江苏扬州2024~2025学年高二下册6月期末考试数学试题[含解析]

这是一份江苏扬州2024~2025学年高二下册6月期末考试数学试题[含解析]，共25页。试卷主要包含了 若集合，则， 函数的大致图象为， 已知函数则下列说法正确是， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式得到，然后求交集.
【详解】，所以.
故选：A.
2. 已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线的方向向量与共线判断.
【详解】由题意得直线的方向向量与共线，
而，所以是该直线的方向向量.
故选：D.
3. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的大小，结合排除法进行排除即可.
【详解】根据题意，函数，定义域为R，
，
则是奇函数，图象关于原点对称，排除CD，
又，排除A.
故选：B.
4. 命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据命题为假命题，则否命题为真命题，根据否命题列出不等式，求解即可．
【详解】因为“”是假命题，
所以“”是真命题，则，解得，
故选：C．
5. 已知是三个不共面的向量，，且四点共面，则实数的值为（ ）.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间共面向量定理设，再列方程组，解方程组即可求解.
【详解】因为，
且四点共面，
由空间共面向量定理可知，存在实数满足，
即，
所以，解得，所以的值为.
故选：D.
6. 已知函数则下列说法正确是（ ）
A. 是上的增函数
B. 的值域为
C. “”是“”的充要条件
D. 若关于的方程恰有一个实根，则
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，举例判断，对于B，先求出每一段的值域，再可求出函数的值域，对于C，由解不等式，再结合充要条件的定义分析判断，对于D，画出函数图象分析判断即可.
【详解】对于A，当时，，所以不是上的增函数，所以A错误，
对于B，当时，，当时，，
所以的值域为，所以B错误，
对于C，当时，由，得，解得，
当时，由，得，解得，
综上，由，得，或，
所以“”是“”的充分不必要条件，所以C错误，
对于D，的图象如图所示，
由图可知当时，直线与图象只有一个交点，
即关于的方程恰有一个实根，所以D正确，
故选：D
7. 五一劳动节放假5天，小王同学各花1个上午的时间游览茱萸湾风景区､双博馆，另外花2个下午的时间打篮球､1个下午的时间踢足球，其余时间复习功课，这个五一劳动节小王同学的不同安排有（ ）种.
A. 300B. 600C. 900D. 1200
【答案】B
【解析】
【分析】分上午和下午分别计数，根据分步乘法原理求解.
【详解】先从5个上午中选两个去游览茱萸湾风景区､双博馆，有种，
再从5个下午中选两个打篮球，选1个踢足球，有种，
根据分步乘法原理，共有种.
故选：B
8. 若为函数的极大值点，则实数的取值范围为（ ）.
A. B.
C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求导函数，再分类讨论大小根据极值点求参数.
【详解】因为若为函数的极大值点,
所以,
,
当,单调递减，单调递增,
所以是的极大值点符合题意；
当时，
当即,单调递增,单调递减，
所以是的极大值点符合题意；
当即,单调递增,单调递减，
所以是的极小值点不符合题意；
当即单调递增,无极值点不符合题意.
故或.
故选：C.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）.
A. 利用线性回归方法求出一组数据的线性回归直线方程，则这组数据确定的点中至少有一个在这条直线上
B. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
C. 若随机变量服从二项分布，则的方差为2
D. 若随机事件满足，则事件与相互独立
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，根据线性回归直线的含义判断；B选项，根据残差的含义判断；C选项，根据二项分布方程的公式计算；D选项，根据条件概率和乘法公式判断.
【详解】样本中心点在线性回归直线上，但这组数据确定的点不一定在线性回归直线上，故A错；
在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模拟的你和精度越高，故B正确；
，故C错；
，则，所以事件与相互独立，故D正确.
故选：BD.
10. 若为正整数且，则下列等式中正确的是（ ）.
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据组合数的性质判断ABC选项；根据二项式展开式判断D选项.
【详解】根据组合数的性质可知AC正确；
，故B错；
，故D正确.
故选：ACD.
11. 棱长为2的菱形中，，将沿折起，使顶点至点，连接，构成三棱锥.设二面角的大小为，直线和直线所成角为.在折起的过程中，下列说法正确的是（ ）.
