抽样的平均数和方差公式运算求解.
【小问 1 详解】
由频率和为 1，得 ，解得 ；
设综合评分的平均数为 ，
则 ，
所以综合评分的平均数为 81.
【小问 2 详解】
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由题意，抽取 5 个产品，其中一等品有 3 个，非一等品有 2 个，
一等品记为 a、b、c，非一等品记为 D、E；
从这 5 个产品中随机抽取 2 个，试验 样本空间
， ；
记事件 “抽取的这 2 个产品中最多有 1 个一等品”，
则 ， ，
所以所求的概率为 .
【小问 3 详解】
由题意可知：落在 的频率为 ，落在 的频率为 ，
所以 ，
.
17. 如图，在直三棱柱 中， ， ，四边形 为正方形.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明 平面 ，然后结合面面垂直的判定定理即可得证；
（2）根据定义得出 为二面角 的平面角，结合解三角形知识即可得解.
【小问 1 详解】
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由平面 为正方形，因为 ，所以 ，
又因为 ， ，所以 ，
所以 ，又 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，平面 平面 .
【小问 2 详解】
因为直角三角形 中， .
所以 ，所以 为等边三角形.
又因为 为等腰三角形.
所以取 得中点 ，连结 ， ，则 ， ，
所以 为二面角 的平面角.
因为直角三角形 中， .
在等边三角形中，
所以在三角形 中， .
所以二面角 的余弦值为 .
18. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 1 的正方形， 底面 ， ，
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是线段 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积；
（3）求直线 与底面 所成角的正切值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接 交 于 ，连接 ，先证明 ，再通过线面平行的判定定理即可；
（2）先证明 平面 ，即 为三棱锥 的高，再通过三棱锥的体积公式计算即可；
（3）取 中点 ，连接 ， ，证明 底面 ，即 为直线 与底面 所
成角的平面角，求解即可.
【小问 1 详解】
连接 交 于 ，连接 ，
底面 是正方形，
为 中点，又 是线段 的中点，
，
又 平面 ， 平面 ，
平面 .
【小问 2 详解】
因为 底面 ，
且 底面 ，
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所以 ，
又因为 ，
且 平面 ， ，
所以 平面 .
所以根据三棱锥的体积公式：
.
【小问 3 详解】
取 中点 ，连接 ， ，
， 分别为 ， 中点，
，又 底面 ，
底面 ，
为直线 与底面 所成角的平面角，
， ，
，
直线 与底面 所成角的正切值为 .
19. 在 中，内角 的对边分别为 的面积为 ，已知 ，且_______．在①
， 且 ， ②
这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，
并解答．（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
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（1）求 ；
（2）求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别就三种情况，运用正弦定理和余弦定理，三角形内角和与和角、差角公式对已知等式进
行合理变形，最后借助于角的范围即可求得；
（2）由正弦定理将边 分别用 的三角函数式表示，代入所求式，化简得 ，利用
角的范围和正弦函数的图象即得所求式的范围.
【小问 1 详解】
若选①，依题意， ，
由正弦定理， ，
则 ，整理得， ，
因 ，则有 ，
又 ，故 ；
若选②，由 ，
因 ，代入得， ，
展开整理得， ，即 ，
因 ，则有 ，由正弦定理， ，
又因 ，故得 ，
因 ，则 ；
若 选 ③ ， 因 为 ， 所 以 ， 即
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，
由余弦定理，得 ，
在三角形中 ，则 或 （舍），
故 ．
【小问 2 详解】
因为 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ．
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