安徽省六安市金安区六安皋城中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份安徽省六安市金安区六安皋城中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 的算术平方根是（ ）
A. 2B. 4C. 8D.
2. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
3. 已知关于的一元二次方程的一个根是1，则方程的另一个根是（ ）
A. －3B. 2C. 3D. －4
4. 在中，对边是，哪个条件不能判断是直角三角形（ ）
A. B.
C D.
5. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）

A. B. C. D.
6. 如图，在中，，，是的角平分线，若，则的长为（ ）
A 7B. 8C. D.
7. 设方程的两实数根为，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 一个多边形的内角和为，那么从这个多边形的一个顶点出发所做的对角线的条数为（ ）
A. 8条B. 9条C. 10条D. 11条
9. 如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上动点．连接，点为的中点，点为的中点，连接．则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D.
10. 如图，、分别是的中线和角平分线，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算______．
12. 已知某直角三角形的两条直角边长的比为，若该直角三角形的周长为60，则该直角三角形的斜边长为_______．
13. 如图，剪纸社团的同学们要在一张正五边形的彩纸上剪下一个等边三角形，且等边三角形的边长与正五边形的边长相等，则的度数为________．
14. 如图，在中，，，P为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线的长度的最小值为________．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程：
（1）；
（2）．
16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．

（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求四边形的面积．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在四边形中，，，分别是，的平分线．
（1）若，求度数：
（2）判断与的位置关系，并说明理由．
18. 如图，在中，点E，F分别在，上，且，与交于点O．求证：．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 如图，过的顶点作，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．
（1）请你判断所画的四边形是平行四边形吗？请说明理由；
（2）若，求的度数．
20. 某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年，共种植288亩．
（1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率．
（2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则每千克橙子售价应降低多少元？
六、解答题（本题满分12分）
21. 如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变，已知A、B、F三点在一条直线上，且于点F，若米，米，米，求男子向右移动的距离．
七、解答题（本题满分12分）
22. 利用图形这一直观性语言，在一定程度上可以降低我们认识和理解抽象逻辑推理的难度；利用图形建构几何直观，可以轻松实现空间形式和数量关系的相互转化．让我们在如下的问题解决中体验一下吧！