A. 任取三棱锥中的三条棱，它们共面的概率为0.2
B. 存在一个位置，使
C. 当时，三棱锥的外接球的表面积为
D. 当时，的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用古典概型的概率公式直接求解判断；当时，能证出平面，即能证出.首先找出即为二面角的平面角，，在三棱锥中通过提外心的方法求出外接球的半径；建系求解D选项即可.
【详解】任取三棱锥中的三条棱，有种，
其中共面一共有种，故概率为，故A对；
如图：若，则为等边三角形，取的中点，
，同理，，平面，
所以平面，
平面，所以.故B对.
设，连接，因为与都是等边三角形，
则有，即为二面角的平面角，，
与的中心依次为，设平面，平面
，则为外接球的球心，
，，则四边形外接圆的直径为，
，在直角中，利用勾股定理得到，
在中，利用勾股定理得，
外接球的表面积为.所以C错；
在点处建系，为轴，为轴，则，,，，
，，
则，
，，则 ，
的最大值为，故D对.
故选：ABD.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设随机变量服从正态分布，若，则__________.
【答案】0.2
【解析】
【分析】根据正态分布的性质计算可得.
【详解】随机变量服从正态分布，正态曲线的对称轴，有，
由，则.
故答案为：0.2
13. 将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归方程为.经计算可知：，则__________.
参考公式：.
【答案】##1.875
【解析】
【分析】根据参考数据及公式先利用相关系数求出，再求即可.
【详解】因为，
所以，
由，
解得，
所以.
故答案为：
14. 定义域为的函数满足，且时，，则__________，__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】令，求出，令，求出，令，求出，令，可求出函数的周期，令，可得，再根据函数的周期性即可求出.
【详解】由，
令，则，所以，
令，则，所以，
令，则，
即，即，
所以，
所以函数是以为周期的周期函数，
令，则，即，
又时，，所以，
令，则，
所以，即，
所以，
则，
由，得，
由，得，
所以
.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是采用赋值法结合已知条件得到函数的周期性.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知集合.
（1）求；
（2）若实数，集合，且“”是“”的必要条件，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意先求集合，再根据并集运算求解；
（2）先求集合C，由必要条件可知，根据包含关系分析求解.
【小问1详解】
因为，解得，即；
又因为，解得，即；
所以.
【小问2详解】
因为，且，可知，
解得，即，
若“”是“”的必要条件，
则，即，可得，
所以的取值范围为.
16. 已知，且.
（1）求与的值；
（2）求的值.
【答案】（1）448，-448
（2）-3280
【解析】
【分析】（1）根据列方程得到，然后求，将变形为，然后利用二项式的性质求；
（2）利用赋值法求系数和即可.
【小问1详解】
由题可知，
即，即，
所以（舍）或.
所以；
因为①，
所以.
【小问2详解】
在①式中，令，则②，
令，则③，
由②-③得，，
所以.
17. 已知三棱柱的棱长均为.
（1）证明：平面平面；
（2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，可证得，，则平面，然后利用面面垂直的判定定理可证得结论；
（2）以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【小问1详解】
证明：取的中点，连接，
所以，
所以，所以，
由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以，
因为，所以，所以，
又因为平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
【小问2详解】
由（1）可知两两垂直，
所以以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
所以，
.
因为，则，
设平面的法向量为，
则即
取，
所以是平面的一个法向量.
设直线与平面所成角为，
，
化简整理得
解得，或（舍去），
所以，
又因为，
所以.
设点到直线的距离为，则，
所以.
18. 为了解某挑战赛中是否接受挑战与受邀者的性别是否有关系（假设每个人是否接受挑战互不影响，且受邀者男性与女性的比例为），某机构进行了随机抽样调查，得到如下调查数据（单位：人）：
（1）根据表中数据，判断是否有的把握认为比赛中是否接受挑战与受邀者的性别有关；
（2）现从这100人中任选1人，表示“受邀者接受挑战”，表示“受邀者是男性”，记，则可表示受邀者接受挑战与受邀者的性别相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值；
（3）用频率估计概率，在所有受邀者中按“男性”和“女性”进行分层抽样，随机抽取5名受邀选手､若再从这5名选手中随机抽取2人进行访谈，求这2名被访谈的选手中接受挑战的男性的人数的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
【答案】（1）有的把握认为是否接受挑战与受邀者的性别有关.
