安徽省合肥市五十中天鹅湖校区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份安徽省合肥市五十中天鹅湖校区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共18页。
1.试卷4页，共23小题，满分100分，考试时间100分钟，请合理分配时间；
2.请你仔细核对每页试题卷下方页码和题数，核实无误后再答题；
3.请将答案写在答题卷上，在试题卷上答题无效，考试结束只收答题卷；
4.请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！
一、选择题（每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求．本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 在（圆周率）、、、、五个数中，无理数有（ ）个
A. B. C. D.
2. 石墨烯是世界上目前最薄却也是最坚硬的纳米材料，还是导电性最好的材料，其理论厚度仅为，这里“”用科学计数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确是（ ）
A. B.
C. D.
4. 估算的值是在哪两个整数之间（ ）
A. 和B. 和C. 和D. 和
5. 若的积中不含的一次项，那么与一定是（ ）
A. 互为倒数B. 互为相反数C. 相等D. 比大
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A.
B.

C.
D.

7. 若多项式是一个完全平方式，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知关于的方程组，给出下列说法：
当时，方程组的解也是方程的解；
当时，的值互为相反数；
若，则是方程组的解，其中说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
9. 有两个正方形，边长分别为，，现将放在内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形，的边长之和为（ ）
A. B. C. 或D. 无法确定
10. 已知三个实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 计算：________．
12. 比较大小：______（填、或）．
13. 若不等式组解集是，则值是_____．
14. 把两个半径分别为和的铅球熔化后做成一个更大的铅球，则这个大铅球的半径是_____cm（球的体积公式，其中是球的半径）．
15. 有一个数值转换器，原理如下：当输入的时，输出的y等于______．
16. 已知，，，，则的值为_____．
三、解答题（本大题共7小题，满分52分）
17. 计算：．
18. 解不等式组并把解集在数轴上标出来．
19. 先化简，再求值：，其中，．
20. 观察下列等式：
第①个等式：，
第②个等式：，
第③个等式：，…
探索以上等式的规律，写出第⑥个等式为______，第n个等式为______，请证明结论的正确性．
21 定义一种新运算“”：当时，；当时，例如：，．
（1）填空： ______；
（2）若x是一个负数，且满足，求x的取值范围．
22. 如图，用总长21米的篱笆围成三个面积相等的长方形区域①②③，为方便进出，三个区域均留有一扇宽为1米的门，若米．
（1）用含x的代数式表示 米， 米；
（2）用含x的代数式表示长方形的面积（要求化为最简形式）．
23. 为了进一步落实“双减”政策，增加学生室外活动时间，我校计划从商场一次性购买一批足球和篮球用于开展课后服务训练，经多方调研，现决定购买A品牌篮球和B品牌足球共50个，要求采购总费用不超过万元．若甲、乙两商店销售这两种商品的零售价相同，其中篮球每个零售价300元，足球每个零售价200元．
（1）若按照商场零售价直接购买，至多可以买篮球多少个？
（2）为促进消费，盘活库存，甲、乙两商店均开展“大订单超值购”活动，推出不同的优惠
方案：甲店篮球按零售价格打8折销售，足球按照零售价格原价销售；乙店按照购买篮球和足球的零售总价格打9折销售：若学校至少采购篮球18个，请你运用所学知识，帮采购人员算一算：我校从哪家商店购买篮球和足球更合算？说说你的理由（按照采购规定，篮球和足球只能从同一家商店购买）．
2023﹣2024学年度第二学期数学学科学情调研
（七年级）
温馨提示：
1.试卷4页，共23小题，满分100分，考试时间100分钟，请合理分配时间；
2.请你仔细核对每页试题卷下方页码和题数，核实无误后再答题；
3.请将答案写在答题卷上，在试题卷上答题无效，考试结束只收答题卷；
4.请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！
一、选择题（每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求．本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 在（圆周率）、、、、五个数中，无理数有（ ）个
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．
【详解】解：是无理数，符合题意；
是分数，属于有理数，不符合题意；
是分数，属于有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
无限循环小数，是有理数，不符合题意；
综上可知：共有个无理数，
故选：．
2. 石墨烯是世界上目前最薄却也是最坚硬的纳米材料，还是导电性最好的材料，其理论厚度仅为，这里“”用科学计数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：
故选：C．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法以及积的乘方法则逐项计算即可．
【详解】解：A．，故不正确，不符合题意；
B．，故不正确，不符合题意；
C．，故不正确，不符合题意；
D．，正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法以及积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4. 估算的值是在哪两个整数之间（ ）
A. 和B. 和C. 和D. 和
【答案】C
【解析】
【分析】利用估算无理数的方法得出接近无理数的整数进而得出答案．
【详解】原式=-5
∵1.5＜≈1.7＜2
∴3＜2＜4
∴2＜2-1＜3
故选：C．
【点睛】此题考查估算无理数的大小，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5. 若的积中不含的一次项，那么与一定是（ ）
A. 互为倒数B. 互为相反数C. 相等D. 比大
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式，先把，由题意得，从而求解，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键．
【详解】解：，
∵积中不含的一次项，
∴，
∴，即与一定是互为倒数，
故选：．
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A.