（1）【模块探究】
如图1，求证：
（2）【直观应用】
①应用上述结论，若图2中，，则、、、、、的度数之和等于________．（直接给出结论，不必说明理由）
②应用上述结论，求图3所示的五角星中，、、、、的度数之和是多少？并证明你的结论．
（3）【类比联系】
如图4，求、、、、、、的度数之和是多少？并证明你的结论．
八、解答题（本题满分14分）
23. 如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
(1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形APQD为长方形？
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时？四边形PBCQ的面积为33cm2；
(3)P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q距离是10cm．
六安皋城中学2023~2024学年度第二学期期中考试
八年级数学试题
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 的算术平方根是（ ）
A. 2B. 4C. 8D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可，易错点是将的算术平方根计算为4．
【详解】解：∵，4的算术平方根为2，
∴的算术平方根是2，
故选：A．
2. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此由求得m的取值范围即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程即有两个不相等的实数根，
∴，解得，
故选项A中数字符合题意，选项B、C、D不符合题意，
故选：A．
3. 已知关于的一元二次方程的一个根是1，则方程的另一个根是（ ）
A. －3B. 2C. 3D. －4
【答案】C
【解析】
【分析】设方程一个根＝1，另一个根为，再根据根与系数的关系进行解答即可．
【详解】解：设方程的一个根＝1，另一个根为，根据题意得：
＝3，
将＝1代入，得＝3．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系的相关知识是解题的关键．
4. 在中，对边是，哪个条件不能判断是直角三角形（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，故是直角三角形，不符合题意；
B、∵，
∴，故是直角三角形，不符合题意；
C、∵，
∴，故不是直角三角形，符合题意；
D、，故是直角三角形，不符合题意；
故选：C．
5. 勾股定理是人类数学文化一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解决问题的关键．
【详解】由题意可知，，
∴．
设的长为，则，
所以．
在直角中，，即，
解得：．
故选：B．
6. 如图，在中，，，是的角平分线，若，则的长为（ ）
A. 7B. 8C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，解题关键是利用勾股定理直接计算边长．过点作于，利用角平分线的性质得到，再判断为等腰直角三角形，从而得到，从而可得答案．
【详解】解：过点作于，如图，
是的平分线，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
∴．
故选：D．
7. 设方程的两实数根为，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用根与系数的关系即可得到答案．
【详解】解：∵方程的两实数根为，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键．
8. 一个多边形的内角和为，那么从这个多边形的一个顶点出发所做的对角线的条数为（ ）
A. 8条B. 9条C. 10条D. 11条
【答案】B
【解析】
【分析】先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．
【详解】解：设此多边形的边数为n，由题意得：
，
解得，
从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：（条），
故选：B．
【点睛】此题考查了多边形的内角公式，关键是掌握多边形的内角和公式．
9. 如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接，点为的中点，点为的中点，连接．则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，取的中点M，连接、、，作于N．首先证明，求出，，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点M，连接、、，作于N．
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，，
∴，
∵垂线段最短，
∴当点G在点N时，的最小，即的最小值为的长，此时也最小，
∴最小值为，的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、垂线段最短，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明，属于中考选择题中的压轴题．
10. 如图，、分别是的中线和角平分线，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，三线合一性质，勾股定理，取的中点F，连结，计算即可．
【详解】解：如图，取的中点F，连结，
∵是的中线，
∴，
∴是中位线，
∴，
∵，，
∴，．
由勾股定理，得．
∵BE平分，，
∴，
∴，
∴．根据等腰三角形“三线合一”，得．
∵，
∴
∴E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵的中点F，
∴，
∴．
故选D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用二次根式的混合运算法则和完全平方公式求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 已知某直角三角形的两条直角边长的比为，若该直角三角形的周长为60，则该直角三角形的斜边长为_______．
【答案】26
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．
【详解】解：设直角三角形的两条直角边分别为、，则斜边长为：
，
∵直角三角形的周长为60，
∴，
解得：，
∴斜边长为．
故答案为：26．
13. 如图，剪纸社团的同学们要在一张正五边形的彩纸上剪下一个等边三角形，且等边三角形的边长与正五边形的边长相等，则的度数为________．
【答案】##48度
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和、等边三角形的性质，先根据多边形的内角和公式得出正五边形的内角和为，从而得出每个内角的度数，再结合等边三角形的性质，即可得出的度数．
【详解】解：∵正五边形的内角和为，
∴每个内角为，
∵正三角形的每个内角为，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，P为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线的长度的最小值为________．
【答案】6
【解析】
【分析】过点作，由平行四边形可得为线段的中点，当最小时的最小，即可求解．
【详解】解：过点作，如下图：
在平行四边形中，可知
即为线段的中点，，
则最小时最小
又∵P为边上一动点
由点到直线的距离可得，即的最小值为
在中，，
∴，即的最小值为
∴的最小值为6
故答案为6
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建等腰直角三角形．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：
分解因式，可得：，
于是得：或，
∴，；
【小问2详解】
解：
，，，
，
方程有两个不等的实数根，
，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活运用合适的方法求解是解本题的关键．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．
16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．

