安徽省六安市轻工中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份安徽省六安市轻工中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列方程中，一定是一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
2. 要使二次根式有意义，则x的取值可以是（ ）
A 0B. 1C. 2D. 4
3. 估计－1值在（ ）
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
4. 下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A. 2.5、6、6.5B. 3、4、6C. 1、2、D. 5、12、13
5. 已知方程的两个解分别为、，则的值为（）
A. B. C. 7D. 3
6. 如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（ ）
A. 4B. 5C. 7D. 25
7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 无实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根D. 无法确定
8. 如图，学校有一块空地，生物组老师带领学生开发出一块长为15米、宽为10米的矩形菜园作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟三条等宽的小道，要使种植面积为88平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
9. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣的结果是（ ）
A. a﹣b＋3B. a＋b﹣1C. ﹣a﹣b＋1D. ﹣a＋b＋1
10. 如图，在中，，，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），则的最小值是（ ）
A. B. 3C. 1D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算的结果是__．
12. 若最简二次根式与能合并成一项，则______．
13. 直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边上的高为________．
14. 如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是______．
三、（本大题共有2小题，每小题8分，满分16分）
15 计算下列各题：
（1）
（2）
16. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
四、（本大题共有2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，若小正方形的边长为1，请你运用所学的知识解决下列问题：

（1）的面积为__________；
（2）判断形状，并说明理由．
18. 观察下列等式：
① ② ③
（1）写出式⑤：___________________；
（2）试用含n（n为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证．
五、（本大题共有2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，四边形中，，，，．
（1）求的度数．
（2）求四边形的面积．
20. 关于x的方程．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根为1，求m的值．
六、（本题满分12分）
21. 如图，将，的长方形，沿过顶点A的直线为折痕折叠，使顶点B落在边上的点Q处．
（1）求的长；
（2）求的长．
七、（本题满分12分）
22. 冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58的价格出售． 经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只．
（1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率；
（2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只． 当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？
八、（本题满分14分）
23. 已知，和都是以为斜边的直角三角形，连接．
（1）如图1，和在两侧时，若，过点D作交CA的延长线于点E．．
①猜想：______；（请填入“＞”、“＝”或“＜”）
②证明：；
（2）如图2，和在同侧时，若，猜想线段AC、BC、CD三者之间的数量关系，并说明理由．
六安市轻工中学2023～2024学年度八年级下学期
期中考试数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义；
含有一个未知数且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此判断即可．
【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程；
B、不是整式方程，不是一元二次方程；
C、是一元二次方程；
D、整理后为，不是一元二次方程；
故选：C．
2. 要使二次根式有意义，则x的取值可以是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-3≥0，再解即可．
【详解】解：二次根式要有意义，则x-3≥0，
即x≥3，
故选：D．
【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握二次根式定义．
3. 估计－1值在（ ）
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
【答案】C
【解析】
【分析】正确估算出6＜＜7，据此即可求解．
【详解】解：∵62＝36，72＝49，
∴6＜＜7，
∴5＜－1＜6．
故选：C．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，正确估算出的大小是解题的关键．
4. 下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A. 2.5、6、6.5B. 3、4、6C. 1、2、D. 5、12、13
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数称为勾股数，解答即可．
【详解】解：A.和不是正整数，则此项不是勾股数，不符题意；
B.，因为，所以这三个数不是勾股数，不符题意；
C.不是正整数，则此项不是勾股数，不符题意；
D.都是正整数，且，所以这三个数能够成为直角三角形三条边长，则此项是勾股数，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股数，解本题的关键要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
5. 已知方程的两个解分别为、，则的值为（）
A. B. C. 7D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由根与系数的关系得出x1＋x2＝5，x1•x2＝2，将其代入x1＋x2−x1•x2中即可得出结论．
【详解】解：∵方程x2−5x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝5，x1•x2＝2，
∴x1＋x2−x1•x2＝5−2＝3．
故选D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得出x1＋x2＝5，x1•x2＝2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．
6. 如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（ ）
A. 4B. 5C. 7D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，利用勾股定理计算结果，再将计算的结果化简即可，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】由图知，黑、白两棋子的距离，
故选：B．
7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 无实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，正确理解一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．计算已知方程根的判别式，即可判断答案．
【详解】，，，
，
原方程由两个相等的实数根．
故选C．
8. 如图，学校有一块空地，生物组老师带领学生开发出一块长为15米、宽为10米的矩形菜园作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟三条等宽的小道，要使种植面积为88平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由小道的宽为米，可得出种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形，再根据种植面积为88平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵小道的宽为米，
∴种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形．
依题意得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣的结果是（ ）
A. a﹣b＋3B. a＋b﹣1C. ﹣a﹣b＋1D. ﹣a＋b＋1
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．
【详解】解：由数轴可知：，
，，
原式
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的化简、绝对值化简、利用数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练运用二次根式的性质．
