江苏南京金陵中学2024~2025学年高一下册期末考试数学试题[学生卷]

这是一份江苏南京金陵中学2024~2025学年高一下册期末考试数学试题[学生卷]，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 已知数据3，7，a，6的平均数是4，则这组数据的标准差为（ ）
A. B. C. D.
3. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（ ）
A. A与B互斥B. B与C互为对立C. A与B相互独立D. A与C相互独立
4. 已知两个不重合的平面，，三条不重合的直线a，b，c，则下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C ，，，，则D. ，，，则
5 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知非零向量，满足，且，则向量，的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，正方体的棱长为3，线段上有两个动点E，F，且，则三棱锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图是古希腊数学家波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC的斜边AB，直角边BC，AC，N为AC的中点，点D在以AC为直径的半圆上，已知，，则以直角边AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为（ ）
A. 16∶9B. 144∶25C. 225∶64D. 160∶81
二、选择题：本题共3小照，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 已知复数，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10. 已知向量，，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 与一定不是平行向量
C. 的最大值为
D. 若，且在上的投影向量为，则与的夹角为
11. 如图，四边形ABCD是边长为2a的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将，，分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，则（ ）
A. AP⊥EF
B. 点P在平面AEF内的射影为的外心
C. 二面角的正弦值为
D. 四面体外接球的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．
13. 甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，那么三人中恰有两人合格的概率是________．
14. 如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知复数．
（1）若，求；
（2）若，且是纯虚数，求．
16. 某学校承办了2024年某次大型体育比赛的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求a、b值，并估计这100名候选者面试成绩的中位数；
（2）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．（要求列出样本空间进行计算）
17. 如图，在直三棱柱中，M为棱AC的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
18. 如图，已知中，，，，M，N为线段上两点，且．
（1）若，求的值；
（2）设，试将的面积S表示为的函数，并求其最大值．
（3）若，求的值．
19. 已知如图一，在矩形ABCD中，，．将沿BD折起，得到大小为的二面角．
（1）当时，求与平面BCD所成角的正切；
（2）当时，求B到平面距离；
（3）①当，求的值；
②如图二，在三棱锥中，已知，，，二面角的大小为，试直接写出利用，，的三角函数表示的结论，不需要证明．