九年级上学期期中数学试题(人教版)

这是一份九年级上学期期中数学试题(人教版)，共18页。试卷主要包含了本卷为试题卷等内容，欢迎下载使用。
（全卷三个大题，共24个小题，共6页；满分100分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．本卷为试题卷。考生必须在答题卡上解题作答。答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效。
2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
根据一元二次方程的定义进行判断作答即可．
【详解】解：A中，有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合要求；
B中，是一元二次方程，故符合要求；
C中，不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合要求；
D中当时，，不是一元二次方程，故不符合要求；
故选：B．
2. 使有意义的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
【详解】解：依题意，得
解得，
故选
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3. 以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出答案．
【详解】解：A、此图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的定义，关键是找出图形的对称中心．
4. 把一元二次方程化为一般形式,二次项系数，一次项系数,常数项分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程定义问题,完全平方公式．形如“”的形式是关于的一元二次方程的一般形式，根据定义即可选出答案．
【详解】解:∵
∴，
∴一般形式为:，
∴二次项系数为，一次项系数常数项，
故选:C．
5. 将抛物线向左平移3个单位，再向下平移5个单位，所得抛物线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键．
根据左加右减，上加下减判断作答即可．
【详解】解：由题意知，抛物线向左平移3个单位，再向下平移5个单位，所得抛物线为，
故选：A．
6. 已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】分情况讨论，当时，函数是一次函数，为：，此时图象和x轴有交点；当时，函数是二次函数图像与x轴有公共点，说明一元二次方程，建立一个关于k的不等式，解不等式即可．
【详解】当时，函数是一次函数，
解析式为：，
此时图象和x轴有交点，
即满足要求；
当时，函数是二次函数图像与x轴有公共点，
∴一元二次方程的，
即：，
解得且，
综上：则k的取值范围是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和二次函数图像与x轴交点个数的关系，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．解答时注意分类讨论的思想．
7. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用配方法把方程变形即可.
【详解】用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，
故选A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键．
8. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据顶点式解析式即可解答．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：A．
【点睛】此题考查了顶点式解析式的组成特点：中顶点坐标为．
9. 由二次函数解析式可知（ ）
A. 其图象的开口向下B. 其图象的对称轴为
C. 其最大值为2D. 对称轴为，
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．据此逐个判断即可．
【详解】解：A、∵，∴其图象开口向上，故A不正确，不符合题意；
B、C、∵，∴其图象的对称轴为，其最小值为2，故B、C不正确，不符合题意；
D、∵该函数图象开口向上，对称轴为，∴对称轴为，故D正确，符合题意；
故选：D．
10. 如图,在中,,,将绕点顺时针旋转至,使点恰好落在上,则旋转角度为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查旋转性质,三角形内角和定理,等腰三角形性质．根据题意可知,即,再代入已知条件即可求得本题答案．
【详解】解:∵,,
∴,
∵将绕点顺时针旋转至,即其中一个旋转角为,
∴,
∴是等腰三角形,
∴,
∴,
故选:C．
11. 如图，一边靠学校院墙，其它三边用米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的边米，面积平方米，则下面关系式正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查矩形面积公式，根据题意先用代数式表示出长度，再利用矩形面积公式即可列出方程．
