江苏灌云县第一中学2024~2025学年高一下册期末阶段性检测数学试题[含解析]

这是一份江苏灌云县第一中学2024~2025学年高一下册期末阶段性检测数学试题[含解析]，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合要求.
1. （ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量加减运算可得结果．
【详解】，
故选：A．
2. 掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数为，设事件＝“为3”，＝“为4”，＝“为奇数”，则下列结论正确的是( )
A. 与为互斥事件B. 与为对立事件
C. 与为对立事件D. 与为互斥事件
【答案】A
【解析】
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义作出判定.
【详解】依题意可知:事件与不可能同时发生，互斥，但不是对立事件；
显然与可以同时发生，不是互斥事件，更不是对立事件.
3. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由复数的四则运算法则化简求出，再由共轭复数的定义，复数的概念，即可得到所求．
【详解】，，
，，
，
的共轭复数的虚部为，
故选：．
4. 某学校有学生2500人，教师350人，后勤职工150人，为了调查队食堂服务的满意度，用分层抽样从中抽取300人，则学生甲被抽到的概率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：根据分层抽样的特点可以知道,抽取的学生为人,则学生甲被抽到的概率,所以A选项是正确的.
考点：分层抽样.
5. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意求出圆锥的底面圆的半径和圆锥的高，根据圆锥的体积公式计算即可．
【详解】圆锥的侧面展开图是一个半径为，弧长为的扇形，
设圆锥底面圆的半径为，则，故，
又圆锥的母线为，故高为，
故该圆锥的体积为．
故选：C.
6. 在正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据异面直线夹角的定义结合余弦定理运算求解.
【详解】连接，设正四面体的棱长为2，
因为分别为的中点，则//，
所以异面直线，所成角为（或其补角），
在中，则，
由余弦定理可得，
所以异面直线，所成角的余弦值为.
故选：A.

7. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．
【详解】因为
，
所以，
故选：D
8. 已知的外接圆的圆心为，且，，则的最大值为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理得到，利用向量数量积公式得到，由求出答案.
【详解】由正弦定理得，故，
因为，所以，
则
，
因为，则，
故.
故选：C
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体
被抽到的概率是0.1
B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32
【答案】AC
【解析】
【分析】分别利用古典概型的计算公式，方差和标准差的计算公式及其百分位数的定义求解即可.
【详解】对于选项,个体被抽到的概率为，故该选项正确；
对于选项，，解得，
则方差为，故该选项错误；
对于选项,数据27，12，14，30，14，17，19，23从小到大排列为，12，14，14，17，19，23，27，30，
由于%，其中第6个数为23，故该选项正确；
对于选项,设数据，，…，的均值为，
则数据，，…，的均值为，
因为数据，，…，的标准差为，
所以数据，，…，的标准差为
，故该选项错误；
故选：AC.
10. 设，为两条不重合的直线，为一个平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据空间中线面之间的位置关系，判断各选项即可.
【详解】对于A，直线可能在平面内，可能与平面相交，也可能平面平行，故A错误.
对于B，设直线为平面内的任意一条直线，因为，，所以，
又，所以，即b与内任意直线垂直，所以，故B正确.
对于C，若，，则直线与直线可能平行，也可能异面，故C错误.
对于D，过直线作平面，使得平面与平面相交，设，
因为，，，所以，
又，，所以，则，故D正确.
故选: BD
11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 存在点，使四点共面
B. 存在点，使平面
C. 三棱锥的体积为
D. 经过四点的球的表面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】连接，证得和，得到，可判定A正确；连接，证得，利用线面平行的判定定理，可证得B正确；连接，结合，可判定C错误；分别取的中点，构造长方体，结合正方体的性质和球的表面积公式，可判定D正确.
【详解】对于A中，如图所示，在正方体中，连接，
因为分别是的中点，所以,
又因为，所以，所以四点共面，
即当与点重合时，四点共面，所以A正确；
对于B中，连接，当是的中点时，
因为，所以，
因为平面，平面，所以平面，所以B正确；
对于C中，连接，因为，
则，所以C错误；
对于D中，分别取的中点，构造长方体，
则经过四点的球即为长方体的外接球，
设所求外接球直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径，
即，
所以经过四点的球的表面积为，所以D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 给定数，，，，，，，，，，则这组数据的中位数是_________．
【答案】5
【解析】
【分析】理解中位数的概念，即可得答案．
【详解】根据题意，将数据从小到大排列为：，，，，，，，，，，
则数据的中位数为，
故答案为：．
13. 已知直三棱柱的侧棱长为，直三棱柱底面的直观图是一个等腰直角三角形如图，斜边长，则该直三棱柱的侧面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题设及斜二测法知 在原图上的对应边长分别为 、 ，根据直棱柱侧面积公式求其侧面积即可．
【详解】由题意知： ，
斜二测法知：原直三棱柱中， 的对应边长为 ， 对应边长为 ，且 对应边长不变，
故底面周长为 ，而直三棱柱的侧棱长为，故其侧面积为 ．
故答案为： .
14. 已知事件与相互独立，，，则______．
【答案】0.88
【解析】
【分析】根据独立事件乘法公式求出，从而利用求出答案.
【详解】因为事件与相互独立，
所以，
所以．
故答案为：0.88
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量．
（1）若向量的夹角为锐角，求x的取值范围；
（2）若，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的夹角为锐角，得到，且与不共线，进而列式求解即可；
（2）根据向量坐标运算法则得到，再结合向量垂直的相关知识得到，进而求解向量的模.
【小问1详解】
因为向量的夹角为锐角，
所以，且与不同向共线，
则，解得且，
故x的取值范围为
【小问2详解】
由，得，
若，则，即，解得，
所以，
所以
16. 为打造精品赛事，某市举办“南粤古驿道定向大赛”，该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展.本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组，现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度，得到如下统计表和频率分布直方图：
（1）求a，b的值；
（2）估计本次大赛所有选手的平均速度（同一组数据用该组数据的中间值作代表，最终计算结果精确到0.01）；
（3）通过分层抽样从成年组和专业组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人接受采访，求接受采访的2人都来自“成年组”的概率.
【答案】（1），；（2）9.05千米/小时；（3）.
【解析】
【分析】（1）由频率和为1，求出的值，再由频率分布直方图求出少年组的频率，而少年组的人数为300人，从而可求出总人数，进而可求出的值；
（2）利用平均数的公式求解即可；
（3）先利用分组抽样的定义求出成年组和专业组的人数，然后利用列举法求解即可
【详解】（1）由频率分布直方图可知
，
∴.
少年组人数为300人，频率，总人数人，
∴.
∴，.
（2）平均速度
，
∴估计本次大赛的平均速度为9.05千米/小时.
（3）成年组和专业组的参赛人数分别为600人、300人.
设在成年组和专业组抽取的人数分布为x，y，
则.
∴，.
∴由分层抽样在成年组中抽取4人，专业组中抽取2人.
设成年组中的4人分别用A，B，C，D表示；专业组中的2人分别为a，b表示.
从中抽取两人接受采访的所有结果为：
AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共15种.
接受采访的两人均来自成年组的所有结果为：
AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种.
故接受采访两人都来自成年组的概率为.
17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求边上中线的长.
【答案】（1）；
（2）若，则边上中线的长为；
若，则边上中线的长为；
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将条件化为边的关系可得，再结合余弦定理求；
（2）利用正弦定理化边为角，结合（1）角，解三角形求边上中线的长.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，
由余弦定理可得，又，
所以，
【小问2详解】
由可得，
所以，，
所以或，
所以或，
若，则，
又，所以，
设的中点为，
所以边上中线的长为，

