福建福州八县[]协作校2024~2025学年高一下册期末联考数学试题[含解析]

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一､选择题：（本大题有8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知角的终边与单位圆交于点,则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义即可求出．
【详解】根据三角函数的定义可知，．
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角函数的定义的应用，属于基础题．
2. 下列叙述正确的是（ ）
A. 互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B. 若事件发生的概率为，则
C. 频率是稳定的，概率是随机的
D. 5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小
【答案】B
【解析】
【分析】由互斥事件及对立事件关系，频率与概率的关系及随机事件的概率逐一判断即可得解.
【详解】解：对于A，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，即A错误；
对于B，事件发生的概率为，则，即B正确；
对于C，概率是稳定的，频率是随机的，即C错误；
对于D，5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性都为，即D错误，
即叙述正确的是选项B，
故选：B.
【点睛】本题考查了互斥事件及对立事件的关系，重点考查了频率与概率的关系及随机事件的概率，属基础题.
3. 已知复平面内的点A，B分别对应的复数为和，则向量对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求得坐标，进而得到，根据复数的几何意义即可求解.
【详解】解：由题可得，故，则向量对应的复数为.
故选：D.
4. 已知点D是所在平面上一点，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的加法、减法法则运算即可得到答案．
【详解】解：由题意：为所在平面内的一点，
，所以
所以
故选：．
5. 某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多12人，则（ ）
A. 990B. 1320C. 1430D. 1560
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得出样本中男生和女生所占的比例分别为和，于是得出样本中男生与女生人数之差为，于此可求出的值．
【详解】依题意可得，解得，故选：B．
【点睛】本题考考查分层抽样的相关计算，解题时要利用分层抽样的特点列式求解，考查计算能力，属于基础题．
6. 在四边形中,若,且,则四边形为( )
A. 梯形B. 菱形
C. 矩形D. 正方形
【答案】C
【解析】
【分析】由平面向量的概念与平面四边形的判定定理判断
【详解】由知四边形为平行四边形，
又由得对角线，故四边形为矩形．
故选：C
7. 记函数(其中，)的图像为，已知的部分图像如图所示，为了得到函数，只要把上所有的点（ ）
A. 向右平行移动个单位长度
B. 向左平行移动个单位长度
C. 向右平行移动个单位长度
D. 向左平行移动个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图象可得周期，求出，根据图象上最低点求出，再根据平移变换可得结果.
【详解】由图象可知周期，所以，
又图象上一个最低点为，所以，
所以，，即，，
因为，所以，所以，
所以为了得到函数，只要把上所有的点向右平行移动个单位长度.
故选：A
【点睛】关键点点睛：根据图象求出和是解题关键.
8. A，B，C，D是半径为4的球面上的四点，已知AB=5，BC=3，cs∠BAC=，当AD取得最大值时，四面体ABCD的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据余弦定理确定为直角三角形，求出球心到平面的距离，
又当AD为直径时取得最大值，得到到平面的距离，即可得到四面体ABCD的体积.
【详解】在中，，
解得，则，∴
设球心到平面的距离为，则.
当AD为直径时取得最大值，点到平面的距离为，
故四面体的体积.
故选：D
二､多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 若角为钝角，且，则下列选项中正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用平方关系得到值，再求解，即可解得.
【详解】，解得：，故D正确；
，
是钝角， ，即，
联立，解得： ，.
故选：BD
10. 某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加“网络安全知识竞赛”，于是抽取了甲、乙两人最近同时参加校内竞赛的十次成绩，将统计情况绘制成如图所示的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（ ）
A. 乙的成绩的极差为7
B. 甲的成绩的平均数与中位数均为7
C. 甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差
D. 甲从第二次到第三次成绩的上升速率要大于乙从第六次到第八次的上升速率
【答案】BD
【解析】
【分析】结合折线图，找到甲乙每次的成绩，然后逐项分析即可.
【详解】对A：找到乙的成绩的最小值为2.最大值为10，所以极差为8，故A错误；
对B：甲的十次成绩从小到大排列：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位数为，平均数为
，故B正确；
对C：从折线图可以看出乙的成绩比甲的成绩波动更大，所以甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差，故C错误；
对D：从折线图可以看出甲从第二次到第三次成绩上升速率要大于乙从第六次到第八次的上升速率，故D正确.
故选：BD.
11. 一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离12海里，灯塔C在A的北偏西，距离为12海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，下面结论正确的有（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根据题意画出平面图，再根据正、余弦定理解三角形即可得答案.
【详解】解：如图：在中，，
由正弦定理有， ，故A正确.
在中，由余弦定理得，
因为， 所以，故B正确
由正弦定理得，
所以，故或者，
因为，故为锐角，所以，故C不正确，D正确.
故选：ABD.
12. 正方体为棱长为2，动点，分别在棱，上，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，设，，其中，下列命题正确的是（ ）
A. 当时，为矩形，其面积最大为4；
B. 当时，的面积为；
C. 当，时，设与棱的交点为，则；
D. 当时，以为顶点，为底面的棱锥的体积为定值.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意可知，当，变化时，截面为不同的图形，所以根据选项逐一判断即可．
【详解】解：对A：
当时，点与点重合，所以，此时为矩形，当点与点重合时，的面积最大，，故选项A错误；
对B：
当，时，为的中位线，，
，，为等腰梯形，
过作于，，，，，
，
的面积为，故选项B正确；
对C：
由图可设与交于点，可得，，
，则，，故选项C正确；
对D：
如图，当时，以为顶点，为底面的棱锥为，，故选项D正确；
故选：BCD．
三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知复数满足，则的虚部是________．
【答案】
【解析】
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】解：由，
得，
的虚部是．
故答案为：．
14. 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃.
