安徽省亳州市2024—2025学年下学期八年级数学期中考试试卷

这是一份安徽省亳州市2024—2025学年下学期八年级数学期中考试试卷，共24页。
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 下列式子一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 一元二次方程的一次项系数为（ ）
A. 2B. 3C. D. 4
3. 下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A. B. 5，4，12C. D.
4. 若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. D. 0
6. 下列计算正确是（ ）
A. B.
C. D. 5
7. 用配方法解方程时，若将方程变形，则（ ）
A. 9B. 17C. 13D. 5
8. 若（为连续整数），则值分别为（ ）
A. 3和4B. 4和5C. 5和6D. 6和7
9. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为，，，．若，，，则的长为（ ）
A. 7B. 5C. 4D. 6
10. 如图，已知线段与相交于点．若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若式子有意义，则的取值范围是_____．
12. 若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，则______．
13. 如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点处，不计线头，细线的最短长度为_______．
14. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，善于思考的小明进行了以下探究．例如：，即．请你仿照小明的方法，解决下列问题：
（1）若，且均为正整数，则______；
（2）化简正确结果为_______．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
16. 解方程：．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知，，求的值．
18. 四边形，，，，，，求四边形面积是多少？
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 观察下列等式．
第1个：；
第2个：；
第3个：；
……
根据以上规律，解决下列问题：
（1）___________；
（2）写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数）
（3）计算：．
20. 秦九韶（1208年~1268年），南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是如果一个三角形的三边长分别是，记为三角形的面积，那么．
（1）在中，，请用上面的公式计算的面积；
（2）如图，在中，，，，，垂足为，求长．
六、解答题（本题满分12分）
21. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为．
（1）求此时花圃边的长；
（2）花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由．
七、解答题（本题满分12分）
22. 阅读材料．
把一个多项式进行配方可以解决代数式的最大（或最小）值问题．例如：．
，，∴代数式有最小值，最小值是2．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求代数式的最小值；
（2）若代数式的最小值为2，求的值；
（3）图1是一组邻边长分别为，的长方形，面积为；图2是边长为的正方形，面积为，且，请比较与的大小，并说明理由．
八、解答题（本题满分14分）
23. 【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为．
（1）请你利用图1证明勾股定理；
（2）如图2，在中，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由；
（3）已知的三边为（为斜边），其中满足，求的斜边的长．
八年级数学（沪科版）
注意事项：
1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 下列式子一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、被开方数，不符合二次根式的定义，故不符合题意；
B、属于三次根式，故不符合题意；
C、当时，，不符合二次根式的定义，故不符合题意；
D、，则，符合二次根式的定义，符合题意；
故选：D．
2. 一元二次方程的一次项系数为（ ）
A. 2B. 3C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．
将写成一般式为，再根据一元二次方程一般式的定义即可解答．
【详解】解：将写成一般式为，
∴该方程的一次项系数为．
故选C．
3. 下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A. B. 5，4，12C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理“果三角形的三边长满足”如，那么这个三角形就是直角三角形．
根据勾股定理的逆定理逐项分析判断即可．
【详解】解：A．，能作为直角三角形三边长，此选项符合题意；
B． ，不能作为直角三角形三边长，此选项不符合题意；
C． ，不能作为直角三角形三边长，此选项不符合题意；
D． 不能作为直角三角形三边长，此选项不符合题意．
故选A．
4. 若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式非负性，掌握二次根式的非负性成为解题的关键．
直接根据二次根式的非负性列关于a的方程计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即．
故选B．
5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查利用一元二次方程根的情况求参数，根据判别式及二次项系数不等于零即可求出答案
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，，
∴，，
解得且，
故选：D．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质化简、二次根式的加减乘除法则等知识点，灵活运用二次根式的性质以及运算法则是解题的关键．
根据二次根式的加减乘除法则逐项判断即可．
【详解】解：A．已经是最简二次根式，无法合并，故A计算错误，不符合题意；
B．，故B计算正确，符合题意；
C．，故C计算错误，不符合题意；
D．，故D计算错误，不符合题意．
故选：B．
7. 用配方法解方程时，若将方程变形为，则（ ）
A. 9B. 17C. 13D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键．
先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得得值，再代值计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴，
∴．
故选：A．
8. 若（为连续整数），则的值分别为（ ）
A. 3和4B. 4和5C. 5和6D. 6和7
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算、二次根式的乘法运算等知识点，掌握无理数的估算方法是解题的关键．先根据二次根式的乘法运算可得，再根据无理数估算方法估算的范围即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，即，
∴的值分别为5和6．
故选：C．
9. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为，，，．若，，，则的长为（ ）
A. 7B. 5C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，连接，由题意得出，，从而得出，即可得解．
【详解】解：如图：连接，
，
由题意可得：，，
∴，
∴，
∴（负值舍去，不符合题意），
故选：D．
10. 如图，已知线段与相交于点．若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图：过点B作，过点C作，与相交于点F，连接，得出四边形为平行四边形，得出，根据（当三点D，B，F在同一条直线上时，取等号），得出的长就是所求的最小值，过点D作于点M，最后利用勾股定理求出最小值即可．
【详解】解：如图：过点B作，过点C作，与相交于点F，连接，则四边形为平行四边形，
∴，，
，
∵（当三点D，B，F在同一条直线上时，取等号），
∴的长就是所求的最小值，
如图：过点D作于点M，
∵，，
，
，
在中，
∵
，，
又，
，
在中，由勾股定理得：
，即的最小值是．
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、三角形三边关系的应用等知识点，正确作出辅助线、找出使最小时D、B、F的位置是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若式子有意义，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为：被开方数为非负数得出，解一元一次不等式即可．
【详解】解：∵式子有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
12. 若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数关系．把方程化为一般形式，根据一元二次方程根与系数关系即可得到答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程，即的两个实数根分别为，
∴，
故答案为：
13. 如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点处，不计线头，细线的最短长度为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理、两点之间线段最短、几何体的展开图等知识点，掌握勾股定理“”是解题的关键．把长方体沿边剪开，利用两点之间线段最短，再根据勾股定理计算即可．
详解】解：如图，把长方体沿边剪开，连接，

根据题意：，，
在中，由勾股定理得：.