【详解】解：∵设矩形的边米，面积平方米，
∵一边靠学校院墙，其它三边用米长的篱笆围成一个矩形花圃，
∴，
∴，
∴可列出方程：，
故选：B．
12. 如图,抛物线的对称轴为直线,与轴的一个交点坐标为,其部分图像如图所示,下列结论:
①;②;
③方程的两个根是,;
④;⑤当时,随增大而增大．
其中结论正确的个数是( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图像及性质．根据题意对序号逐个进行分析即可得到本题答案,熟记二次函数图像性质是解出本题的关键．
【详解】解:∵根据二次函数图像对称性,对称轴为直线,与x轴的一个交点坐标为,
∴与x轴的另一个交点坐标为,
∴二次函数与x轴有两个交点,即方程的两个根是,,
∴③不正确;
∴,即,
∴①正确;
∵对称轴为直线,
∴,即,
∴②正确;
∵当时,,
∵,
∴,
∴④不正确;
∵,对称轴为直线,
∴当时,y随x增大而增大,
∴⑤正确,
∴正确的序号有:①②⑤,
故选:B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13. 分解因式：_____.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，首先提公因式，再根据平方差公式进行分解即可，解题的关键是掌握提公因式法和公式分解法因式分解．
【详解】解：，
故答案为：．
14. 已知点在抛物线上，则k的值______．
【答案】
【解析】
【分析】把代入，解方程，即得．
此题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是熟练掌握待定系数法求未知字母系数．
【详解】∵点在抛物线上，
∴，
解得，．
故答案为：．
15. 已知，则的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求代数式的值，先由得，再把变形为，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 若的图象经过、、三点，则关于、、大小关系正确的是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向上；利用随的增大而减小，可判断，根据二次函数图象的对称性可判断；于是．
【详解】解：二次函数中，
抛物线开口向上．
，
在对称轴的左侧，且随的增大而减小，，在对称轴的右侧，且随的增大而增大，
．
由二次函数图象的对称性可知，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17. 用适当的方法解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法、公式法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法、公式法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
∴，，
解得，，；
【小问2详解】
解：，
，
∴，
解得，，．
18. 在平面直角坐标系中的位置如图所示:
（1）画出关于原点对称的,并写出点的坐标；
（2）将绕点顺时针旋转得到,画出旋转后的．
【答案】（1）画图见解析;
（2）画图见解析
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称点坐标求法,画旋转图形．
（1）根据题意知,,,关于原点对称点坐标均互为相反数,先求出,,,最后连接三点即是所得图形及点的坐标；
（2）先求出点绕点旋转后的点,同理求出,最后连接三个点即可得到.
【小问1详解】
解:∵,,,
∴关于原点对称的点为:,,,
将三点连接,如下图所示:
,
∴；
【小问2详解】
解:∵,,,
∴将三点绕点B旋转后的坐标为,,
将三点连接,如下图所示:
．
19. 先化简,再求值:,从中选择适当的数代入计算．
【答案】化简结果:;取时,则原式
【解析】
【分析】本题考查分式计算化简求值问题.根据题意先计算括号内的,再计算除法,将因式分解是解出本题的关键．
【详解】解:,
,
,
,
,
由题意可知：不等于0，1，，
把代入中,得．
20. 已知二次函数图象的对称轴为，函数的最小值为，且过点．
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标．
【答案】（1）该函数的关系式为或
（2）图象与坐标轴的交点坐标为，，
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题．
（1）设出顶点式，待定系数法求解析式即可；
（2）分别令，求值即可．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象的对称轴为，函数的最小值为，
∴设抛物线的解析式为：，
将，代入得：，解得：，
∴；
【小问2详解】
当时，，
当时，，解得：；
∴图象与轴的交点坐标为：，与轴的交点坐标为：，．
21. “书香昭通，苹果之城”，昭通苹果成为昭鲁坝区果农增收致富的“金果果”，随着苹果种植基地规模的不断扩大，苹果产量增加．昭阳区年苹果的产量是万吨，年产量达到万吨．
