安徽省宿州市萧县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份安徽省宿州市萧县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题4分，共40分）
1. 有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤，其中是不等式有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
2. 数学中对称之美无处不在，下列四幅常见的垃圾分类标志图案不考虑文字说明中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A 有害垃圾B. 可回收物
C. 厨余垃圾D. 其他垃圾
3. 如图，将绕点C顺时针方向旋转得，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
4. 下列命题的逆命题成立的是（ ）．
A. 全等三角形的对应角相等
B. 若三角形的三边满足，则该三角形是直角三角形
C. 对顶角相等
D. 同位角互补，两直线平行
5. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知：如图，．
求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角．
下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾．
②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立．
∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角．
③假设有两个（或三个）直角，不妨设．
④∵，
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A. ④③①②B. ③④②①C. ①②③④D. ③④①②
7. 如图，中， ，是高， ， ，则长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
8. 亚运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为元，并以每件元的价格出售，亚运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润不低于，根据题意可列出来的不等式为（ ）
A. B.
C. D.
9. 若关于x的不等式 的整数解共有4个，则m的取值范围是 （ ）．
A. B. C. D.
10. 如图，是角平分线，，，，P，Q分别是和上的任意一点，连接，，，，给出下列结论：
①；
②；
③的最小值是；
④若平分，则的面积为9．
其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
11. 不等式的解集是_________．
12. 如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为______．
13. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是，则的长度是________．
14. 如图，D是等边外一点，，，则的最大值是____，此时的面积为_____．
三、解答题（本大题共2小题，第15题5分，第16题7分，共12分）
15. 解不等式，并把解集表示数轴上:．
16. 解不等式组
四、解答题（本大题共2小题，第17题6分，第18题12分，共18分）
17. 电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

18. 如图，在平面直角坐标系中，即△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1．
（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2）；则点B的对应点坐标是_____________
（3）将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°，直接写出点A对应点的坐标___________
（4）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为__________．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 如图，在和中，，，与交于点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
20. 期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本本，乙种笔记本本，共花费元，已知购买一本甲种笔记本比购买一本乙种笔记本多花费元．
（1）求购买一本甲种、一本乙种笔记本各需多少元？
（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共本，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价元，乙种笔记本按上一次购买时售价的折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过元，求至多需要购买多少本甲种笔记本？
六、解答题（本题满分12分）
21. 已知关于x、y的方程组．
（1）若此方程组的解满足，求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若关于的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值．
七、解答题（本题满分13分）
22. 如图，直线 的解析式为，直线 与 轴交于点，直线与 轴交于点，且经过点，直线 ，交于点 ．
（1）求的值；
（2）求直线的解析式；
（3）根据图象，直接写出的解集．
八、解答题（本题满分15分）
23. △ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，．
（1）【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．
（2）【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．
（3）【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．
萧县2023－2024学年度第二学期期中质量检测八年级数学试卷
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（每题4分，共40分）
1. 有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了不等式的定义，正确把握不等式的定义：用不等号表示不等关系的式了叫不等式是解题关键．
直接利用不等式的定义判定即可得出答案．
【详解】解：③是等式不是不等式，④是整式不是不等式；
①；②；⑤，共有3个是不等式．
故选：B．
2. 数学中的对称之美无处不在，下列四幅常见的垃圾分类标志图案不考虑文字说明中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 有害垃圾B. 可回收物
C. 厨余垃圾D. 其他垃圾
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形概念进行判断即可．
【详解】解：既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
3. 如图，将绕点C顺时针方向旋转得，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先利用旋转的性质得到，则根据，利用直角三角形两锐角互余可计算出，从而得到的度数．
【详解】解：∵绕点C顺时针方向旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
4. 下列命题的逆命题成立的是（ ）．
A. 全等三角形的对应角相等
B. 若三角形的三边满足，则该三角形是直角三角形
C. 对顶角相等
D. 同位角互补，两直线平行
【答案】B
【解析】
【分析】分别写出四个命题的逆命题，然后分别根据全等三角形的性质、勾股定理、对顶角的定义、平行线的性质进行判断即可．