B.

C.
D.

【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：
由①得，得：，
由②得：，
则不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故选：D．
7. 若多项式是一个完全平方式，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用完全平方公式的定义，可知首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3积的2倍，故，得．
【详解】解:∵是完全平方公式，
∴，即，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题关键是注意积的2倍的符号，避免漏解．
8. 已知关于的方程组，给出下列说法：
当时，方程组的解也是方程的解；
当时，的值互为相反数；
若，则是方程组的解，其中说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组，方程（组）的解，先解方程组得出，再逐一进行分析，从而得出答案；熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：得，
当时，方程组的解，则，故正确；
当时，，则，即的值互为相反数，故正确；
∵，
∴，则有，无解，故不正确；
故选：．
9. 有两个正方形，边长分别为，，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形，的边长之和为（ ）
A. B. C. 或D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，根据图甲中阴影部分的面积得，图乙中阴影部分的面积得，再通过即可求解，由面积之间的关系得出关系式是解题的关键．
【详解】图甲中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
图乙中阴影部分面积可以看作是从边长为的正方形面积中减去两个边长分别为、的正方形面积，即，
∴，
∵，
∴，
故选：．
10. 已知三个实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了等式性质，因式分解的应用．熟练掌握完全平方公式，根据相等关系，代入消元，运用完全平方公式分解因式，判断各选项即可．
【详解】A．若，则，即，则：
，故A正确；
B．若，则，
把代入得：
，
∴，
把，代入得：
，
分解因式得：，
∴或
∴或，故B错误；
C．若，则，
∴，
∴，故C错误；
D．若，则
把代入得：，
∴，故D错误．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 计算：________．
【答案】4
【解析】
【分析】由，从而可得答案．
【详解】解：，
故答案为：4
【点睛】本题考查的是求解一个数的立方根，理解立方根的含义是解本题的关键．
12. 比较大小：______（填、或）．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了实数的大小比较，根据无理数的近似值，再比较大小即可，熟练掌握实数的比较大小方法是解题的关键．
【详解】∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 若不等式组解集是，则的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，根据不等式组的解集得出关于的一元一次方程，进而解答即可，熟练掌握一元一次不等式组的解法．
【详解】解： ，
解不等式得，，
解不等式得，，
因为不等式组解集是，
∴，
解得：，
故答案为：．
14. 把两个半径分别为和的铅球熔化后做成一个更大的铅球，则这个大铅球的半径是_____cm（球的体积公式，其中是球的半径）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了立方根的应用，求出半径分别是，的铅球的体积之和，再根据立方根的定义计算出结果即可，熟记立方根的定义是解题的关键．
【详解】解：这个大铅球的半径是，
由题意得：，
∴，则，
故答案为：．
15. 有一个数值转换器，原理如下：当输入的时，输出的y等于______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用算术平方根的定义分析得出答案即可；
本题主要考查算术平方根的定义，有理数和无理数的认识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：当输入的时，
81的算术平方根是9，
9的算术平方根是3，
3的算术平方根是，是无理数，
故输出的是
故答案为：．
16. 已知，，，，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法逆运算，利用同底数幂的乘法的法则进行求解即可，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则．
【详解】解：，