若，则，为等边三角形，
因为，所以，
设的中点为，
所以边上中线的长为.

18. 如图，三棱柱中，，，，，．

（1）证明：．
（2）求三棱柱的体积．
（3）求二面角的平面角余弦值大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）3 （3）
【解析】
【分析】（1）取中点，连结，，，则可得为正三角形，而，再结合等腰三角形性质可证得平面，从而可证得结论；
（2）利用勾股定理的逆定理可得，则平面，从而可求得其体积；
（3）过作于点，连接，可得即为二面角的平面角，在中可求得结果.
【小问1详解】
取中点，连结，，，
，，
是正三角形，．
，，
，平面平面，
∴平面．
又平面，；
【小问2详解】
由题设知与都是边长为2的等边三角形，所以．
又，则，故．
因为，
所以平面，即为三棱柱的高，
又的面积，
故三棱柱的体积．
【小问3详解】
过作于点，连接，
因为，，，平面，
所以平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，
故，．
则即为二面角的平面角．
在中：，，
所以，
所以．

19. 已知函数.
（1）当，且的最大值为，求的值；
（2）方程在上两解分别为、，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，令，可得，再令，可将问题转化为二次函数在上的最大值为，利用二次函数的基本性质可求出实数的值；
（2）设，由题意求得，，，由两角差的余弦公式可求出的值，求出的取值范围，进而利用二倍角余弦公式可求出的值.
【详解】（1），
当时，令，则，则.
，
令，令，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，二次函数在区间上单调递减，
则，不合乎题意；
②当时，二次函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则，解得或（舍）；
③当时，二次函数在区间上单调递增，
则，解得（舍）.
综上所述，；
（2）设，，则，
由于正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
由，得，
因为方程在上的两解分别为、，
则，必有，，
所以，，同理，
，
由于，且，，则，
由，可得.
【点睛】本题考查利用二次型正弦函数的最值求参数，同时也考查了由正弦型函数的解求三角函数值，考查计算能力，属于中等题.组数
速度（千米/小时）
参赛人数（单位：人）
少年组
300
成年组
600
专业组