【详解】A、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的两三角形全等，此逆命题为假命题；
B、若三角形的三边满足，则该三角形是直角三角形的逆命题为若a、b、c为直角三角形的三边，则满足，此逆命题为真命题；
C、对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题；
D、两条直线平行，同位角互补逆命题为同位角互补，两条直线平行，此逆命题为假命题．
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理、逆命题等知识，判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
5. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
6. 已知：如图，．
求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角．
下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾．
②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立．
∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角．
③假设有两个（或三个）直角，不妨设．
④∵，
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A. ④③①②B. ③④②①C. ①②③④D. ③④①②
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了反证法的步骤，首先需假设原命题的反面成立即第一步为③；进而得到，进而得到，这与“三角形内角和等于”相矛盾，则假设不成立，据此可得答案．
【详解】解：根据反证法解答题目的一般步骤，可得本题所给的步骤正确顺序是③④①②，
故选D．
7. 如图，中， ，是高， ， ，则长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质定理，在上取一点E，使，由，得出，三角形的外角性质定理得出，进一步得出，，即可求出的值．
【详解】解：在上取一点E，使，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
又，
∴，
∴，
∴，
故选∶B．
8. 亚运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为元，并以每件元的价格出售，亚运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润不低于，根据题意可列出来的不等式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用．设售价可以按标价打折，根据“每件衣服的利润不低于”即可列出不等式．
【详解】解：按标价打折出售，根据题意，得
．
故选：B．
9. 若关于x的不等式 的整数解共有4个，则m的取值范围是 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出和两个不等式的解集，解得，，根据判断出原不等式组的四个整数解为，，，，再来判断m的取值范围即可．
【详解】解：原不等式组为，
解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组有四个整数解，
原不等式组的整数解为，，，，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据整数解的个数来判断m的取值范围是解题的关键．
10. 如图，是的角平分线，，，，P，Q分别是和上的任意一点，连接，，，，给出下列结论：
①；
②；
③的最小值是；
④若平分，则的面积为9．
其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】①根据等腰三角形性质得出垂直平分，得出，根据三角形三边关系即可得出结论；
②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明，，得出，，即可得出结论；
③过点A作于点M，当点P在与交点上时，，此时最小，且最小值为，根据等积法求出即可；
④过点P作于点N，得出，求出，即可求出结果．
【详解】解：①∵，是的角平分线，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
②∵，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③根据解析①可知，，
∴当最小时，最小，
过点A作于点M，如图所示：
当点P在与交点上时，，且最小值为，
∵平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即的最小值是，故③错误；
④过点P作于点N，如图所示：
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，垂线段最短，垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
11. 不等式的解集是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可解答；掌握不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号符号不变是解题的关键．
【详解】解：，
．
故答案为：．
12. 如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为______．
【答案】##20厘米
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．先根据平移的性质得到，，而，则四边形的周长，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：沿方向平移得到，
，，
的周长为，
，
四边形的周长
．
故答案为：
13. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是，则的长度是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查角平分线的判定定理，平行线的性质，等角对等边；
过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是．
【详解】解：过作于，
由题意得：，
，
平分，
，
，
，
，
，
、在这把直尺上的刻度读数分别是、，
，
的长度是．
故答案为：．
14. 如图，D是等边外一点，，，则的最大值是____，此时的面积为_____．
【答案】 ①. 5 ②.
【解析】
【分析】以为边作等边，连接．利用全等三角形的性质证明，利用三角形的三边关系即可解决问题；当取最大值时，则点A、D、E三点共线，过点A作，交延长线于F，过点B作于G，利用等边三角形性质和勾股定理求出、长，然后利用三我面积公式求解即可．
【详解】解：以为边作等边，连接．
，，，
，
在和中，
，
，
在中，
，，
，
，
当点A、D、E三点共线时，最大，
的最大值为5，
的最大值为5．
当取最大值时，则点A、D、E三点共线，如图，
过点A作，交延长线于F，过点B作于G，
∵等边，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理，得
∴
∵等边，
∴，
∴
∴
故答案为：5；．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，两点间线段最短，勾股定理．求得当取最大值时，则点A、D、E三点共线是解题的关键．
三、解答题（本大题共2小题，第15题5分，第16题7分，共12分）
15. 解不等式，并把解集表示在数轴上:．
【答案】，解集表示在数轴上见解析
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，把解集表示在数轴上．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得；再把解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：
移项，得：，
合并同类项，得：，
将解集表示在数轴上如下：

16. 解不等式组
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．