（1）求年、年苹果产量的年平均增长率是多少？
（2）若年苹果产量继续稳步增长（即年增长率与前两年的年平均增长率相同），那么请你估计年我区苹果产量将达到多少万吨？
【答案】（1）年平均增长率为
（2）万吨
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，有理数的混合运算的应用是解题的关键．
（1）设年、年苹果产量的年平均增长率是，依题意得，，计算求出满足要求的解即可；
（2）由题意知，年我区苹果产量根据，计算求解即可．
【小问1详解】
解：设年、年苹果产量的年平均增长率是，
依题意得，，
解得，，（舍去），
∴年平均增长率为；
【小问2详解】
解：由题意知，年我区苹果产量将达到万吨，
∴年我区苹果产量将达到万吨．
22. 如图,中，,,是由绕点按逆时针方向旋转得到,连接相交于点．
（1）求证：；
（2）当四边形为菱形时,求的长．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得,,根据证明,根据全等三角形性质即可得到本题答案,
（2）根据菱形性质得,,再利用平行线性质得,可判断出是等腰直角三角形，然后利用三边关系,即可计算本题答案．
小问1详解】
解:证明:∵是由绕点按逆时针方向旋转得到的,
∴,,
∴,即,
在和中,
,
∴,
∴；
【小问2详解】
解:∵四边形为菱形,
∴,
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形判定及性质，菱形的性质，平行线的性质，等腰直角三角形边长关系．
23. 昭通市彝良县小草坝镇是乌天麻原产地，近段时间，天麻陆续上市．某公司推出一款成本为70元的天麻特产礼盒，当每盒售价为120元时，每周可销售300盒．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，公司采取降价措施，根据市场调查发现，每盒每降低1元，每周销量可增加10盒．
（1）写出公司每周的利润W元与降价x元之间的函数关系；
（2）当降价多少元时，公司每周的利润最大，最大为多少元？
（3）若公司每周的利润要达到15960元，并最大限度让利于民，则定价应为多少元？
【答案】（1），
（2）每盒天麻降价为10元时，该公司每周能获得最大利润，最大的利润是16000元，
（3）公司想要每周获得15960元的利润，销售单价应定为108元．
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，明确题意，列出相应的方程，写出函数关系式，并利用二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意和题目中的数据，可以写出公司每天的利润W元与降价x元之间的函数关系；
（2）将（1）中的函数关系式化为顶点式，即可求解；
（3）令求出相应的x值，再根据最大限度让利于民，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：
；
【小问2详解】
解：由（1）得：
，
∴时，最大为16000，
即当降价10元时，公司每天的利润最大，最大为16000元；
【小问3详解】
解：当，
解得：，，
∵最大限度让利于民，
∴不合题意，舍去，
∴定价应为（元），
答：定价应为108元．
24. 随着新课程改革的不断深入，考查学生从知识型转化到能力型，注重了对数学思想方法的考查．数学思想方法是一种“隐性的知识”，是数学的生命和灵魂，是把知识转化成能力的桥梁，“以形助数”“以数解形”“分类思想”，相互转化，可以化繁为简，抽象问题具体化．对数学方法掌握直接影响着答题的效率和整个解题的思路，我国著名数学家华罗庚说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”请结合所学知识解决下列问题．
已知关于的方程．
（1）求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若关于的二次函数的对称轴为，当直线与抛物线的图象有两个不同的交点时，求的取值范围；
（3）若关于的二次函数的图象与轴两交点间的距离为时，求抛物线的解析式．
【答案】（1）见详解；
（2）；
（3）所求抛物线的解析式为，或．
【解析】
【分析】（）分两种情况讨论证明即可；
（）先根据对称轴求出抛物线解析式，再将抛物线与直线解析式联立，根据图象有两个不同的交点，得到列式可求出的取值范围；
（）根据抛物线与轴两交点间的距离为列出，求出的值，即可求出抛物线的解析式；本题考查一元二次方程及其根的判别式，二次函数图象与x轴的交点，以及与一次函数图象的交点问题，掌握数形结合以及转化思想是解题的关键.
【小问1详解】
分两种情况讨论，
当时，方程即方程有实数根；
当时，则一元二次方程的根的判别式，
，
，
∵不论为何实数，成立，
∴方程恒有实数根，
综合可知取任何实数，方程恒有实数根；
【小问2详解】
由题意可知：
∵，，，对称轴直线，
即，解得，
∴抛物线的解析式为，
当直线与抛物线组成的图象只有两个交点时，
∴，即有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∴的取值范围为：；
【小问3详解】
设，为抛物线与轴交点的横坐标，
则有 ，，
由，
，
，
由 ，得或 ，
解得 或 ，
∴抛物线的解析式为或