10. 如图，在中，，，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），则的最小值是（ ）
A. B. 3C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，由是等腰直角三角形可得，即，故取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长，根据，，可得，即可得答案．
【详解】解：以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，如图：
由作图可知：是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴最小值是．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形中的最小路径，解题的关键是作辅助线，把的最小值转化为求的最小值．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算的结果是__．
【答案】4
【解析】
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，注意：．
12. 若最简二次根式与能合并成一项，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了同类二次根式等知识点，根据同类二次根式的定义可求出x的值，解题的关键是正确理解同类二次根式的定义．
【详解】由题意可知：，
∴，
故答案为：3．
13. 直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边上的高为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，三角形面积公式，根据勾股定理得出斜边长为，再根据面积相等，即可得出斜边上的高．
【详解】解：根据勾股定理可得：斜边长为，
根据面积相等，设斜边上的高为，则，
解得：，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可判定③，再根据勾股定理以及等量代换即可得出④，通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
【详解】①∵，，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确，
②连接，
由①中证明，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，故②正确，
③如图，设与的交点为G，
∵，，
∴，，
∴，故③不正确，
④：∵，，
∴，
在中，，
，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：①②④．
三、（本大题共有2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算下列各题：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等知识点，
（1）先化简然后再加减运算，即可解答；
（2）先利用平方差公式，完全平方公式进行计算，然后再加减即可解答；
准确熟练地进行计算是解题的关键．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
16. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：直接开平方得：，
∴或，
解得：，；
【小问2详解】
解：移项得：，
因式分解得：，即，
∴或，
解得：，．
四、（本大题共有2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，若小正方形的边长为1，请你运用所学的知识解决下列问题：

（1）的面积为__________；
（2）判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）5 （2）直角三角形，见解析
【解析】
【分析】（1）利用包含的正方形的面积减去周围3个三角形的面积即可；
（2）利用勾股定理求出的三条边长，再利用勾股定理的逆定理判断是否是直角三角形．
【小问1详解】
解：由图可得，．
故答案为：5；
【小问2详解】
解：是直角三角形．
理由：由勾股定理得，，，
，
是直角三角形．
【点睛】本题考查利用网格求三角形面积，勾股定理与勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．
18. 观察下列等式：
① ② ③
（1）写出式⑤：___________________；
（2）试用含n（n为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证．
【答案】（1）
（2）规律：（为自然数，且 ），验证见解析．
【解析】
【分析】（1）根据规律解答即可；
（2）根据完全平方公式以及二次根式的性质解答即可．
【详解】解：（1） ①
②
③
式⑤：
故答案为：
（2）规律：
理由如下：
∵n为自然数，且n≥1，
∴
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握完全平方公式是解答（2）的关键．
五、（本大题共有2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，四边形中，，，，．
（1）求的度数．
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据，，得出为等边三角形，求得，然后根据勾股定理逆定理判断△BDC是直角三角形，，从而求得的度数．
（2）根据四边形的面积等于△ABC和△ACD的和即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接，
，
为等边三角形
，
，
，
（2）如图，过点作
为等边三角形
在中，
．
【点睛】本题考查了等边三角形判定与性质，勾股定理逆定理．解（2）题的关键是把不规则图形转化为规则的三角形求得面积．
20. 关于x的方程．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根为1，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，计算得出，即可得证；
（2）将代入方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
证明：，
∵，
∴，
∵在实数范围内，m无论取何值，都有，即．
∴关于x的方程恒有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：将代入方程，
可得，
解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，掌握以上知识是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 如图，将，长方形，沿过顶点A的直线为折痕折叠，使顶点B落在边上的点Q处．
（1）求的长；
（2）求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理的运用以及折叠变换的性质等知识点，熟练掌握勾股定理的运用以及折叠变换的性质是解决此题的关键．
（1）由折叠的性质可知，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理即可求出线段的长度；
（2）由（1）可知，所以，设，则，所以，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据翻性质得的长度即可；
【小问1详解】
由折叠的性质可知，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴线段的长度是；
【小问2详解】
由（1）可知，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得：，
∴线段长度是，
∴线段的长度是．
七、（本题满分12分）
22. 冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58的价格出售． 经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只．
（1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率；
（2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只． 当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元，利用月销售利润每件的销售利润月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）
答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为．
【小问2详解】
设该棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为
件
根据题意得：
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该款棉帽售价为元时，月销售利润达8400元．
八、（本题满分14分）
23. 已知，和都是以为斜边的直角三角形，连接．
（1）如图1，和在两侧时，若，过点D作交CA的延长线于点E．．
①猜想：______；（请填入“＞”、“＝”或“＜”）
②证明：；
（2）如图2，和在同侧时，若，猜想线段AC、BC、CD三者之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①②见解析
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理：
（1）①根据四边形内角和为和邻补解互补分别证明，可得到；②先证明，可证，可得，利用，，即可证出；
（2）过点D作交于点E，设交于点M，通过证明，得到，利用即可证明．
【小问1详解】
解：①，理由：
和是以为斜边的直角三角形
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
②证明：，
，
，
又
，
，
，
，
即，
；
【小问2详解】
解：过点D作交于点E，设交于点M，
，
，
，
，
，
，
，
且，
，
，
，
即，
．