故答案为：．
14. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，善于思考的小明进行了以下探究．例如：，即．请你仿照小明的方法，解决下列问题：
（1）若，且均为正整数，则______；
（2）化简的正确结果为_______．
【答案】 ①. 3 ②. ##
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、运用二次根式的性质化简、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式、二次根式的性质将原式化成完全平方式，进而求得a、b的值，然后代入求值即可；
（2）根据二次根式的性质和完全平方公式逐步化简即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
（2）
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算二次根式的除法与乘法、完全平方式，再计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
16. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得解，熟练掌握因式分解法是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、求代数式的值、因式分解的应用，由题意可得，，，将所求式子因式分解得出，代入式子计算即可得解．
详解】解：∵，，
∴，，，
∴．
18. 四边形，，，，，，求四边形面积是多少？
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可根据求出答案．
【详解】解：如图所示，连接，
在，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 观察下列等式．
第1个：；
第2个：；
第3个：；
……
根据以上规律，解决下列问题：
（1）___________；
（2）写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数）
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律探索，理解题意，正确得出规律是解此题的关键．
（1）根据题干所给式子进行计算即可得解；
（2）根据题干所给式子得出规律即可；
（3）利用（2）中得出的规律，计算即可得解．
【小问1详解】
解：∵第1个：；
第2个：；
第3个：；
……
∴；
【小问2详解】
解：由（1）可得第个等式为：；
【小问3详解】
解：
．
20. 秦九韶（1208年~1268年），南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是如果一个三角形的三边长分别是，记为三角形的面积，那么．
（1）在中，，请用上面的公式计算的面积；
（2）如图，在中，，，，，垂足为，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的应用，明确题意、运用海伦－秦九韶公式求三角形的面积是解题的关键．
（1）根据题目的指示，了解海伦-秦九昭公式，根据具体的数字先计算p的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可；
（2）由海伦-秦九韶公式求得的面积．再根据，即可求．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴的面积为．
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
∴的面积为，
又∵，
∴．
六、解答题（本题满分12分）
21. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为．
（1）求此时花圃边的长；
（2）花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）花圃边的长为4米．
（2）花圃的面积不能达到，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题成为解题的关键．
（1）设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米，由墙的最大可用长度为，可知，再根据题意列一元二次方程求解即可；
（2）令，再运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可解答．
【小问1详解】
解：设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米，
∵墙的最大可用长度为，
∴，解得：
由题意可得：，
整理得：，解得：或（舍弃）．
答：花圃边的长为4米．
【小问2详解】
解：花圃的面积不能达到，理由如下：
令，
整理得：，
因为，
所以方程无解，即花圃的面积不能达到．
七、解答题（本题满分12分）
22. 阅读材料．
把一个多项式进行配方可以解决代数式最大（或最小）值问题．例如：．
，，∴代数式有最小值，最小值是2．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求代数式的最小值；
（2）若代数式的最小值为2，求的值；
（3）图1是一组邻边长分别为，的长方形，面积为；图2是边长为的正方形，面积为，且，请比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）代数式的最小值为
（2）
（3），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解此题的关键．
（1）配方得出，结合，即可得解；
（2）配方得出，结合题意得出，求解即可；
（3）由题意表示出，，计算出即可得解．
【小问1详解】
解：，
∵，
∴，
∴代数式的最小值为；
【小问2详解】
解：，
∵，
∴时，代数式的值最小，为，
∵代数式的最小值为2，
∴，
解得：；
【小问3详解】
解：，理由如下：
由题意可得：，，
∴，
∴．
八、解答题（本题满分14分）
23. 【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为．
（1）请你利用图1证明勾股定理；
（2）如图2，在中，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由；
（3）已知的三边为（为斜边），其中满足，求的斜边的长．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
（3）的斜边的长为
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式，熟练掌握勾股定理是解题关键．
（1）证明，根据列式可得；
（2）过点A作交延长线于H，设，由勾股定理得，整理得，由可得，故可得结论；
（3）把代入得，求出的值，再求的值即可．
【小问1详解】
证明：根据题意，由图1可知：
，，，，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
；
又∵
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，理由如下：
过点A作交延长线于H，设，
在中，，
在中，，
∴，
化简得，，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：在中，，
∵
∴，
∴，
解得，，
∵
∴，
∴（负值舍去）
∴的斜边的长为．