分别解两个不等式得到和，则利用大小小大中间找得到不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
所以原不等式组的解集为．
四、解答题（本大题共2小题，第17题6分，第18题12分，共18分）
17. 电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的性质，根据题意，点既在线段的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．得到两线交点即为发射塔的位置是解决问题的关键．
【详解】解：设两条公路相交于O点．P为线段的垂直平分线与的平分线交点或是与的平分线交点即为发射塔的位置．
如图，满足条件的点有两个，即P、．
18. 如图，在平面直角坐标系中，即△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1．
（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2）；则点B的对应点坐标是_____________
（3）将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°，直接写出点A对应点的坐标___________
（4）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为__________．
【答案】（1）见解析 （2）（-3，0）
（3）（2，3） （4）（-1，-2）
【解析】
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）先根据点A（-3，2）经过平移后得到点（-5，-2），得到△ABC的平移方式为向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度，由此求解即可；
（3）先根据题意画出旋转图形，然后根据得到的图形即可得到答案；
（4）先得到，， ，，再由旋转中心在线段和线段的垂直平分线上，即可得到旋转中心的坐标为（-1，-2）．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：∵点A（-3，2）经过平移后得到点（-5，-2），
∴△ABC的平移方式为向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度，
∴点B（-1，4）向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度对应点坐标为（-3，0），
故答案为：（-3，0）；
【小问3详解】
解：如图所示，是△ABC绕原点O顺时针旋转90度后的图形，
∴点A对应点的坐标为（2，3）；
故答案为：（2，3）；
【小问4详解】
解：如图所示，，， ，，
∵旋转中心在线段和线段的垂直平分线上，
∴旋转中心坐标为（-1，-2）．
故答案为：（-1，-2）．
【点睛】本题主要考查了画旋转图形，平移作图，根据平移前后点的坐标判断平移方式，根据平移方式确定平移后点的坐标，找旋转中心等等，解题的关键是熟知平移相关知识．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 如图，在和中，，，与交于点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）证，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得，则，再由等腰三角形的性质得出结论．
【小问1详解】
证明：在和中，
，
，
；
【小问2详解】
证明：由（1）得，
，
，
是等腰三角形，
又，
．
20. 期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本本，乙种笔记本本，共花费元，已知购买一本甲种笔记本比购买一本乙种笔记本多花费元．
（1）求购买一本甲种、一本乙种笔记本各需多少元？
（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共本，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价元，乙种笔记本按上一次购买时售价的折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过元，求至多需要购买多少本甲种笔记本？
【答案】（1）一本甲种笔记本元，一本乙种笔记本元；
（2）至多需要购买本甲种笔记本．
【解析】
【分析】（）设购买一本甲种笔记本元，一本乙种笔记本元，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解；
（）设需要购买本甲种笔记本，根据题意，列出不等式，解不等式即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，列出二元一次方程组和一元一次不等式是解题的关键．
【小问1详解】
解：设购买一本甲种笔记本元，一本乙种笔记本元，
根据题意得，
解得，
答：购买一本甲种笔记本元，一本乙种笔记本元；
【小问2详解】
解：设需要购买本甲种笔记本，
根据题意得：，
解得 ，
∴取最大整数为，
答：至多需要购买本甲种笔记本．
六、解答题（本题满分12分）
21. 已知关于x、y的方程组．
（1）若此方程组的解满足，求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若关于的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值．
【答案】（1）
（2）、0
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式；
（1）根据列出关于的不等式，可解得的范围；
（2）结合（1），由为整数，可得的值．
【小问1详解】
，
①②得：，
，
，
，
解得；
【小问2详解】
关于的不等式的解集为，
，
，
，
，
满足条件的的整数值是、0．
七、解答题（本题满分13分）
22. 如图，直线 的解析式为，直线 与 轴交于点，直线与 轴交于点，且经过点，直线 ，交于点 ．
（1）求的值；
（2）求直线的解析式；
（3）根据图象，直接写出的解集．
【答案】（1）；
（2）直线的解析式为；
（3）解集为．
【解析】
【分析】本题考查的知识点是求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集，解题关键是熟练掌握一次函数的相关知识点．
把点的坐标代入直线的解析式即可求出的值；
根据、的坐标，利用待定系数法列出二元一次方程组即可求解；
根据图象解答即可．
【小问1详解】
解：直线经过点，
，
解得．
【小问2详解】
解：由得，，
直线经过，，
，
解得：，
直线的解析式为．
【小问3详解】
解：由图得：即的解集为．
八、解答题（本题满分15分）
23. △ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，．
（1）【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．
（2）【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．
（3）【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．
【答案】（1） ，
（2）成立，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）通过证明，即可求证；
（2）通过证明，即可求证；
（3）过点C作，垂足为C，交AD于点H，根据旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
，，证明如下：
在和中，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
成立，理由如下：
∵，
∴，即，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图，过点C作，垂足为C，交AD于点H，
由旋转性质可得：，，
∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
在中：，
∵，
∴，即，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
在中，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．