（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）为直角三角形，见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据图中的数据，根据勾股定理判断三角形的形状；
（2）将四边形的面积分解为两个三角形的面积分别计算即可.
【小问1详解】
解：为直角三角形．
理由如下：由题意，
，
，
，
∴，
∴，为直角三角形．
【小问2详解】
解：在中，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴.
【点睛】本题主要考查了坐标图，提高读图能力是解题的关键.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在四边形中，，，分别是，的平分线．
（1）若，求的度数：
（2）判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，多边形的内角和，直角三角形两锐角互余，关键是掌握四边形内角和为、同位角相等，两直线平行．
（1）由角平分线的定义得，，根据四边形的内角和可得，从而推出，进而可求出答案；
（2）由互余的性质可得，根据平行线的判定即可得出．
【小问1详解】
解：∵，分别是，的平分线
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：，理由如下：
在中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
18. 如图，在中，点E，F分别在，上，且，与交于点O．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，，由对顶角相等可得，再根据平行线的性质可得，从而可证，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、对顶角相等、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质证得是解题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 如图，过的顶点作，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．
（1）请你判断所画的四边形是平行四边形吗？请说明理由；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）是，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据画法及平行四边形的判定定理，即可判定；
（2）根据平行四边形的性质即可求解．
【小问1详解】
解：四边形是平行四边形，
理由如下：
，，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：四边形平行四边形，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，熟练掌握和运用平行四边形的判定及性质是解决本题的关键．
20. 某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年，共种植288亩．
（1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率．
（2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则每千克橙子售价应降低多少元？
【答案】（1）
（2）6元
【解析】
【分析】本题考查了增长率，最大利润问题，
（1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，由题意得：，求解即可；
（2）设降价y元，则每千克橙子盈利元，每天可售出千克，利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造方程，解之即可．
【小问1详解】
设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，
由题意得：，
∴，
∴（舍去负值），
∴，
答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率是
【小问2详解】
设降价y元，则每千克橙子盈利元，每天可售出千克，
根据题意，得
整理，得，
解得(舍去)，
答：每千克售价应降低6元．
六、解答题（本题满分12分）
21. 如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变，已知A、B、F三点在一条直线上，且于点F，若米，米，米，求男子向右移动的距离．
【答案】男子向右移动的距离为7米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：，米，米，
在中，米.
（米），
在中，米，
（米）.
即男子向右移动的距离为7米.
七、解答题（本题满分12分）
22. 利用图形这一直观性语言，在一定程度上可以降低我们认识和理解抽象逻辑推理的难度；利用图形建构几何直观，可以轻松实现空间形式和数量关系的相互转化．让我们在如下的问题解决中体验一下吧！

（1）【模块探究】
如图1，求证：
（2）【直观应用】
①应用上述结论，若图2中，，则、、、、、的度数之和等于________．（直接给出结论，不必说明理由）
②应用上述结论，求图3所示的五角星中，、、、、的度数之和是多少？并证明你的结论．
（3）【类比联系】
如图4，求、、、、、、的度数之和是多少？并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②，证明见解析
（3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）如图所示，过点O作射线，利用三角形外角的性质得到，由此即可证明；
（2）①根据（1）的结论可得，再由，，即可得到；②由（1）的结论可知，再由，，即可得到；
（3）如图所示，由（1）得结论可得，再由，，即可得到．
【小问1详解】
证明：如图所示，过点O作射线，
∵，
∴，
∴；
小问2详解】
解：①由（1）的结论可知，，
∴，
又∵，，
∴，
故答案为：；
②，证明如下：
如图所示，由（1）的结论可知，
∵，
∴，
又∵，
∴
【小问3详解】
解：，证明如下：
如图所示，由（1）得结论可得，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和是解题的关键．
八、解答题（本题满分14分）
23. 如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
(1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形APQD为长方形？
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时？四边形PBCQ的面积为33cm2；
(3)P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．
【答案】(1) P，Q两点从出发开始到3.2秒时，四边形APQD为长方形； (2) P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；(3) P，Q两点从出发开始到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【解析】
【分析】（1）当PB=CQ时，四边形PBCQ为矩形，依此建立方程求出即可；
（2）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=（16-3x）cm，QC=2xcm，根据梯形的面积公式可列方程：，解方程可得解；
（3）作QE⊥AB，垂足为E，设运动时间为x秒，用x表示线段长，用勾股定理列方程求解．
【详解】(1)设P，Q两点从出发开始到x秒时，四边形APQD为长方形，
根据题意得：16﹣3x=2x，
解得：x=．
答：P，Q两点从出发开始到秒时，四边形APQD为长方形．
(2)设P，Q两点从出发开始到y秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2，
根据题意得：×6（16﹣3x+2x）=33，
解得：x=5．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
(3)过点Q作QE⊥AB于点E，如图所示．
设P，Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，
根据题意得：（16﹣3x﹣2x）2+62=102，
整理得：（16﹣5x）2=82，
解得：x1=，x2=．
答：P，Q两点从出发开始到秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题关键是做辅助线进行解答.