山东省德州市庆云县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

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一、单选题
1．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知中，a、b、c分别是的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）
A．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
B．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
C．如果，那么
D．同位角相等
5．如图，在中，E是边上一点，，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（ ）
A．B．C．D．
7．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，，D、E分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．若点落在直角边的中点上，则的长是（ ）
A．B．4C．5D．
9．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且，那么图中小正方形的面积是（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接和分别为的中点，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．1
12．如图，已知四边形为正方形．为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②矩形是正方形；③；④平分．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③④B．①②④C．①②③D．①②③④
13．如图，以矩形的顶点为圆心，长为半径画弧交的延长线于；过点作交于点，连接，则 ．
二、填空题
14．如果是二次根式，那么x的取值范围是 ．
15．如图，，是平行四边形的对角线，且对角线交点为，E，F是上两点，且，连接，，，，添加一个条件 ，使四边形是矩形．
16．若实数x，y满足，则的值是 ．
17．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是 ．
18．先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
…
请你利用发现的规律，计算：
．
三、解答题
19．计算：
(1)
(2)
20．如图，的对角线，相交于点，点，在上，且．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为，交于点，若的周长为，求四边形的周长．
21．如图，解放广场的草坪上有、、、、五条小路，且，，，．
(1)求小路的长度；
(2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点O处，小狗从点O开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，设奔跑中小狗的位置为点Q，小狗奔跑的时间为；当小狗在小路上奔跑时，求出淇淇与小狗的最近距离，并求此时t的值；
22．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
23．如图，点D、E是两直角边、上的一点，连接，已知点F、G、H分别是、、的中点．
(1)求证：．
(2)连接，取中点M，连接、，若，求的长．
24．阅读下列例题．
在学习二次根式性质时我们知道；
例题求的值．
解：设，两边平方得：，即，，
．
，．
(1)则的值是______．
(2)请利用上述方法，求的值．
(3)若，求n的值．
25．在正方形中，点P是边上点，点E在的延长线上，将线段绕点A顺时针旋转，到线段，连接
(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，若正好经过点B，
①求证：；
②探究、、三条线段的数量关系并证明你的结论；
《山东省德州市庆云县2024-2025学年八年级下学期期中数学试题》参考答案
1．C
A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，符合题意；
D. ，不符合题意；
故选：Ｃ．
2．B
解：A.∵，
∴设，，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵
∴设，则，，
∵，
∴，解得，
∴，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
C.∵，
∴，即，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.∵，，
∴，解得，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．B
解：A. ，
故该选项错误；
B. ，
故该选项正确；
C. ，
故该选项错误；
D. ，
故该选项错误；
故选：B.
4．D
解：A. 如果四边形是菱形，那么对角线互相垂直且平分，真命题，
故A不符合题意；
B. 在角的内部，角平分线上的点到角的两边距离相等，真命题，
故B不符合题意；
C. 如果，那么，真命题；
故C不符合题意；
D. 如果两个角相等，那么这两个角是同位角，是假命题；
故D符合题意；
故选：D．
5．A
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
6．C
解：如图，设直角顶点C与数轴上表示的点重合，
由题意，，
∴数轴上点A所表示的数为，
故选：C．
7．A
解：根据题意得，，，
∴
∴
．
故选：A．
8．D
解：∵，沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．且点落在直角边的中点上，
∴，，
则，
根据勾股定理，得，
解得，
则，
故选：D．
9．C
解：∵大正方形的面积是16，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵小正方形的边长为：，
∴．
故选C
10．B
解：由题意得，
，
，
，
故选：B．
11．D
连接，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，
∵G，H分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
当时，最小，得到最小值，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故的最小值为．
故选：D．
12．D
解：连接，作于点H，于点L，则，
∵四边形是正方形，
∴，，垂直平分，
∵E为上一点，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
∵四边形是矩形，，
∴四边形是正方形，故②正确；
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，故③正确；
∴，
∵，
∴，
∴平分，
故④正确．
故选：D．
13．
解：∵四边形是矩形，
，，
，
，
∴四边形是平行四边形，
由作图得，
∴四边形是菱形，
，
，
，
，
故答案为：．
14．
解：∵是二次根式，
，
解得，
故答案为：．
15．答案不唯一，
解：∵，是平行四边形的对角线，且对角线交点为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
16．4
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
17．12
解：四边形是平行四边形，且，，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12．
18．
解：①；
②；
③，
故，
故
，
故答案为：．
19．(1)
(2)
（1）解：
．
（2）解：．
20．(1)见解析
(2)四边形的周长为24
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
的周长为12，
，
.
四边形的周长为24.
21．(1)
(2)12
（1）解：在中根据勾股定理得：
，
在中根据勾股定理得：
，
即小路的长度为；
（2）解：过点O作于点Q，如图所示：
∵垂线段最短，
∴当时，淇淇与小狗的距离最小，
∵，
∴，
在中根据勾股定理得：
，
∴此时．
22．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
23．(1)见解析
(2)5
（1）证明：∵F、G、H分别是、、的中点，
∴．
∴．
∴，
∴．
（2）解：连接、，，
∵M、H分别是和的中点，
∴．
同理：．
∴
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴四边形为矩形．
∴，，
∵G、H、M，F分别是、、、的中点，，
∴，．
∴．
24．(1)
(2)
(3)32
（1）解：由二次根式性质得，
故答案为：；
（2）解：设，两边平方得：，
即，，
．
∵，
；
（3）解：给两边平方，
得，
∴，
整理，得，
∴，解得．
25．(1)见解析
(2)①见解析 ②
（1）证明：∵正方形，线段绕点A顺时针旋转，到线段，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：①∵正方形，线段绕点A顺时针旋转，到线段，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
②、、三条线段的数量关系是．理由如下：
连接，
∵正方形，线段绕点A顺时针旋转，到线段，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．