则，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，满分52分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据绝对值，算术平方根定义，负整数指数幂运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
18. 解不等式组并把解集在数轴上标出来．
【答案】；数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后表示在数轴上即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴表示在数轴上为：
19. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】；10
【解析】
【分析】本题主要考查了整式化简求值，根据完全平方公式和平方差公式进行化简，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：
，
把，代入得：
原式．
20. 观察下列等式：
第①个等式：，
第②个等式：，
第③个等式：，…
探索以上等式的规律，写出第⑥个等式为______，第n个等式为______，请证明结论的正确性．
【答案】；
【解析】
【分析】此题考查了有理数运算算式规律问题的解决能力，关键是能通过观察、猜想、归纳出该组等式的规律．根据前3个等式的特点归纳出该组等式的规律进行求解．
【详解】解：∵第①个等式，即，
第②个等式，即，
第③个等式，即，
…，
第⑥个等式，即，
第n个等式，
故答案为：；．
21. 定义一种新运算“”：当时，；当时，例如：，．
（1）填空： ______；
（2）若x是一个负数，且满足，求x的取值范围．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】此题考查了新定义运算，一元一次不等式的求解，解题的关键是理解新定义运算规则，正确的进行计算．
（1）根据新定义运算，求解即可；
（2）根据x一个负数，得出，根据新定义运算可得，，求解不等式即可．
【小问1详解】
解：∵
∴，
故答案为：1．
【小问2详解】
解：∵x是一个负数，即，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴x的取值范围是．
22. 如图，用总长21米的篱笆围成三个面积相等的长方形区域①②③，为方便进出，三个区域均留有一扇宽为1米的门，若米．
（1）用含x的代数式表示 米， 米；
（2）用含x的代数式表示长方形的面积（要求化为最简形式）．
【答案】（1）；
（2）平方米
【解析】
【分析】本题主要考查了列式表示数量关系，长方形的面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
（1）根据长方形的性质即可得到，，根据线段的和差关系可用含x的代数式表示的长度；
（2）根据长方形的面积公式求出答案即可．
【小问1详解】
解：∵①②③三个长方形区域的面积相等，
∴，
∴，，
∴米，
∴米；
【小问2详解】
解：长方形的面积为：
平方米．
23. 为了进一步落实“双减”政策，增加学生室外活动时间，我校计划从商场一次性购买一批足球和篮球用于开展课后服务训练，经多方调研，现决定购买A品牌篮球和B品牌足球共50个，要求采购总费用不超过万元．若甲、乙两商店销售这两种商品的零售价相同，其中篮球每个零售价300元，足球每个零售价200元．
（1）若按照商场零售价直接购买，至多可以买篮球多少个？
（2）为促进消费，盘活库存，甲、乙两商店均开展“大订单超值购”活动，推出不同的优惠
方案：甲店篮球按零售价格打8折销售，足球按照零售价格原价销售；乙店按照购买篮球和足球的零售总价格打9折销售：若学校至少采购篮球18个，请你运用所学知识，帮采购人员算一算：我校从哪家商店购买篮球和足球更合算？说说你的理由（按照采购规定，篮球和足球只能从同一家商店购买）．
【答案】（1）至多可以买篮球21个
（2）当购买篮球19个时，到乙商店比较合适；当购买篮球20个时，到两个商店都一样；当购买篮球21个时，到甲商店比较合适
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的应用，解题的关键是根据不等关系列出不等式，解不等式即可．
（1）设按照商场零售价直接购买可以购买篮球x个，足球个，根据采购总费用不超过万元，列出不等式，解不等式即可；
（2）设学校购买篮球m个，购买足球个，得出到甲商店需要的费用为：元，到乙商店需要的费用为：元，分，，，求出m的范围，然后即可得出答案．
【小问1详解】
解：设按照商场零售价直接购买可以购买篮球x个，足球个，根据题意得：
，
解得：，
答：至多可以买篮球21个．
【小问2详解】
解：设学校购买篮球m个，购买足球个，根据题意得：
到甲商店需要的费用为：元，
到乙商店需要的费用为：元，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
∵m取整数，且最多购买篮球21个，
∴当购买篮球19个时，到乙商店比较合适；当购买篮球20个时，到两个商店都一样；当购买篮球21个时，到甲商店比较合适．