（2）3 （3）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）根据列联表中的数据计算，与6.635比较大小，得出结论.
（2）先根据条件概率公式求，，再根据定义，求的值.
（3）列出的可能值，结合条件概率，求出对应的每一个值的概率，可得的分布列，再求期望.
【小问1详解】
假设：是否接受挑战与受邀者性别无关.
根据列联表中数据可以求得
，
由于，且当成立时，，
所以有的把握认为是否接受挑战与受邀者的性别有关.
【小问2详解】
，
同理，所以.
【小问3详解】
由分层抽样知，随机抽取的5名受邀选手中，男性有3人，女性有2人.
根据频率估计概率知，男性选手接受挑战的概率为，不接受挑战的概率为.
可能得取值为，
3名被抽取的男性选手中，恰抽到人被访谈记为事件，
则，
被访谈的2名选手中接受挑战的男性人数恰好为人记为事件，
则，
，
所以
，
，
.
故的分布列如下：
.
【点睛】方法点睛：在问题（3）中，分层抽样得到得5个人中，由3男2女，包含事件：①从5人中抽出的2人都不是男生；②从5人中抽出的2人有1个男生，但他拒绝挑战；③从5人中选出的2人都是男生，但他们都拒绝挑战，所以的概率应该用条件概率来求，类似的，，也要考虑的周全一些.
19. 已知函数.
（1）当时，直线（为常数）与曲线相切，求的值；
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）若有两个零点，求证：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数几何意义先求切点，即可得解；
（2）方法一：利用导数求函数的最小值；
方法二：分离参数法，等价于恒成立；
方法三：由题意，分离参数法，等价于恒成立；
（3）方法一：思路一：构造函数，利用导数研究函数单调性；思路二：要证，即证，令，即证；思路三：令，要证，即证，即证，即证，利用导数证明；
方法二：由，令，求其最小值，由的单调性可知，思路一：构造函数，利用导数得证；思路二：令，要证，即证，即证；思路三：令，则，要证，即证，即证；思路四：对两边取对数，得，下面同方法一.
【小问1详解】
当时，.
设切点，则
消得，解得，代入得.
【小问2详解】
方法一：因为，
所以，
当时，设，则，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以.
又-axe，故恒成立，所以成立.
当时，，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
故，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为.
方法二：因为恒成立，
又，所以上式等价于恒成立.
记，则，
设，则.
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
所以.
所以当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
所以.
故的取值范围为.
方法三：因为恒成立，
又，所以上式等价于恒成立.
记，则，
所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.所以.
令，则，则恒成立.
记，则，
所以在上单调递增，所以，所以.
故的取值范围为.
【小问3详解】
方法一：因为有两个零点，不妨设，
则，
即，即，
令，则，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以.
令，则单调递增，
又，所以，即.
由的单调性可知.
思路一：构造函数.
则，
故上单调递减，
又，所以，则，即，
又，所以，
又在上单调递增，所以.
故.
思路二：要证，即证，即证.
令，即证.
构造函数.
则，
故在内单调递减，则，即.
故.
思路三：因为，即，
令，则
即
要证，即证，
即证，即证，
下同思路一，略.
方法二：因为有两个零点，不妨设，
则，
即.
令，则，
所以当时，单调递减；当时，单调递增.
所以.
令，则单调递增，
又，所以，即
由的单调性可知.
思路一：构造函数.
则
，
令，则，
所以当时，单调递减，
所以当时，，则，所以，
故在上单调递减，又，所以，则，即，
又，所以，
又在上单调递增，所以.
故.
思路二：因为，所以，
即，
令，要证，即证，
即证.
构造函数.
则，
故在上单调递减，则.
故.
注：要证明，即证，构造函数.
则，
故在上单调递减，则.故.
思路三：令，则即.
要证，即证，即证.
下同思路二，略.
思路四：对两边取对数，得，下面同方法一.
【点睛】方法点睛：
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
接受挑战
不接受挑战
合计
男性
40
20
60
女性
16
24
40
合计
56
44
100
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0
1
2