【答案】20.5##
【解析】
【分析】根据题意列出方程组，求出，A，求出年中12个月的平均气温与月份的关系，将x＝10代入求出10月份的平均气温值．
【详解】据题意得 ，
解得 ，
所以
令 得 .
故答案为：20.5
15. 如图：在三棱柱中，已知⊥平面ABC，，当底面满足条件___________时，有.
【答案】
【解析】
【分析】利用线面垂直的性质定理可以得到线线垂直.
【详解】当底面满足条件时，有.
理由如下：⊥平面ABC，
四边形是正方形
//
又，，
//

所以当底面满足条件时，有.
故答案为：.
16. 若点P是△ABC内的一点，且满足，则=___________.
【答案】
【解析】
【分析】由得到P为重心，由，得到P又为垂心，得到三角形为等边三角形，根据以及向量数量积公式和解直角三角形得到边长为，即可求出三角形的面积.
【详解】
，则
，
由平行四边形法则，得延长交于中点，
同理，延长交于中点，所以为重心；
即,同理，所以又为垂心，
所以三角形为等边三角形，
，
，
.
故答案为：.
四､解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知向量，，，且，．
（1）求与；
（2）若，，求向量，的夹角的大小．
【答案】（1），；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据向量平行和向量垂直的坐标表示即可求出答案；
（2）进行向量加法和数乘的坐标运算即可得出，然后再根据向量数量积的定义及其坐标表示即可求出答案．
【详解】解：（1）由得，解得，
由得，解得，
∴，；
（2）由（1）知，，，
∴，
∴向量，的夹角为．
【点睛】本题主要考查平面向量平行与垂直的坐标表示，考查平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于基础题．
18. 已知函数
（1）求该函数单调递增区间；
（2）用“五点法”作出该函数一个周期的图像.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据正弦型函数的单调性，整体代入求解即可；
（2）令依次等于0，，，，2，求出x，计算的值，列表，描点，连线即可.
【小问1详解】
解：当，时，单调递增,
解得：,
故的单调递增区间为：.
【小问2详解】
先列表
19. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱BC上一点．
（1）若AB＝AC，D为棱BC的中点，求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
（2）若A1B∥平面ADC1，求的值．
【答案】（1）详见解析（2）1
【解析】
【详解】（1）因为AB＝AC，点D为BC中点，所以AD⊥BC．
因为ABC－A1B1C1 是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC．
因为ADÌ平面ABC，所以BB1⊥AD．
因为BC∩BB1＝B，BC平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1，
所以AD⊥平面BCC1B1．
因为AD平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BCC1B1
（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，所以O为AC1中点．
因为A1B∥平面ADC1，A1B平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，
所以A1B∥OD．
因为O为AC1中点，所以D为BC中点，
所以＝1．
考点：面面垂直判定定理，线面平行性质定理
20. 为普及抗疫知识，弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛，比赛分两轮进行，每位选手都必须参加两轮比赛，若选手在两轮比赛中都胜出，则视为该选手赢得比赛.现已知甲、乙两位选手，在第一轮胜出的概率分别为，，在第二轮胜出的概率分别为，，甲、乙两位选手在一轮二轮比赛中是否胜出互不影响.
（1）在甲、乙二人中选派一人参加比赛，谁赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人都参加比赛，求至少一人赢得比赛的概率.
【答案】（1）甲；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲赢得比赛的概率和乙赢得比赛的概率，即可判断；
（2）设表示“甲赢得比赛”， 表示“乙赢得比赛”， 表示“两人中至少有一个赢得比赛”， 由，即可求出．
【详解】（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则
“甲赢得比赛”，.
“乙赢得比赛”，.
因为，所以派甲参赛获胜的概率更大.
（2）由（1）知，设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，
则；.
于是“两人中至少有一人赢得比赛”
.
21. 某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客.某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务.为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查，来模拟饮品店开卖之后的利润情况，考虑沙滩承受能力有限，超过1.4万人即停止预约，以下表格是160天内进入沙滩的每日人数的频数分布表.
（1）绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图（用阴影表示），并求a和这组数据的65%分位数；
（2）据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，X（单位：个）为该沙滩的人数（X为10的倍数，如有8006人，则x取8000）.每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理.若该店每日准备1000杯饮品，记Y为该店每日的利润（单位：元），求Y和X的函数关系式.以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率.
【答案】（1）频率分布直方图答案见解析，，65%分位数
（2）;.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布表可得，根据百分位数的计算公式可得65%分位数，结合频率分布表画出频率分布直方图即可；
（2）根据题意可得当时，元；当时，根据频率分布表可得当时，利润不低于7000元，计算的概率即可.
【小问1详解】
解：由总天数为160，则，
由图表知道人数在1.0以下的是50%，在1.2以下的是80%，
我们不妨假设1.0到1.2是均匀分布的，，
所以65%分位数；
画出频率分布直方图如图所示：
【小问2详解】
由题意知，当时，元；
当时，，
所以，
设销售的利润不少于7000元的事件记为A.实际上得到，
此时.
22. 已知函数为奇函数，且当时，.
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，试确定n的值，并求的值.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）由求出最小正周期，求出，，根据为奇函数求出，求出的解析式；
（2）求出，得到，换元后结合函数图象得到，利用函数对称性得到，从而得到的值.
【小问1详解】
因为时，
∴，
∴，
又为奇函数，
∴，即，
∵，∴，
∴，
【小问2详解】
由题意可得，，
令，则，
∵，∴，
令，则
函数在上的图象如下图所示，
由图可知，与共有5个交点，
∴在上共有5个根，即，
∵
∴0
2
x
0
1
0
-1
0
人数（万）
频数（天）
8
8
16
24
a
48
32