山东省淄博市高青县多校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省淄博市高青县多校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小題5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，故.
故选：B
2. 命题“”的否定为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可知：命题“”的否定为“”.
故选：B
3. “”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由得．
若，则成立，故“”是“”的必要条件；
若，则不一定成立，故“”不是“”的充分条件．
故选：B．
4. 已知，则（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】A
【解析】，.
故选：A
5. 设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
6. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
因为外层函数为上的减函数，函数在区间上单调递减，所以，函数在上为增函数，所以，，解得.
故选：A.
7. 已知函数，若，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】设，函数定义域为，
，函数为奇函数，，
故，.
故选：D.
8. 已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数，则函数在上为增函数，
因为对均有成立，
则，即对恒成立，
令，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若幂函数在上单调递增，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】因为是幂函数，
所以，解得或，
当时，，则在上单调递减，舍去；
当时，，则在上单调递增，满足题意；
所以，故，故AB错误，CD正确.
故选：CD.
10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值为B. 有最小值为
C. 有最小值为D. 有最大值为
【答案】ABC
【解析】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确，
对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确，
对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确，
对于D：因为，
当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误，
故选：ABC．
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 若的定义域为，则的定义域为
B. 函数在上的值域为
C. 函数的值域为
D. 函数的值域为
【答案】AD
【解析】A.∵的定义域为，∴，解得，
∴的定义域为，选项A正确.
B. ∵，对称轴为直线，
∴，
∴函数在上的值域为，选项B错误.
C. ∵ ,
∴，即函数的值域为，选项C错误.
D.令，则，∴，
∴当时，，即函数值域为，选项D正确.
故选：AD.
三、填空题：本展共3小屋，每小题5分，共15分.
12. __________.
【答案】
【解析】.
故答案为：
13. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】由关于的不等式的解集为，
故等价于，即，
故有、、，
则等价于，
即，即
解得或，即解集为.
故答案为：.
14. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时，______．
【答案】
【解析】因为是定义域为的奇函数，当时，，
所以，即，此时，
则当时，，，
所以．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
解：（1）当时，，所以.
所以.
（2）因为，所以.所以，解得，
所以m的取值范围是.
16. （1）已知函数，求函数的解析式；
（2）解不等式．
解：（1）令，则，
原函数可化为，
∴.
（2）由得，
整理得，等价于，
∴不等式的解集为.
17. 某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为200吨，最多为500吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.则
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低是多少？
（2）每月需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损
解：（1）由题意可知，
二氧化碳每吨的平均处理成本为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.
（2）设该单位每月获利为元，
则，
故，
所以该单位每月需要国家至少补贴35000元才能不亏损.
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求a，b值；
（2）用定义证明：在上单调递减；
（3）解关于t不等式．
（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，，所以；
又，，解得，
所以，，，又，故满足是奇函数．
（2）证明：，且，即，
则
，
因为，，，，，
故，即，
所以函数在区间上单调递减．
（3）解：函数在上单调递减，且为奇函数，
由得，所以，解得．
所以不等式的解集为
19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”.
（1）函数①；②；③，哪个函数是在上的“美好函数”，并说明理由；
（2）已知函数.
①函数是在上的“美好函数”，求的值；
②当时，函数是在上“美好函数”，求的值.
解：（1）①因为，所以，所以，，
得，故是在上的“美好函数”；
②因为，所以，所以，，
得，故不是在上的“美好函数”；
③因为，所以，所以，，
得，故不是在上的“美好函数”
（2）①由题得，
当，可知
所以，当时，，此时，，
因为函数是在上的“美好函数”
所以有；
当时，，此时，，
因为函数是在上的“美好函数”所以有；
故
②由题可知此时，函数，可知此时，函数的对称轴为且开口向上；
当时，此时函数在上单调递减，此时，，
因为函数是在上的“美好函数”
所以有，解得；
当时，此时函数在上单调递减，在单调递增，
所以当时，，
因为函数是在上的“美好函数”
所以有；
令，解得或
所以此时（舍去），（舍去）
当时，此时函数在上单调递増，此时，，
因为函数是在上的“美好函数”
所以有，解得；
综上所述：或